求參數取值范圍的常用思想方法

安徽省合肥市鐵四局中學 李繼榮 （郵編：230023）

近年來，求參數取值范圍問題一直是各級各類考試的熱點和難點題型.如何突破這一教學難點？本文僅就常用的兩種數學思想討論有關求變量范圍問題，這兩種數學思想為函數的思想和不等式（組）思想.

1 函數的思想

函數的思想是最主要、最基本的數學思想之一，它的應用涉及高中數學的各個方面，我們可利用函數的概念及其性質求參數取值范圍.

1.1 函數值域法

此種方法運用函數的思想，常用分離變量法將所求參數m表示成另一變量x的函數或不等式的 形 式，即m＝f（x）（x∈D）或m＞（＜）f（x）（x∈D）的形式，然后通過函數的知識，求出參數的范圍.

分析 由以a、b、c為三邊構成三角形，便可得出p、x、y三者之間的關系的不等式組，再通過分離參數法，得出p＞f（t）且p＜g（t）對t∈D恒成立，進而由函數的值域可推得f（t）max＜p＜g（t）min.

解 ∵a2＝x2＋xy＋y2，c2＝x2＋2xy＋y2（x，y＞0）.所以c＞a.

設存在正數p，使得對任意的正數x和y，以a、b、c為三邊長的三角形存在

對x、y＞0恒成立.

對t＞0恒成立

1.2 函數單調性法

例2 如圖：P為橢圓＋y2＝1（a＞1）上 一 動 點，A1、A2是橢圓長軸的兩個端點（P與A1、A2不 重合），φ＝ ∠A1PA2，求φ的范圍.

分析 一般來說求角的范圍，均應先求出此角的某三角函數值的范圍，再反過來確定角的范圍，至于選用哪一個函數，本題從條件來說應選正切函數利于問題的解決，那么又怎樣來求tanφ的取值范圍呢？可借助函數的思想，先把tanφ表示成點P的某一坐標的函數，再利用此函數的單調性，便可以得出tanφ的范圍.

解 設P（x0，y0）為橢圓上的一點，由對稱性，不妨設0≤y0≤1，作PH⊥A1A2于H，設∠A1PH＝α，∠A2PH＝β，則φ＝α＋β，且0＜φ＜π.

例3 已知f（x）＝ae－x＋cosx－x（0＜x＜1）.若對任意的x∈ （0，1），f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析 由f（x）＜0恒成立，聯想參變量分離，構造函數g（x）＝ （x－cosx）ex，

由a＜g（x）恒成立，用導數求出g（x）取值范圍.

解 由f（x）＜0，a＜ （x－cosx）·ex，記g（x）＝ （x－cosx）·ex，則g′（x）＝ （1＋sinxcosx＋x）·ex.因0＜x＜1，則sinx＞0，1－cosx＞0，ex＞0，則g′（x）＞0，則g（x）在（0，1）上為增函數.所以－1＜g（x）＜ （1－cos1）·e，故a≤－1.

1.3 三角函數法

分析 設P、Q是橢圓上關于l對稱的兩點，由l為線段PQ的垂直平分線，可以求出直線PQ的方程（含參數m），由題意可知聯立直線PQ與橢圓方程組成的方程組有兩解，再由橢圓參數方程的知識.可用橢圓參數方程中的參數θ表示m，且θ在［0，2π）上有兩個值，從而實現問題的解決.

解 設P（x1，y1）、Q（x2，y2）是橢圓C上關于直線l對稱的兩點，PQ的中點為M（x0，y0）.

又設橢圓方程為

2 不等式（組）的思想

利用不等式（組）的思想，解決此類問題的關鍵是根據題意找出關于參數的不等式（組），解此不等式（組）便可求出參數的范圍.

2.1 判別式法

分析 由直線l與橢圓相交于兩個不同的交點，從而聯立直線和橢圓所得方程組有兩解，它又等價于消去y后所得關于x的一元二次方程有兩個不同實根，從而此方程判別式大于零.但此不等式中除變量k還有直線l的縱截距m，再利用｜AM｜＝｜AN｜，可得到m與k之間的關系式，從而可求出k的范圍.

解 設直線l：y＝kx＋m滿足條件，再設P為MN的中點，欲滿足題目要求，只要AP⊥MN即可.

得（1＋3k2）x2＋6mkx＋3m2－3＝0.

設x1、x2是上述方程的兩個根，則

故當k∈（－1，0）∪（0，1）時，存在滿足條件的直線l.

2.2 點的范圍界定法

例6 同例5

分析 利用端點坐標法和已知條件｜AM｜＝｜AN｜，可用k表示線段MN的中點P的坐標，再利用問題有解，則P必在橢圓內部，從而得到關于k的不等式，最終實現問題的解決.

解 設M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中點為P，則

∵｜AM｜＝｜AN｜，

∴A在MN的中垂線上.

2.3 一元二次方程根的分布法

例7 同例4

解 設C上關于直線l對稱的兩點為P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為M（x0，y0），將P、Q兩點的坐標代入橢圓方程后相減得

2.4 坐標范圍法

例8 設P（－1，－1）、Q（2，2），直線l：x＋my＋m＝0與PQ延長線相交，求m的取值范圍.

分析 由直線l與PQ的延長線相交，應有直線l和直線PQ方程組成的方程組有解（用m表示），且未知數x與y的值均應大于2.從而得到關于m的不等式，進而求出m的范圍.

解 由P（－1，－1）、Q（2，2），可得知直線PQ的方程為y＝x.

2.5 數形結合

分析 可構造兩個函數，利用兩個函數圖象之間的關系求解參數的取值范圍.

如圖所示，要使不等式恒成立，則直線y＝x＋b在半圓的下方，當直線過點（2，0）時，b＝－2.所以b≤－2.

以上介紹了求參數取值范圍問題常用的兩種數學思想和八種具體操作方法.當然也可以用其它的數學思想和方法處理此類問題，限于篇幅，本文不再介紹.事實上，我們只要把培養學生的數學思想方法和能力貫穿于一切教學活動之中，以不斷提高學生的數學思想方法和能力為教學宗旨，就一定能使學生不斷提高解決各種數學問題的能力.