5-維歐氏空間球面曲線的一個幾何性質

薛艷日方，馮艷麗，李玲玲

(信陽師范學院數學與信息科學學院，河南信陽 464000)

5-維歐氏空間球面曲線的一個幾何性質

薛艷日方，馮艷麗，李玲玲

(信陽師范學院數學與信息科學學院，河南信陽 464000)

利用Frenet公式討論了5-維歐氏空間中球面曲線的幾何特征，給出了判定一條空間曲線是球面曲線的一個充分必要條件.

Frenet公式；5-維歐氏空間；球面曲線

0 引 言

Frenet公式，是微分幾何空間曲線理論的基本公式，在經典微分幾何中占有十分重要的地位，可以由它導出曲線的諸多重要性質與定理[1-5].目前，學者已在3-維歐氏空間Frenet標架和Frenet公式的基礎上，根據曲線基本向量的微商與基本向量之間的特定關系，構造出了4-維歐氏空間中沿空間曲線的Frenet標架.在此基礎上，本研究把它推廣到5-維歐氏空間情形，并利用推廣后的Frenet公式討論了5-維歐氏空間中球面曲線的一些幾何特征，得到判定空間曲線是球面曲線的一個充分必要條件，并給出了相應證明.

1 基本概述

在4-維歐氏空間中，光滑曲線Γ:r=r(s)的基本向量α、β、γ、μ關于弧長s的微商可以用α、β、γ、μ的線性組合來表示，即，

其中，k1(s)、k2(s)、k3(s)分別為曲線Γ的第一曲率、第二曲率與第三曲率，s為弧長參數，由此有，

引理1 4-維歐氏空間中光滑曲線Γ:r=r(s)落在一個球面上的充要條件為，

其中，A為常數，s為曲線Γ的弧長參數.

下面考慮5-維歐氏空間球面曲線的情形.設曲線Γ:r=r(s)是R5中的光滑曲線，其第一曲率、第二曲率、第三曲率與第四曲率分別為k1(s)、k2(s)、k3(s)、k4(s)，且 k1(s)、k2(s)、k3(s)、k4(s)都不為非零常數，其中，k1(s)、k2(s)、k3(s)、k4(s)分別簡記為 k1、k2、k3、k4.則其基本向量α、β、γ、μ、ω關于弧長 s的微商可以用α、β、γ、μ、ω的線性組合來表示，則5-維 Frenet標架:{r(s):α，β，γ，μ，ω}可以定義如下，

這組公式的特點是，基本向量α、β、γ、μ、ω關于弧長s的微商可以用α、β、γ、μ、ω的線性組合來表示，其系數組成了反對稱的方陣，

2 主要結果與證明

定理1 5-維歐氏空間中曲線Γ:r=r(s)落在一個球面上的充要條件為，

其中，A為常數，s為曲線Γ的弧長參數.

證明

1)必要性.

設球面方程為，

其中，s為弧長參數，R0為球面半徑，上式兩端關于s求導得，

又因為球面上的任意一向量都可由基本向量線性表示，所以，可以設不全為零的系數λ(s)、m(s)、h(s)、p(s)、q(s)使得，

對式(1)兩端關于s求導得，

由此得到如下方程組，

式(1)兩邊同時點乘向量α，可以得到，

故，解此方程組可得如下等式，

將式(2)帶入式(1)得，

對上式兩邊取模得，

恒成立.

2)充分性.

由題設，

其中，A為常數，對上式兩端關于s求導可得，

上式兩邊同時乘以k4，可得，

將式(4)帶入式(3)得，

應用5-維Frenet標架可定義r0如下，

對上式兩端求導可得，

所以，曲線，r=r(s)落在一個球面上.

命題得證.

注:本研究所用方法可以推廣到更高維的歐氏空間Rn(n≥6)中，進而可以得到Rn中的球面曲線的幾何特征，并能得到類似的充分必要條件.

:

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]梅向明，王匯淳.微分幾何學習指導與習題選擇[M].北京:高等教育出版社，2004.

[3]陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學出版社，2006.

[4]吳大任.微分幾何講義[M].北京:高等教育出版社，1959.

[5]Carmo M P.曲張與曲面的微分幾何[M].北京:機械工業出版社，2006.

One Geometrical Property of Spherical Curve in 5-dimensional Euclidean Space

XUE Yanfang，FENGYanli，LI Lingling

(College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China)

Abstract:Frenet formula was used to discuss the geometrical properties of spherical curve in 5-dimensional Euclidean space.Necessary and sufficient condition wasgiven to determine that one space cure is spherical curve.

Key words:Frenet formula；5-dimensional Euclidean space；spherical curve

O186.11

A

1004-5422(2012)04-0327-04

2012-07-20.

河南省教育廳自然科學基礎研究(2011A110015)資助項目.

薛艷日方(1979—)，女，碩士，講師，從事微分幾何與非線性分析研究.