二階振動系統的解耦條件及算法研究

沈繼紅，胡 波，王 侃，金 鑫

(1.哈爾濱工程大學 理學院，哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001)

二階振動系統問題頻繁地產生于各種工程應用中，如艦船垂向運動系統、車橋耦合系統、質量彈簧阻尼系統、流固耦合系統以及冰載荷計算等等，因此被廣泛研究［1－4］。在對系統進行動態分析時，通常要將二階振動系統進行解耦，即將一個多自由度的二階振動系統解耦成多個無關的單自由度子系統。

圖1所示的質量彈簧系統是一個典型的二階微分運動系統，其實質是一個二階振動系統解耦問題。為了實現二階振動系統的動態響應分析，Caughey等［5］提出了經典阻尼系統三個矩陣同時對角化的充要條件，文獻［6］通常采用忽略模態阻尼矩陣非對角元素的近似解耦方法來分析非經典阻尼系統，并且當模態阻尼矩陣滿足對角占優［7］的情況時誤差可忽略。文獻［7］通常將系統阻尼項弱化或者假定為比例阻尼系統，進而通過廣義特征值分解法來實現系統解耦。在文獻［8－9］中Garvey等首次提出通過保持Lancaster結構的同譜變換來研究二階系統的解耦，Moody等在文獻［10］中從理論上證明了幾乎對所有的二階系統都存在等價變換，文獻［11］中利用保結構同譜流算法來實現二階系統解耦，但是譜特征的保持效果并不好，如果解耦前后系統的譜性質沒有得到完整的保持，那么解耦后的系統就不能代表原始系統的特征，解耦的研究也就失去了意義。因此，解耦研究的關鍵就是系統譜特征的保持。針對二階振動系統的解耦問題，本文提出了二階振動系統可解耦的條件并給出了相應的證明，利用解耦前后系統同譜的性質構造了解耦系統的三個參數矩陣，實現了二階振動系統的同譜解耦。文中主要研究質量矩陣非奇異的正則二階振動系統。

圖1 2自由度質量彈簧系統Fig.1 Two-degree-of-freedom mass－ spring system

1 二階振動系統的解耦理論

針對圖1所示的質量彈簧振動系統建立運動方程:

其中，M，C，K∈Cn×n和f分別為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外力向量，x(t)表示位移矢量(t)和(t)分別表示x(t)的二階導和一階導，則質量彈簧振動系統運動方程是一個典型的二階微分方程，對于大多數二階振動系統，M ，C，K滿足對稱性和正定性。相關的無阻尼系統是一個廣義特征值問題:

由于系數矩陣的正定性，所有特征值λi都是正實數，并且相關的特征向量uj是實數且關于M和K正交。定義模態矩陣和譜矩陣分別為:

通過正交化得到:

模態矩陣定義了一個實數可逆坐標變換x=Uq，將:其代入式(1)得到:

其中，模態阻尼矩陣D=UTCU，當且僅當D是對角陣時，式(1)是可解耦的系統并稱上面的解耦過程為經典模態分析，此時稱式(1)為經典阻尼系統。否則稱為非經典阻尼系統。通過引入x(t)=v1eλt，可以得到方程(1)的解并且特征值λ和特征向量v1由下面的二次特征值問題給出:

該二次特征值問題等價于廣義特征值問題:

其中:

將式(4)代入式(3)，得:

(λ2M+ λC+K)v1=0， λMv1=Mv2

易知，當M非奇異時v2=λv1。上述的對稱線性化系統L(λ)稱為Lancaster結構。為了實現動態分析，通常要將式(2)描述的二階振動系統進行解耦，即找到非奇異的實數解耦變換2n×2n矩陣Πl和Πr作用于方程(4)，使其保持Lancaster結構，即:

并且使MD，CD和KD為對角陣，此時的質量彈簧阻尼系統(2)等價于完全解耦的系統:

如果M和MD是非奇異陣特，則特征向量v1和z1有如下關系:

式中:Q(λ)和QD(λ)是同譜的(即有相同的特征值和重復度結構)。在二階系統Q(λ)可解耦的前提下，由文獻［8］知一定存在這樣的Lancaster結構保持變換Πl和Πr，但是對于什么樣的系統是可解耦的研究卻沒有提到，下面給出二階振動系統可解耦的條件。

2 二階振動系統的解耦條件

Rayleigh提出當滿足條件C=αM+βK(α和β為實常數)時是經典阻尼系統，此時的二階振動系統也可稱比例阻尼系統［12］。Caughey等［5］提出了經典阻尼系統三個系數矩陣同時對角化的充要條件CM－1K=KM－1C，可利用經典模態分析來實現解耦，然而對于非經典阻尼系統是否可以解耦以及滿足什么條件才可以解耦卻沒有提到。二階振動系統Q(λ)=λ2M+λC+K 在復數域中存在相異的特征值 λ1，λ2，…，λt，1≤t≤2n，對 1≤ i≤ t，定義 λi的局部重復度ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，其中 μg，i為 λi的幾何重復度為，代數重復度為μa，i，下面給出了二階振動系統可解耦的充要條件。

定理1 Q(λ)是一個質量矩陣非奇異的正則二階振動系統，當且僅當同時滿足下列三個條件時存在同譜對角系統QD(λ)(即Q(λ)是可對角化的):

(1)二階振動系統的所有特征值的總個數為2n;

(2)λi對應的局部重復度只能取1或2，且λi的幾何重復度大于等于λi的代數重復度的一半;

