直線滾動導軌副動態特性分析

李 磊，張建潤，劉洪偉

(1.東南大學 機械工程學院，南京 211189;2.江蘇科技大學 機械工程學院，江蘇 鎮江 212000)

直線滾動導軌副由于運動阻力小、定位精度高等優點逐漸取代滑動導軌成為高速高精度數控機床的重要功能部件，其動態特性建模特別是導軌滑塊結合面建模精度對機床整機動態分析有重大影響。國外早在上世紀90年代便開始對滾動導軌副動態特性進行了深入研究，主要包括結合面運動機理研究和動態特性建模研究［1－2］。近年來，結合面非線性特性引起了國外學者的重視［3］。國內對于直線滾動導軌建模研究也廣泛開展:劉陽等［4］通過有限元方式建立了導軌結合面模型應用于機床整機建模和分析并進行了實驗驗證，毛寬民等［5］結合有限元方法提出了一種新的直線滾動導軌副結合部動力學模型，文獻［6］使用彈簧阻尼單元模擬滑塊導軌結合面取得了良好的結果。以上模型主要是基于有限元方法，其建模精度受到結合面單元分布形式和結合面參數的影響;同時，由于忽略了結合面非線性因素的影響，建模精度不高，制約了高速、高精度數控機床動態特性建模和分析的可靠性。

基于前人的研究［1－2，7］，本文針對一款直線滾動導軌，探討結合部剛度計算方法，通過模態理論和拉格朗日方程建立該導軌副動力學模型，分析其固有特性，并運用模態實驗進行了分析驗證;同時，考慮結合面非線性特性，基于實驗討論了預緊力和外部激勵等對導軌系統剛度和阻尼特性的影響，為精確建立高速、高精度機床整機動態模型和系統穩定性分析奠定了基礎。

1 導軌系統結合面模型及其特性參數獲取

直線滾動導軌主要由導軌、滑塊、保持架以及導軌滑塊間的滾動鋼球組成(如圖1)，其動態特性很大程度上取決于鋼球和導軌滑塊間的結合部剛度。為此，建立導軌系統動態特性模型首先要建立結合部剛度模型，方法主要有赫茲理論法和基于模態理論的模態參數法。

圖1 直線滾動導軌副結構簡圖Fig.1 Configuration of linear motion guide(LMG)

1.1 赫茲理論法

赫茲理論是接觸力學的經典理論，由赫茲理論可知滾動導軌副的鋼球－導軌及鋼球－滑塊結合面接觸區域是橢圓面。為了計算局部變形，可以這樣簡化:每個物體可以看成是彈性半空間體，載荷作用在平表面的一個小的橢圓區域內。根據赫茲理論，鋼球剛度可由下式獲?。?］:

1.2 模態參數識別法

滾動導軌副工作時承受的載荷可以分解到垂直于滑塊連接面(法向)和側向(切向)。對機床導軌的每個方向進行剛度測試時，導

軌可以簡化成一個單自由度系統。導軌與滑塊接觸面的每個方向的接觸剛度及其相應的阻尼都可通過識別滑塊在導軌上所表現出來的模態來獲得［6］。

根據分量分析法，通過實驗測得導軌副傳遞函數(圖2)，通過半功率法可以識別該方向上的剛度及阻尼值:

圖2 直線滾動導軌傳遞函數Fig.2 Transfer function of linear motion guide

其中:ζr=(ωa－ ωb)/2ωi為阻尼比，M 為滑塊質量，f=ωi為系統頻率，ωa、ωb為半功率點。

赫茲理論法可獲取系統靜剛度，模態參數識別法獲取系統動剛度，文獻［6］中證明了兩種方法的在滾動導軌結合面建模中的一致性和可靠性。

2 直線滾動導軌系統動力學特性理論分析［1］

拉格朗日方程利用廣義坐標描述非自由質點系的運動，在解決微幅振動問題和剛體動力學問題中起了重要的作用:

滾動直線導軌的系統動能可由下式求解:

由于導軌滑塊結合面表現出彈性阻尼特性，可以將滾珠簡化成彈簧，其勢能為:

其中:k=KV/4lsin2α［1］，為鋼球導軌面的單位長度法向剛度，KV為鉛垂方向的剛度(根據模態參數法獲取)，α為滾珠與滑塊的接觸角，l為接觸區長度，x為變形量，其它結構見圖1。

