磁懸浮隔振器分塊歸一化LMS算法控制研究

魏璀璨，王 永，陳紹青，梁 青

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 自動(dòng)化系，合肥 230027)

近年來，振動(dòng)控制問題已經(jīng)成為人們研究的熱點(diǎn)。其中，隔振技術(shù)作為振動(dòng)控制問題的一個(gè)重要研究方向，日益受到人們的重視，并在許多方面得到應(yīng)用。按照是否需要外加能源，隔振技術(shù)又可分為主動(dòng)隔振與被動(dòng)隔振。相對(duì)被動(dòng)隔振而言，主動(dòng)隔振能夠有效抑制低頻振動(dòng)，并且自適應(yīng)性較好，因而日益受到重視［1－2］。

本文研究的對(duì)象是一種自行研制的新型主動(dòng)隔振器［3］，該隔振器采用電磁懸浮技術(shù)，故也稱為磁懸浮隔振器。由于該隔振系統(tǒng)的參考信號(hào)與振源信號(hào)相關(guān)且是穩(wěn)定的，故考慮采用自適應(yīng)前饋控制方法進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制。其中濾波x最小均方(Filtered x Least Mean Square——濾波x－LMS)算法因其具有算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因而在振動(dòng)主動(dòng)控制中應(yīng)用十分廣泛［4－6］。梁青等［7］設(shè)計(jì)了基于濾波 x－ LMS 算法的控制律，在單頻振源激勵(lì)下對(duì)磁懸浮隔振器進(jìn)行了振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)。Rupp等［8］把魯棒性引入到濾波x－LMS算法中，提出了魯棒濾波x－LMS算法，并提高了其收斂性能。但是該算法需要對(duì)次級(jí)通道模型進(jìn)行精確建模。對(duì)次級(jí)通道進(jìn)行精確建模將會(huì)增加系統(tǒng)的復(fù)雜度，而且如果次級(jí)通道的建模有誤差，則可能導(dǎo)致自適應(yīng)算法的發(fā)散。文獻(xiàn)［9］把歸一化LMS算法引入到主動(dòng)隔振控制中，并以一種基于磁致伸縮作動(dòng)器的雙層隔振平臺(tái)作為研究對(duì)象，討論了歸一化LMS算法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，但是其只是對(duì)該算法進(jìn)行了仿真，缺乏實(shí)驗(yàn)研究。本文引入了一種分塊歸一化LMS(Block Normalized Least Mean Square)算法［10］，該算法不需要對(duì)次級(jí)通道進(jìn)行建模，且結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。對(duì)該磁懸浮隔振器進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，在6.0～15.0 Hz頻段內(nèi)的單頻振源激勵(lì)下測(cè)試了系統(tǒng)的響應(yīng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該控制算法收斂速度較快，取得了良好的隔振效果。

1 分塊歸一化LMS算法

1.1 最小均方算法

最小均方(Least Mean Square—LMS)算法是Widrows和Hoff于1959年提出的。它是一種搜索算法，通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，簡化了對(duì)梯度向量的計(jì)算。一般來說，LMS算法包含兩個(gè)基本過程［11］:一為濾波過程:包括①計(jì)算線性濾波器輸出對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng);②通過比較輸出結(jié)果與期望響應(yīng)產(chǎn)生估計(jì)誤差。二為自適應(yīng)過程:根據(jù)估計(jì)誤差自動(dòng)調(diào)整濾波器參數(shù)。這兩個(gè)過程一起工作組成一個(gè)反饋環(huán)，如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理圖Fig.1 Schematic diagram of Adaptive Filter

其中:x(k)為參考信號(hào)，自適應(yīng)濾波器將輸出y(k)與期望輸出d(k)比較，并用誤差e(k)去控制自適應(yīng)加權(quán)矢量，使得誤差信號(hào)的均方差 ξ(k)=E{e2(k)}最小。LMS算法用k時(shí)刻誤差信號(hào)的平方值近似該時(shí)刻的均方差，即:

利用該值對(duì)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行微分得到梯度估計(jì)為:

因此加權(quán)矢量的遞推公式為:

式(3)LMS算法。

1.2 分塊歸一化LMS算法

基于LMS算法的自適應(yīng)前饋控制的權(quán)向量更新公式可以寫為:

塊LMS算法的一個(gè)顯著特點(diǎn)是在它的設(shè)計(jì)中結(jié)合了如下梯度向量的估計(jì)［11］:

其中:μB=Lμ，這個(gè)新的常數(shù)μB可看作是塊LMS算法的“有效”步長參數(shù)。

故分塊LMS算法的權(quán)向量更新公式可以表示為:

同時(shí)考慮到歸一化能夠改善LMS算法的魯棒性，使系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)定性，因此加入歸一化步長因子。在歸一化LMS算法中，步長因子是隨著輸入序列而變化的，定義為

綜上可得分塊歸一化LMS算法權(quán)向量的更新方程為［10］:

由式(8)可以看出，參考信號(hào)不需要通過次級(jí)通道，所以該算法不需要對(duì)次級(jí)通道進(jìn)行建模。在實(shí)際應(yīng)用中，測(cè)量噪聲對(duì)系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生影響。為了減少測(cè)量噪聲的影響，所有信號(hào)都經(jīng)過了帶通濾波。該算法流程圖如圖2所示。

圖2 磁懸浮隔振器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)算法原理圖Fig.2 Experimental system diagram of electromagnetic suspension vibration isolator

2 實(shí)驗(yàn)裝置及方案

設(shè)計(jì)的磁懸浮隔振器物理實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原理框圖如圖3所示。

圖3 磁懸浮隔振器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.3 Algorithm Schematic of electromagnetic suspension vibration isolation system

整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由兩大部分組成:機(jī)械部分和電控部分。機(jī)械部分包括安裝基礎(chǔ)、負(fù)載、激振器和磁懸浮隔振器，它們分別作為控制對(duì)象，擾動(dòng)源和執(zhí)行機(jī)構(gòu);電控部分包括加速度傳感器、信號(hào)采集與調(diào)理模塊、控制器、功率放大器等。該磁懸浮隔振實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)是一種柔性基礎(chǔ)混合隔振系統(tǒng)［12］，其原理如圖4所示。

圖4 磁懸浮隔振系統(tǒng)隔振原理圖Fig.4 Schematic diagram of electromagnetic suspension vibration isolation system

圖4中，m1和m2分別為負(fù)載質(zhì)量及安裝基礎(chǔ)質(zhì)量，fd為激振力，C1為隔振器樣機(jī)阻尼，C2為安裝基礎(chǔ)支撐彈簧阻尼，K1為隔振器樣機(jī)剛度系數(shù)，K2為安裝基礎(chǔ)支撐彈簧的剛度系數(shù)。S1和S2分別為兩個(gè)加速度傳感器，用以測(cè)量振動(dòng)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)中負(fù)載加速度傳感器S1位于負(fù)載平面靠近振源的部位，靠近振源能更好的反映振源的情況，且測(cè)得的振動(dòng)幅值是整個(gè)負(fù)載平面上振動(dòng)幅值最低的，因而更能客觀評(píng)價(jià)所用算法的有效性;基礎(chǔ)加速度傳感器S2位于基礎(chǔ)平面與S1同軸的位置上。

按照?qǐng)D3所示連接磁懸浮隔振系統(tǒng)的各個(gè)部件。PC機(jī)通過PCI1710板卡采集四路信號(hào):激振模塊信號(hào)發(fā)生器的輸出信號(hào)用作參考信號(hào)，阻抗頭用于監(jiān)測(cè)激振力信號(hào)，基礎(chǔ)加速度信號(hào)用于生成誤差信號(hào)，相對(duì)位移信號(hào)用于計(jì)算電磁作動(dòng)器的氣隙大小，負(fù)載加速度信號(hào)用于監(jiān)測(cè)負(fù)載加速度的變化;通過PCI1720板卡輸出兩路信號(hào)，它們經(jīng)過功率放大器后驅(qū)動(dòng)磁懸浮隔振器中的上下兩塊電磁鐵。

