非等時距Verhulst修正模型及其在直升機故障率預測中的應用

張宏斌，曹學峰，孫世霞，王進才

(陸軍航空兵學院航電和兵器工程系，北京 101114)

0 引言

可靠性、維修性定量要求是影響裝備可靠性、維修性的關鍵因素之一，它直接關系到系統(tǒng)的效能和全壽命周期費用的優(yōu)劣［1］。因此，對于新機可靠性研究而言，可靠性指標定量的確定具有重要意義。

直升機累計故障率是表征直升機可靠性的一個重要指標。累計故障率的大小直接反映了直升機可靠性的高低，可以為維修計劃、訓練保障、器材供應等裝備管理工作提供參考依據。但是，在目前直升機可靠性研究工作中，尤其是新裝備部隊的機型，其可靠性數據不易獲得，且數據量極少。同時，影響直升機累計故障率的因素眾多，各因素間的關系也無法確定。由此造成了新型直升機累計故障率預測過程中小樣本、貧信息的問題。

灰色系統(tǒng)理論［2］是由我國學者鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的一門學科，該理論以“小樣本、貧信息”不確定系統(tǒng)為研究對象，通過將灰色信息轉化為白色信息提取有價值的數據，實現對系統(tǒng)的正確認知。隨著灰色理論的不斷發(fā)展，灰色理論被廣泛地應用于產品壽命預測［3］、故障間隔時間預測［4］等工作中。同時，隨著灰色理論應用范圍的不斷擴大，一些新的問題也隨之產生，特別是針對非等距問題［5－7］，已經有多位學者進行了研究，并取得了一定的成果。

但是，直升機累計故障率預測具有其自身特點:1)故障率分布不同于GM(1，1)模型曲線;2)故障間隔時間不等，且跨度較大，而GM(1，1)模型在長期預測情況下誤差較大［8］;3)隨著故障間隔時間的增長，累計故障率終值將會趨近于1，而GM(1，1)模型終值是趨于發(fā)散的。

綜上，本文針對直升機累計故障率預測特點及灰色理論應用中出現的問題，提出了直升機累計故障率預測非等距Verhulst修正模型。首先對Verhulst模型原始數據進行等距處理，然后根據預測結果為模型添加預測誤差修正項，從而實現對直升機累計故障率的準確預測。

1 Verhulst模型原型

Verhulst模型具有如下特點:

1)要求原始數據為“S”型;

2)要求原始數據是等間隔的;

3)預測結果最終趨于一個恒值。

Verhulst模型的表達式為:

式中:a—常數，代表發(fā)展系數;b—常數，代表灰色作用量。

模型的解為:

式中:x(0)(t1)—x(1)(tn)的初始值;t1—初始時刻。

由式(2)可見，Verhulst模型的解x(1)(tn)隨時間tn變化呈“S”型，在開始端x(1)(tn)由初值x(0)(t1)隨時間tn增長而緩慢增長，中間段增長較快，在末端隨著tn→+∞，x(1)(tn)，將會達到一個恒定值——灰色發(fā)展系數:a/b。具體如圖1所示。

圖1 Verhulst模型曲線

該曲線與直升機累計故障率曲線相近。因此，可以應用Verhulst模型進行直升機累計故障率預測。但是，由于直升機累計故障率統(tǒng)計特點及Verhulst模型對原始數據的要求，需要對Verhulst模型進行改進才能實現對直升機累計故障率的準確預測。

2 非等距Verhulst修正模型

針對Verhulst模型在非等距預測中的應用問題已經有多位學者進行了研究，如:偶昌寶等［9］通過在區(qū)間上求積分對灰色背景值求取方法改進實現了對非等時距沉降量的預測;胡威等［10］則通過增加系數項對灰色背景值求取進行改進，對未來網絡安全形勢進行了預測;鄧成發(fā)等［11］通過增加時間影響因子實現了對面板堆石壩沉降的預測。但是，上述方法在應用過程中需要經過大量計算，且模型比較復雜。因此，本文提出了一種對原始數據序列進行等距化處理，然后通過誤差修正進行直升機累計故障率預測的非等時距Verhulst修正模型。

2.1 非等時距原始數據序列等距處理

設t1，t2，…tn為直升機故障間隔時間序列，記f(1)(ti)，i=1，2，…，n為其對應的直升機累計故障率觀測序列，且ti+1－ti≠ti+2－ti+1，i=1，2…n。可見，直升機累計故障率序列為非等時距序列。

下面對原始數據序列進行等距處理。

設時間序列平均間隔值為:

設αi為時間序列間隔權重，則有:

時間序列變?yōu)?