將系統動能與系統勢能代入拉格朗日方程，運用MATLAB軟件開發通用計算程序求解得到［1］:

滑塊振動的豎向固有頻率:

滑塊振動的擺動固有頻率:

滑塊振動的斜向振動頻率:

由f=ω/2π可得低階和高階滾動固有頻率。且:

以上固有頻率表達式表明:系統固有頻率是結合面剛度的函數(不考慮阻尼)。然而，結合面特性影響因素眾多且表現出強烈的非線性，要建立準確的機床分析模型必須考慮導軌結合面的非線性特性。有學者提出結合面剛度和阻尼的表達式［8］:

其中:p，ω，x分別為法向壓力、外載荷激振頻率和單位結合面位移激勵幅值;α，β，γ，η為特性系數，其值與結合面材料加工方式、表面粗糙度潤滑狀態和油膜介質類型相關。后面將進一步對其非線性特性進行討論。

3 實驗分析

結合一款滾動直線導軌分析其動態特性，其具體參數如表1(滑塊質量為4.7 kg，剛度通過模態實驗法獲取):

表1 導軌參數Tab.1 Parameters of linear motion guide

將導軌參數代入可求出導軌滑塊系統的前五階固有頻率(見表2)。

對該導軌用大直徑螺栓固定于地面進行約束狀態下的模態實驗，實驗原理如圖3所示，實物圖如圖4所示，采用力錘對滑塊進行激勵，使用三向加速度傳感器獲取加速度信息，通過頻譜分析并結合振型分析得到其傳遞函數如圖5所示。

根據模態實驗結果(表2)可以看出，理論值跟實驗值基本吻合，最大誤差在5%左右。然而，該模型其沒有考慮阻尼特性且忽略了結合面非線性，僅能對系統動態特性進行初步計算。對于高檔機床而言，結合面非線性對系統動態特性和加工穩定性有重要影響，下面將重點予以討論。

圖5 導軌系統模態頻率曲線Fig.5 Frequent curve of the linear motion guide

表2 實驗結果與理論值得比較Tab.2 Comparing of the result of theory and testing

4 導軌系統非線性特性分析

由于結合面作用機理還不明確，在理論上獲得式(9)的準確表達是非常困難的。為此，僅對導軌結合面非線性特性進行定性分析。

4.1 預緊力對系統動態特性的影響分析

滾動導軌預緊一般通過調節鋼球直徑實現，調節預緊力可以提高導軌系統初始接觸力從而提高其剛性和定位精度。由前面推導過程可知，滾動導軌固有頻率和結合面剛度直接相關，適當提高預緊力大小可以改善滾動導軌副的動態特性，隨著預緊力的提高系統各階固有頻率有了顯著提高(如圖6所示)。文獻［9］從分析系統響應角度指出:提高滾動導軌預緊力可以提高系統剛度，進而改善機床動態性能。但是，當鋼球直徑過大帶來結合面摩擦力的提高，破壞了結合面微觀連接機制，導致能量損耗，系統動態特性出現無規律的變化。為此，有必要根據機床動態特性要求及加工參數合理的選擇導軌副預緊力的大小。

4.2 外部激勵對系統動態特性的影響分析

為了研究外部激勵對系統動態特性的影響，對自由狀態下的導軌滑塊系統做模態實驗，在相同預緊力條件下，改變外部激勵的幅值，實驗結果如圖7所示。

測試結果顯示:隨著振動量級的增大，自由狀態下系統的低階固有頻率沒有發生明顯變化，而高階固有頻率(3 000 Hz以上)發生了有規律的衰減，該結果和文獻［10］基本一致。這主要是由于導軌－滑塊系統在一定的預緊力條件下能夠保持一定的剛度特性，使得系統動態特性維持穩定狀態，但隨著外載荷的提高，較大的外載荷導致系統剛度下降并表現出明顯的阻尼特性，導致了系統固有頻率的衰減。為此，低階狀態下可以將該系統近似為線性系統，而對于高速高精度及重載數控機床，高階動態特性不能忽略，必須考慮結合面非線性對機床動態性能的影響。

圖6 預緊力對系統固有頻率的影響Fig.6 Effect of preload to natural frequency

4.3 結合面阻尼特性分析

一般認為阻尼是影響機械系統穩定性的重要因素，而結合面是引起結構阻尼的主要原因。根據接觸理論，假設結合面是無數峰－谷組成的不平面，微運動意味著在不產生宏觀運動條件下，其峰－峰，峰－谷之間出現相對非常小的局部接觸和運動。伴隨微運動，系統動載荷會逐漸耗散，微運動區域會隨接觸載荷的降低而減小，幅度會隨載荷幅值的增加而增加。當微運動現象逐漸轉變為宏觀滑動，從而導致結合面的阻尼或能量耗散增加。

