基礎不均勻沉陷誘發車－橋耦合動力學建模與分析

朱懷亮， 方英東， 謝 嚴， 王 雪

(1.上海大學 力學系，上海 200444;2.上海市應用數學和力學研究所，上海 200072)

對于軟土性地基上的高速軌道系統來說，基礎下沉是一個普遍性的問題。由基礎不均勻沉陷所造成的局部沉降差直接導致了軌道的不平順，誘發車－橋系統振動加劇，嚴重影響乘車的舒適度和行車的安全性。因此，隨著高速、重載、大跨度車－橋運輸系統的建設，探討基礎不均勻沉陷對車－橋系統動力響應和特性的影響已越來越引起相關研究者的高度關注［1－3］。

為了揭示基礎不均勻沉陷導致的局部沉降差對車橋耦合振動的影響，本文研究軸向力作用下連續梁橋模型當某個支座發生沉陷而誘發的軌道不平順問題，提出了描述支座沉陷激勵的力學模型，建立基礎局部沉陷和橋梁軸向力作用下的車－橋系統耦合動力學方程，數值模擬并分析了基礎沉陷、行車速度、軸向力和結構動力參數等對系統動力響應和特性的影響。

1 車－橋系統力學模型

車－橋系統的力學模型如圖1所示。其中車輛采用二分之一車模型，橋梁為具有彈性約束的連續梁，分別建立車輛和橋梁的動力學方程［4－7］。

圖1 車輛－橋梁基礎系統Fig.1 Vehicle-bridge system

1.1 車輛振動微分方程

在圖示坐標系下，就表示車輛的兩系彈簧－阻尼－質量系統由達朗貝爾原理建立振動控制方程，其中車體可考慮沉浮(豎向)運動和點頭(旋轉)運動，構架和輪對則只考慮沉浮(豎向)運動。

1.1.1 車體沉浮運動

1.1.2 車體點頭運動

1.1.3 左轉向架沉浮運動

1.1.4 右轉向架沉浮運動

式中:mc為車體質量;m1和m2分別為左、右構架與輪對質量之和;yc為車體質心的豎向位移(沉浮);θc為車體轉角(點頭);y1和y2分別為左右轉向架質心的豎向位移;Ic為車體的點頭剛度;k1為一系垂向剛度;c1為一系垂向阻尼系數;k2為二系垂向剛度;c2為二系垂向阻尼系數。a為車輛兩輪之間的距離，yb(x，t)為橋梁的豎向位移。

1.2 橋梁振動微分方程

將橋梁模擬為由多個線性、對稱彈性支承和阻尼器作用下的連續梁，設單位長度質量為mb，長度為l，抗彎剛度為EbIb。不考慮剪切變形和轉動慣量的影響，車輛對橋梁的作用力為:

式中:p1(x，t)、p2(x，t)分別為左、右車輪與橋梁間的耦合作用力，η1、η2分別為兩輪處由橋面和軌道不平順引起的時變激擾函數，δj為狄里克雷函數，具體為:

式中:ν為行車速度，于是，橋梁振動微分方程表示為:

式中:Nb為橋梁的軸向力，表示了橋梁和軌道中因基礎沉陷、結構變形、多余約束和溫度改變等引起的縱向作用力。對于連續梁，應用振型分解方法［8－9］，將yb(x，t)代入式(8)，沿梁長積分并聯立式(1)～式(4)和式(8)，得到車－橋耦合系統的動力學控制方程為:

式中:{q}為廣義位移向量，{q}=［yc，θc，y1，y2，q1，q2，…，qn］T;［M］為廣義質量矩陣;［C］為阻尼矩陣;［K］為剛度矩陣;{P}為廣義力向量。

2 基礎沉陷模型

當支承發生下沉時，會導致橋梁局部坍陷或形成沉降三角坑，從而引起軌道嚴重的幾何不平順，如圖2(a)所示，其中下沉量為Ω。一般情形下，軌道幾何不平順可以用某個簡諧波近似描述為:

圖2 橋梁支承沉陷引起的三角坑和軌道不平順Fig.2 Rail irregularity with local subsidence of foundation

如圖2(b)，其中λi為不平順波長，ei為波深。對圖2(a)所示的橋梁沉降三角坑，利用傅里葉級數展開。設l1=l2=l/2，在圖示坐標系下橋梁的沉陷方程為:

左半段:

右半段:

在其定義域內進行偶延拓，并將其表示成一系列的諧波激擾函數，其中各系數分別為:

將式(10)、式(11)代入式(12)得:

整理得:

不平順激擾函數表示為:

3 算例分析

3.1 參數選擇

對于圖示車－橋耦合系統，采用Newmark－β法迭代求解系統的動力響應，不平順函數取6階傅里葉級數即可獲得穩定的激勵效果［10－11］。文獻［12］反映了不同基礎沉陷、橋梁軸向力、車輛剛度和阻尼等系統特性對動力響應的影響和變化規律，其中車輛參數為:車體質量 mc=3.85×104kg，前、后轉向架與車輪的質量和均為 m1=m2=4.33 ×103kg，轉動慣量 Ic=2.446 ×106kg·m2，車輛前后輪間的距離均為a=8.4 m，剛度系數 k1=k2=2.535×106N/m，阻尼系數 c1=c2=1.920 8×106N·s/m，車輛速度分別取v=20 m/s、40 m/s和60 m/s。橋梁參數為:取雙跨連續梁，跨度l=100 m，單位梁長質量mb=1.08×104kg/m，抗彎剛度 EbIb=5.18×1010N·m2，cd=3.21×105N·s/m，kd=2.535×106N/m。橋梁的軸向預拉力 Nb=5×107N。

3.2 算例分析

3.2.1 基礎沉陷對系統耦合振動的影響

圖3～圖6分別表示了橋梁和車輛各動力響應與基礎沉陷量之間的關系，可以看出基礎局部沉陷對車－橋系統振動位移和加速度的影響。無論對車體和橋梁來說，隨著支承沉陷量的增加，其動態響應的各幅值都明顯增大，由系統的振動加速度變化曲線還可表明，過大的局部沉陷量伴隨著明顯的動力沖擊，這不僅直接關系到車輛運行的舒適度和安全性，而且還會嚴重影響橋梁的使用壽命。

3.2.2 車速對耦合振動的影響

圖7～圖10分別表示了速度對車－橋系統動力響應的影響，可以看出行車速度顯著改變了系統的振動形態。在一定條件下，隨著車輛速度的增加，橋梁和車體的振動響應以及車橋之間相互作用力的幅值都隨之增大，同時使得振蕩加劇、高階模態振動被激發，特別是當車輛高速通過發生基礎局部沉陷的橋梁時，車－橋之間的動反力顯著增大，同樣伴隨著明顯的振動沖擊。

3.2.3 軸向力對耦合振動的影響

圖11和圖12分別給出了支承沉陷條件下不同軸向力作用所引起的車－橋動力響應，比較可以看出，當基礎發生一定沉陷時(下沉量Ω=0.05 m)，不同的軸向力作用會對系統的動力響應產生不同程度的影響。一般說來，隨著橋梁的軸向拉力加大，橋梁中點的振動位移和車體重心處的振動位移幅值都會相應減小，施加合理的軸向力能在一定程度上控制因支承沉陷而引起的振動響應。

圖12 橋梁第一跨中點豎向位移Fig.12 Displacement at midpoint of first span

4 結論

(1)橋梁基礎的不均勻沉陷會對車－橋耦合系統的動力響應產生明顯的不利影響。一般說來，沉陷量越大，系統各響應的振動幅值也越大，過大的局部沉陷量還伴隨著明顯的動力沖擊。因此控制橋梁基礎的不均勻沉陷，特別是在沿海軟土地區，對減小車－橋耦合系統的振動響應、提高車輛運行的平順性和安全性具有積極而重要的意義。

(2)系統的動態響應會隨著車速的提高而明顯加大，特別是當車輛高速通過橋梁時，會引起結構較大幅值的橫向振動，車－橋間的動反力也急劇增大，并對車輛和橋梁造成較大的沖擊。

(3)在考慮基礎不均勻沉陷的情況下，橋梁軸向力會對系統動力學響應產生明顯的影響。隨著軸向拉力的加大，橋梁和車體的振動響應都會不同程度地減小，特別是對于大跨度和輕柔型橋梁系統來說，軸向力和軸向約束對系統橫向振動的影響也是不可忽略的因素。

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