模擬訓練機模型簡化算法的研究

孟慶松， 原海勃

(哈爾濱理工大學自動化學院，哈爾濱 150080)

0 引言

目前，現代模擬訓練機仿真理論及技術已發展成為獨立的高科技領域，對于高精確度和昂貴的模擬設備系統而言，其優點尤為明顯。由于模擬訓練機的仿真品質直接取決于復現被仿真過程參數的精確度，所以仿真過程的數學模型就成為了模擬訓練機仿真系統中一個非常重要而又獨立的關鍵部分。而過程數學模型的解算需要求解復雜高階矩陣方程的數值解，其求解的復雜性使得很多現代模擬訓練機控制過程的仿真變得難以全真實時實現。在研究模擬訓練機的仿真問題時，在滿足人的感官和視覺要求的前提下，通常對其模型的解算進行簡化，即對其完成各種實際動作或過程的控制系統采用模型簡化的算法加以仿真實現，以適應仿真效果的實時性和真實感。其實，存在許多種系統模型簡化的方法，而模型簡化的基本方法大致可分為時域法和頻域法兩種，比較常見的時域法包括連分式法［1］、Pade逼近法［2］、Routh 逼近法［3］等，而頻域法包括集結法［4－5］、平衡降階法［6］等。其中有些方法只適用于單輸入單輸出系統，有些方法不能保持系統的穩定性，還有些方法無法保證較高的輸出精確度。當然也有將模型簡化與神經網、預測控制等控制理論相結合的方法，因其實用性、應用范圍等因素的限制而實際應用很少。

本文研究的是仿真過程中數學模型的降階算法和求解高階矩陣方程的簡化仿真算法，提出一種設計思想，即在過程動態時采用通用濾波器的快速仿真算法，在穩態時采用模型降階和時矩輸出擬合相結合的算法。該設計理念不僅適用于多輸入多輸出系統，還可以保持系統的穩定性、可控性和可觀性，并具有較高的輸出擬合精確度。采用對過程的模型降階和動態響應快速仿真等算法，目的是提高過程動態和穩態仿真解算時的準確度和實時性。

1 降階算法

對于模擬訓練機系統數學模型降階算法，下面簡單介紹兩種比較典型的方法，即基于內平衡理論的奇異攝動降階方法和基于有序實Schur分解理論的降階方法。這兩種方法主要針對的是多輸入多輸出線性穩定系統，具有輸出精確度高、靈活簡便等優點。

1.1 基于內平衡理論的奇異攝動降階方法

Moore利用系統的可控、可觀的概念，最先提出了一種平衡降階方法，即所謂系統的內平衡實現理論［7］。基于這種理論，可以確定線性定常、漸近穩定系統的降階模型。

考慮線性多變量定常系統S1，即

式中:X∈Rn×1為狀態向量;U∈Rm×1為輸入向量;Y∈Rp×1為輸出向量;A、B、C 為常量矩陣。則該系統的傳遞函數陣為

式中，In為n階單位陣。

1)根據內平衡理論，利用可控與可觀Grammian矩陣可將系統S1等價變換為平衡系統S2，即

2)根據系統G(s)的奇異值大小分布，可將系統S2作如下形式分解，即

系統G(s)的奇異值σi的定義為σi［G(s)］=［λi(WcWo)］1/2，其中，λi為特征值，i=1，2，…，n，Wc為可控Grammian陣，Wo為可觀Grammian陣，而且二者滿足Lyapunov方程，即

若σk+1?σk，其中，k為降階模型的階次，則狀態中的部分基本上不影響系統的輸入輸出行為，即剔除狀態中弱的可控可觀部分對系統的行為沒太大影響［8］。這說明系統S3:{}是原系統的良好的低階近似，即低階模型的傳遞函數陣為

式中，Ik為k階單位陣。

1.2 基于有序實Schur分解理論的降階方法

同樣對于如式(1)所示的系統，設A陣的特征根按實部遞減順序排列為λ1，λ2，…，λn，且Re［λk］?Re［λk+1］，其中，k＜n。

1)根據有序實Schur分解定理可知，存在正交矩陣U，使得A陣的有序實Schur分解為

式中:A11∈Rk×k;A12∈Rk×(n－k);A22∈R(n－k)×(n－k);λi(A11)= λi(A)，i=1，2，…，k;UT=U－1;而λ(A11)、λ(A)分別為 A11、A 陣的特征根。

于是，在等價變換T=UV下，原系統S1變為S～

2，即

由于U為正交矩陣，且求解Sylvester方程(7)是數值可靠的，所以變換T=UV是數值穩定的。

式中:G1(s)=C1(sIk－A11)－1B1;G2(s)=C2(sIn－k－A22)－1B2;而 G(s)=C(sIn－ A)－1B=Ca(sIn－Aa)－1Ba。也就是將原系統S1分成為兩個獨立的子系統之和，取主導極點子系統作為降階系統，即

1.3 時矩輸出擬合

依據降階準則，根據式(5)或式(10)可得

下面討論兩種情況:

可以看出，這樣得出的降階模型S4可以保持原系統的穩態值，但由于其前饋傳輸矩陣為 Dr=，而在一般情況下，矩陣D和原系統的r零陣是不相等的，因此降階模型S4的初始響應值可能與原系統不一致。