圖8為不同預緊下，結構加速度隨時間衰減的曲線，可以明顯看出，低預緊力結構的加速度衰減率大大高于高預緊力(或整體結構)情況，而加速度的衰減正是由于結合面阻尼引起的能量損耗進而影響系統穩定性。因此，考慮預緊力對系統穩定性影響是機械系統動力學設計的重要方面。

5 結論

(1)分析了滾動直線導軌剛度的計算方法，結合拉格朗日方程建立某導軌系統動態特性方程，通過MATLAB開發了通用計算程序;模態實驗結果和理論值誤差在5%左右，表明該方法可以應用于滾動直線導軌動態特性的初步分析;

(2)實驗表明:由于結合面的存在，直線滾動導軌表現出強烈的非線性動態特性，其剛度值、阻尼值和固有頻率是法向壓力(預緊力)和外載荷激振量級的函數，在低頻段可以近似為線性系統，但在高頻段應當考慮非線性對系統動態性能的影響;

(3)僅討論了預緊力和外部激勵對導軌結合面的作用，其結合部運動機理及阻尼特性還有待于進一步的理論研究和大量的實驗驗證，從而為提高機床整機動態特性分析精度和機床加工穩定性提供理論和實驗依據。

［1］ Ohta H.Vibration of linear guideway type recirculating linear ball bearings［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，235(5):847－861.

［2］ Yi Y S，Kim Y Y，Choi J S，et al.Dynamic analysis of a linear motion guide having rolling elements for precision positioning devices［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2008，22(1):50－60.

［3］ AI-Bender F，SymensW.Characterization offrictional hysteresis in ball bearing guideways［J］.Wear，2005，258(11－12):1630－1642.

［4］ 劉 陽，李景奎，朱春霞，等.直線滾動導軌結合面參數對數控機床動態特性的影響［J］.東北大學學報(自然科學版)，2006，27(12):1369－1372.LIU Yong，LI Jing-kui，ZHU Chun-xia，et al.Influence of linear rolling guide joint on dynamic behavior of NC machine tools［J］.Journal of Northeastern University 2006，27(12):1369－1372.

［5］ 毛寬民，李 斌，謝 波，等.滾動直線導軌副可動結合部動力學建模［J］.華中科技大學學報，2008，36(8):85－88.MAO Kuan-min，LI Bin，XIE Bo，et al.Dynamic modeling of the movable joint on rolling linear guide［J］.Journal of Huazhong University of Science ＆ Technology，2008，36(8):85－88.

［6］ 李 磊，張勝文，于 洋，等.滾動導軌結合面參數識別及仿真分析［J］.江蘇科技大學學報，2009，23(2):142－145.LI Lei，ZHANG Sheng-wen，YU Yang，et al.Parameter identification and simulation analysis of the rolling guideway［J］.Journal of Jiangsu University of Science and Technology ，2009，23(2):142－145.

［7］ 周傳宏，孫健利，楊叔子.滾動直線導軌副的振動模型研究［J］.機械設計，1999(2):21－24.ZHOU Chuan-hong，SUN Jian-li，YANG Shu-zi.A study on the vibration model of rolling linear guiding pairs［J］.Jixie Sheji，1999，(2):21－24.

［8］ 張廣鵬，史文浩，黃玉美.機床導軌結合部的動態特性解析方法及其應用［J］.機械工程學報，2002，38(10):114－117.ZHANGGuang-peng， SHIWen-hao， HUANGYu-mei.Analysis method of dynamic behaviors of guideway joint and its application in machine tools design［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2002，38(10):114－117.

［9］ Lin C Y，Hung J P，Lo T L.Effect of preload of linear guides on dynamic characteristics of a vertical column–spindle system ［J］.International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2010，50(8):741－746.

［10］ 陳學前，杜 強，馮加權.螺栓連接非線性振動特性研究［J］.振動與沖擊，2009，28(7):196－198.CHEN Xue-qian，DU Qiang，FENG Jia-quan.Nonlinear vibrational characteristic ofbolt-joints［J］.Journalof Vibration and Shock ，2009，28(7):196－198.