求參數范圍的2011年高考題賞析

江蘇省南通市通州區興仁中學 瞿春波 （郵編：226371）

所謂參數，就是事先依據某種要求固定或先待定而后依據題意取得其值或范圍的量.求參數范圍在高中數學中經常遇見.此類問題也是近幾年高考中出現頻率相當高的一類題型，主要考查逆向思維和創新意識，已經引起了廣大高中數學教師與學生（特別是高三學生）的關注.求參數范圍的關鍵是正確建立相關不等式.本文以2011年全國各地高考數學試題為例，闡述高中數學幾個模塊中求參數范圍的處理策略.

1 求以函數為背景的參數范圍

例1 （2011年湖南卷，文）已知函數f（x）＝ex－1，g（x）＝－x2＋4x－3，若有f（a）＝g（b），則b的取值范圍為（ ）

解析 由f（x）、g（x）圖象知，f（x）值域是（－1，＋∞），g（x）值 域 是 （－ ∞，1］.對 ?a，b，使f（a）＝g（b）.所以f（x）、g（x）的值域交集非空.因此g（b）＞－1即－b2＋4b－3＞－1，得.故選B.

點評 本題亮點是將函數值相等轉化為兩個函數值域關系，進而轉化為函數圖象關系.考查了運用兩個函數圖象位置關系建立不等式的能力.體現了數形結合思想、轉化與化歸思想.

2 求以向量為背景的參數范圍

點評 本題考查平面向量、解三角形等基礎知識.也考查了畫圖能力和邏輯推理能力.體現了數形結合思想，由特殊到一般思想.

3 求以解三角形為背景的參數范圍

解析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）因為sinA＋sinC＝psinB，所以a＋c＝pb.由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB

點評 本題考查了正、余弦定理的應用、三角函數的知識.也考查了運用余弦值范圍建立不等式的能力.體現了轉化與化歸思想.

4 求以線性規劃為背景的參數范圍

C.（1 ，3） D.（3 ， ＋ ∞ ）

點評 本題考查了含參數的線性規劃，通過直線平移方法求最值點，也考查了運用目標函數有最大縱截距建立不等式的能力.

5 求以圓為背景的參數范圍

例5 （2011年江西卷，理）若曲線C1∶x2＋y2－2x＝0與曲線C2∶y（y－mx－m）＝0有四個不同的交點，則實數m的取值范圍是（ ）

點評 本題考查了將曲線方程變形為兩條與圓相交的直線的能力，也考查了運用直線與圓相交的性質建立不等式的能力.

6 求以圓錐曲線為背景的參數范圍

例6 （2011年重慶卷，文）設雙曲線的左準線與兩條漸近線交于A、B兩點，左焦點在以AB為直徑的圓內，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）

點評 本題考查了圓、雙曲線性質，點和圓的位置關系.也考查了運用點在圓內建立不等式的能力.體現了數形結合思想、轉化與化歸思想.

7 求以導數為背景的參數范圍

例7 （2011年遼寧卷，文）已知函數f（x）＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是________.

解析 令f′（x）＝ex－2＝0，得x＝ln2.當x∈ （－ ∞，ln2）時，f（x） 遞 減； 當x∈（ln 2 ，＋∞）時，f（x）遞增.所以fmin（x）＝f（ln2）＝2－2ln2＋a.因f（x）有零點，所以fmin（x）≤0.即2－2ln2＋a≤0，得a≤2ln2－2.

點評 本題考查了運用導數求函數最小值，函數的零點與方程的根關系.也考查了運用f（x）圖象與x軸位置關系建立不等式的能力.

8 求以“新定義”為背景的參數范圍

設 函 數f（x）＝ （x2－2）? （x－x2），x∈R.

若函數y＝f（x）－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是（ ）想相過定發現3元慮x

解析 由定義，

點評 本題亮點是定義了一種新運算，將新運算與分段函數聯系起來，創造性地考查了分段函數的建立過程.也考查了畫圖能力.體現了數形結合思想、函數與方程思想.

綜上所述，求參數范圍是在高考中經常出現的一類題型，幾乎涉及到高中數學所有模塊，是考生失分較多且不易攻破的重點、難點.本文對此問題從解題方法、數學思想、思維能力、思考策略等方面加以闡述.另外，集合、不等式、數列、直線方程、概率與統計、程序框圖等模塊中，也可以合理運用有關數學思想建立相關不等式求參數范圍，本文不再贅述.