為使降階模型S4具有與原系統S1相同的初始響應值和相近的穩態值，必須再對所得的系統模型S4加以修正。

首先將模型S4形式修正成模型S5，如式(13)所示，然后再進行其穩態響應值的時矩擬合。

式中，B'r∈Rk×m為需要擬合的輸入矩陣。模型形式這樣處理可使模型S5與原模型S1具有相同的初始響應值，但為保證二者還具有相同或相近的穩態響應值，則必須滿足下列條件，即

1)當k/p=j，j為整數時，可唯一求得B'r陣。

2)當k/p=j，j不為整數時，利用最小二乘原理化為正規方程組，從而得到其最小二乘解，即以最小誤差擬合穩態響應;或者可再適當列寫一些方程，使其與矩陣方程(14)構成一個封閉方程組來求解B'r陣。這樣使得降階模型進一步逼近原系統，如在動態響應、穩態響應及相對穩定性等方面作進一步的擬合逼近。

圖1 模型S1與S5的單位階躍響應之差曲線Fig．1 The unit step response difference of Models S1and S5

1.4 實例仿真

對某型號坦克模擬訓練機的雙輸入雙輸出的六階控制系統降維到四階系統，采用上述的基于系統矩陣有序實Schur分解的降階方法和時矩輸出擬合的方法，通過Matlab仿真可以得到六階原系統與四階降階系統的單位階躍響應之差，其曲線如圖1所示。

由圖1可知，采用時矩擬合的降階模型可以滿足輸出響應的精確度要求，比如在本例的雙輸入雙輸出系統的響應中，輸出擬合的精確度范圍可達輸入幅值的0.000 5～0.058倍。還可以通過適當增加降階系統的階次進一步提高輸出的精確度。

2 通用濾波器的快速仿真算法

為了提高模擬訓練機仿真系統的實時性，同時保證人體感受的仿真效果，提出根據通用濾波器的計算結果近似仿真過程動態響應的建模方法。這種方法將系統的動態行為或過程通過通用濾波器的設計方法進行線性擬合，盡可能使通用濾波器的輸出較好地逼近系統的實際輸出，以滿足模擬機的仿真精確度要求。也就是說，針對高階復雜系統，包括非線性系統，其動態響應的當前值用過去時刻的系統輸出值做一個適當的線性組合，達到輸出擬合的目的。由于采用線性化擬合的設計思想，使得在線仿真的計算量較小，同時可通過編程靈活地改變其延遲時間和相應的擬合系數以提高仿真精確度。由于需要實時仿真計算的動態模型是大量的，為了降低仿真過程中的計算負荷，不能完全采用如上的降階方法，而是采用通用濾波器的快速算法對對象過程的動態響應進行仿真擬合。

該算法采用n階濾波器進行仿真計算時，應遵循以下3個準則:1)使人無法覺察到與原系統的實際動態響應值的偏差;2)過渡過程時間大約為n倍的延遲時間;3)濾波器的參數(包括延遲時間和系數向量)可人為在線修改。

應用n階濾波器對過程的動態特性快速仿真擬合算法可按如下步驟進行［11］:

1)給定原系統的數學模型及輸入信號的形式，并得到相應的輸出響應特性;

2)根據原系統的動態特性及變化趨勢確定濾波器的延遲時間和濾波器的階數;

3)將濾波器與原系統的輸出響應的初始值點置為重合;

4)按照濾波器系數向量的先后次序分別湊試取值，使濾波器與原系統的輸出響應逐步逼近到允許的公差范圍之內，一直到二者的響應取得滿意的擬合效果，否則再從步驟2)重新修正。

下面給出某模擬訓練機一個側向運動動態模型G(s)，即

式中:Fk，t=Eke|t－(k+1)τ|，t=0 ～ 511 s;Ek=［0.006，0.005，0.007 4，0.009，0.01，0.01，0.008，0.009］。

通過Matlab仿真，可得到該模型采用通用濾波器的快速算法后的輸出擬合曲線，如圖2所示。這里需要注意的是擬合過程有一定的延時，所以為了更方便的比對，圖2中將原系統與濾波器的方波響應(實際上二者的響應被放大了10倍)平移到相同的時刻上。

這里，輸入信號用e表示，擬合延時用τ表示，取τ=20 s。這樣，對模型輸出y的線性擬合采用下式來進行，即

圖2 通用濾波器與原系統階躍響應的輸出曲線Fig．2 The unit step response of universal filter and the original system

由圖2可知，通用濾波器的輸出曲線較好地模擬了系統的實際輸出，達到了模擬機仿真的感官效果。

3 結語

通過上述的理論分析可知，基于系統矩陣Schur分解或平衡變換的模型降階方法適用于多輸入多輸出的線性系統，可以保證系統的穩定性、可控性和可觀性。從仿真的結果來看，在動態時為了提高實時性，簡化模型的解算過程，可以采用通用濾波器的快速仿真算法，以達到人體感官滿意的模擬效果，而在穩態時為了提高簡化模型的近似精確度，可以采用模型降階和時矩擬合相結合的算法，以獲取更高的輸出擬合精確度。因此，在模擬訓練機控制系統的仿真和建模時，將對象仿真的過程分為動態和穩態兩個階段，過程的動態特性仿真通過通用濾波器的設計方法進行簡單的線性擬合，盡可能使通用濾波器的輸出較好地逼近系統的實際輸出，以達到模擬機對人體感官的仿真效果。而穩態特性則采用基于系統矩陣Schur分解或平衡變換的模型降階與時矩輸出擬合相結合的算法以獲取較高的擬合精確度。這樣，在實際系統工作時可大大縮短計算模型所耗費的機時，提高過程模擬的反應速度。

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