根據時間序列間隔權重對對應的直升機累計故障率觀測序列進行等距處理:

因為直升機累計故障率原始數據序列曲線與Verhulst模型曲線相近，即已經符合“S”型，因此按照Verhulst模型建模方法，取原始數據序列為:f(1)(ti)，i=1，2，…n。

其1－IAGO序列為f(0)(ti):

其灰色背景值:

應用最小二乘法求取非等時距Verhulst模型參數序列:

式中:a—白化系數(發(fā)展系數);b—灰色作用量。

且構造:

通過對非等時距Verhulst模型求解可得:

2.2 誤差修正項的確定

由式(12)可見，隨著故障間隔時間tx增長，非等時距Verhulst模型終值趨近于灰色發(fā)展系數:a/b，而直升機累計故障率終值趨近于1，這就意味著a/b將直接影響到非等時距Verhulst模型長期預測的精度，且最終誤差為:1－a/b。為此，需要對非等時距Verhulst模型進行修正。

任何預測模型在短期預測內誤差一般較小，隨時間不斷增長，預測誤差也將不斷增大，因此本文以時間為誤差修正系數因子構造非等時距Verhulst模型預測誤差修正系數f′。

即:

式中:F(tx)—故障間隔時間tx的函數。

且F(tx)∈［0，1］，即在時間序列最初點處修正誤差為0，而在故障間隔時間趨于無窮大時修正誤差達到最大值1－a/b。

按上述要求構造F(tx)有:

則修正后的非等時距Verhulst模型解為:

3 實例

表1中的數據是從參考文獻［12］中提取的某型直升機累計故障率數據。

表1 某型直升機累計故障率數據

由表1可見，某型直升機故障間隔時間為非等時距序列。且其累計故障率曲線與Verhulst曲線相近。因此，應用本文所提出的方法進行故障率預測。

由式(4)可得平均故障間隔時間為:

按式(5)、式(6)對原始數據序列進行等距處理后，建立非等時距Verhulst模型并取前5個數據作為原始數據序列進行建模及預測。

可求得模型參數:

a= －1.0425，b= －1.1138。

則:a/b=0.94。

由式(13)可得誤差修正系數為:

非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型對原始數據序列擬合、預測結果見表2，擬合比較曲線如圖2所示。

表2 非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型預測結果比較

圖2 非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型擬合曲線比較

由表2數據可見，非等時距Verhulst模型平均預測精度達到了93.69%，非等時距Verhulst修正模型平均預測精度達到了94.1%，精度相差不多。但是在長期預測過程中，例如故障間隔時間為1284.8小時和1515.43小時時，非等時距Verhulst模型預測精度為92.78%，而非等時距Verhulst修正模型預測精度為:98.75%，要高于非等時距Verhulst模型。同時，當故障間隔時間進一步增長，直升機累計故障率將趨近于1，而非等時距Verhulst模型預測精度勢必進一步降低。

4 結論

1)非等時距Verhulst修正模型通過對原始數據序列的時間序列求取平均值，并以此確定等時距處理時的權重，實現了Verhulst模型在非等時距預測中的應用。

2)根據Verhulst模型終值趨于灰色發(fā)展系數，而直升機故障率終值趨于1的特點，通過對非等時距Verhulst模型添加預測誤差修正項，提高了模型預測精度，解決了模型終值趨于灰色發(fā)展系數的局限性，對于中長期預測具有重要的意義。

3)通過本文實例可見，本文所提方法具有結構簡單，初始數據易于處理，預測值無需還原計算，中長期預測精度較高等特點。該方法還可應用于其他具有累計故障率相似分布形式的裝備、產品累計故障率預測中，為“小子樣、貧信息”系統(tǒng)累計故障率預測提供了一種新的方法。

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