根據(jù)分塊歸一化LMS算法編寫應(yīng)用于PC機(jī)上的軟件部分。設(shè)定系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)時(shí)間為120 s，采樣頻率為1 000 Hz，實(shí)驗(yàn)過程中前后20 s不施加振動(dòng)主動(dòng)控制，中間80 s施加振動(dòng)主動(dòng)控制。選擇6.0 Hz開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。變換到下一個(gè)頻率點(diǎn)重復(fù)上述操作，其中6.0～9.0 Hz每隔0.2 Hz進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，9.0 ～15.0 Hz每隔 1.0 Hz進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了反映實(shí)際的隔振效果，長期以來工程技術(shù)界擬定了多種隔振評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中常用的隔振評(píng)價(jià)指標(biāo)主要有以下四種［13］:振級(jí)落差，插入損失，力傳遞率和功率流。

本文采用加速度振級(jí)落差來對(duì)隔振效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。加速度振級(jí)落差定義為［14］被隔離體振動(dòng)響應(yīng)的有效值的平方，與對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)響應(yīng)的有效值的平方之比的常用對(duì)數(shù)的10倍。依據(jù)上述定義，得加速度振級(jí)落差為:

其中:Ab為主動(dòng)控制施加前負(fù)載加速度響應(yīng)信號(hào)，Ac為施加主動(dòng)控制后安裝基礎(chǔ)上的加速度響應(yīng)信號(hào)表示的是振動(dòng)加速度響應(yīng)的能量平均。開啟振動(dòng)主動(dòng)控制程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并獲取數(shù)據(jù)。分別提取第12～14 s(起振，但是未施加振動(dòng)主動(dòng)控制的穩(wěn)定階段)和第90～92 s(施加振動(dòng)主動(dòng)控制，并已基本穩(wěn)定的階段)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。經(jīng)過測(cè)量得，隔振器負(fù)載質(zhì)量m1=507.3 kg，基礎(chǔ)質(zhì)量m2=1 025.8 kg。根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分別給出對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對(duì)各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)，可畫出隔振實(shí)驗(yàn)效果圖，其中6.8 Hz和7.8 Hz處的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

對(duì)6.8 Hz處實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，如圖7和圖8所示。其中圖7為激振頻率為6.8 Hz時(shí)主動(dòng)隔振前后負(fù)載加速度與基礎(chǔ)加速度信號(hào)幅值對(duì)比圖，圖8為6.8 Hz激振時(shí)主動(dòng)隔振前后基礎(chǔ)加速度頻譜圖。根據(jù)式(9)的評(píng)價(jià)方法可以計(jì)算出6.8 Hz處磁懸浮隔振器隔振效果為30.58 dB。

圖7 6.8 Hz激振時(shí)加速度信號(hào)對(duì)比Fig.7 Acceleration signal comparison at 6.8 Hz

圖8 6.8 Hz激振時(shí)主動(dòng)隔振前后基礎(chǔ)加速度頻譜Fig.8 Frequency spectra of acceleration response before ＆ after control at 6.8 Hz

由以上各圖可以看出，采用分塊歸一化LMS算法，系統(tǒng)的基礎(chǔ)加速度響應(yīng)在加入主動(dòng)隔振后只用了60s左右即達(dá)到最小值，且主動(dòng)隔振前后基礎(chǔ)加速度有了明顯的衰減，隔振效果明顯，驗(yàn)證了該算法的有效性。按照式(9)的評(píng)價(jià)方法可以計(jì)算出在不同頻率點(diǎn)處該磁懸浮隔振器所取得的主動(dòng)隔振控制效果如表1所示。

表1 主動(dòng)隔振控制效果Tab.1 Effect of active vibration-isolation

可以看出，在6.0～15.0 Hz頻段內(nèi)，采用分塊歸一化LMS算法控制磁懸浮隔振器，對(duì)基礎(chǔ)加速度的振動(dòng)有很好的抑制作用。由上表可見，主動(dòng)隔振控制都取得了17 dB以上的隔振效果，其中，6.8Hz處更是取得了30.58 dB的隔振效果。

4 結(jié)論

針對(duì)自行研制的磁懸浮隔振器，引入了分塊歸一化LMS算法，對(duì)具有非線性特性的磁懸浮隔振器進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制。該算法不需要對(duì)次級(jí)通道進(jìn)行建模。在磁懸浮隔振實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該算法能夠較快的收斂到最小值，并在6.0～15.0 Hz頻段內(nèi)取得了17 dB以上的隔振效果。

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