(3)Q(λ)的線性初等因子一定能夠配對成兩組特征值互不相同的集合。

首先證明必要性。Q(λ)存在同譜對角系統QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，因此，Q(λ)和QD(λ)具有相同的特征值及其重復度結構。因此，對角系統QD(λ)也存在相異的特征值 1，λ1，…，λt∈C ，1≤ t≤2n，對1≤i≤ t，特征值 λi的局部重復度滿足 ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，特征值λi的幾何重復度為 μg，i≤min(n，μa，i)，特征值 λi的代數重復度為，由于Q(λ)是一個質量矩陣非奇異的正則二階振動系統，于是:

因MD、CD和KD為n階對角陣，設:

將二階同譜對角系統寫成直和的形式:

則:

其中，I2為2階單位陣，于是QD(λ)可以線性化為矩陣λI2n－A:

其中，I2n為2n階單位陣，此外，λI2n－A的初等因子恰好就是式(9)中的不相交集合，因此:

1 ≤ nij≤ 2， 對1 ≤ i≤ t， 1 ≤ j≤ μg，i(10)

對每個二次初等因子(即局部重復度nij=2)作為對角矩陣QD(λ)的一個塊元素，于是可以對相異特征值λi定義整數si為:

式(8)、式(10)和式(12)對應于定理1中的三個條件，滿足這三個條件的二階振動系統存在同譜對角系統。

下面證明充分性:當M非奇異的正則二階振動系統Q(λ)滿足條件①、②和③時，證明Q(λ)的同譜對角系統QD(λ)可以構造出來。由式(10)可知Q(λ)的初等因子的度只能為1或2，當度為2時每一個這種二次初等因子都可以構成對角系統QD(λ)的n個對角元素中的一個，而二次初等因子的總數為p，因此，同譜對角系統QD(λ)的p個對角元素能夠被構造出來。為了構造QD(λ)剩下n－p個對角元素，下面證明Q(λ)剩下的線性初等因子的數目是偶數。由si得定義知λi有si個二次初等因子，于是:

由:

最后得到:

從而證明了q是偶數。且由條件③知線性初等因子可以組織成相異特征值對(λk1，λk2)，λk1≠λk2，因此，Q(λ)的個線性初等因子能夠組織成n－p對相異特征值，于是QD(λ)剩下的n－p個對角元素能夠被構造出來。從而滿足條件(1)～(3)的同譜對角系統QD(λ)的n個對角元素全部被構造出來。

3 二階振動系統的解耦算法

當二階振動系統滿足定理1中三個條件時稱為可解耦的系統，下面針對可解耦的系統給出具體的解耦構造算法。對于原始正則二階振動系統 Q(λ)=(λ2M+λC+K)，設解耦后的解耦系統為 QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，其中M和MD是非奇異陣。正則二階振動系統Q(λ)在復數域內具有2n個特征值，而三個參數矩陣為實數矩陣，因此其復特征值是以共軛成對出現。不妨設其復特征值集合和實特征值集合分別為:

則由Q(λ)的特征值方程知:

因QD(λ)與 Q(λ)同譜，則式(13)與式(14)對照得:

因此給定MD中滿足0≠mj∈R的對角元素mj，通常取 mj=1，j=1:n，即 MD=In，便可以根據式(15)構造出QD(λ)，使得QD(λ)與Q(λ)具有相同的特征值及其重復度結構，從而實現了二階振動系統的同譜解耦。

4 數值試驗

例1 一個特征值相異且滿足定理1中可解耦條件的二階振動系統如圖1所示，2自由度的質量彈簧系統三個矩陣參數表示如下:

其中，m=k=1，c1=0.6，c2=c3=0.1，求解二次特征值問題(2)得到原始系統的特征值集合為:

由2對共軛的復數特征值組成，滿足定理1振動系統可解耦的三個條件，利用式(15)構造得到:

其特征值集合為:

而近似解耦法得到的解耦系統特征值集合為:

本文方法和近似解耦法與原始系統的特征值對比圖如下:

回去后，甲洛洛一覺睡到了中午做飯時，依然覺得還沒睡夠，這對于甲洛洛來說，近幾十年來從沒有過的事，原來早上五點就醒了，再怎么閉眼也睡不著，最后硬是熬到六點才起床的。現在可好，作息時間變了，心性也跟著變了，變得好像年輕了二三十歲，有睡不完的瞌睡。

圖2 λa與λc特征值對比圖Fig.2 Contrast eigenvalues in λband λc

從圖2中可看出原系統與本文解耦系統的特征值重合，即解耦前后系統完全同譜，而圖3中特征值存在差異，因此本文解耦算法的解耦效果比近似解耦算法好。

例2 一個有重根存在的二階振動系統

圖3 λa與λb特征值對比圖Fig.3 Contrast eigenvalues in λaand λb

求解二次特征值問題(2)可知，系統有兩個特征值0和1，且代數重復度分別為1和3，由于Q(1)=0，因此特征值1的幾何重復度為2，因此，定理1中的三個條件都滿足，所以該二階振動系統可解耦，且解耦系統可表示為:

例3 一個不可解耦的二階振動系統

由detQ(λ)=(λ+1)4知該二階系統僅有代數重復度為4的特征值－1，而rankQ(－1)=1，知其幾何重復度為1，所以該系統不滿足定理1中的條件(10)以及條件(12)左邊的不等式，因此該二階系統是不可解耦的。

5 結論

針對二階振動系統的解耦問題，本文給出了該系統可解耦的條件及其相應證明并提出同譜構造解耦算法。數值試驗中驗證了解耦條件的正確性，實現了二自由度質量彈簧系統的同譜解耦，并與近似解耦算法的譜特征進行了對比。結論如下:

(1)解耦條件判斷簡便且適合所有質量矩陣非奇異的二階振動系統;

(2)同譜構造解耦算法實現解耦前后的完全同譜;

(3)具有相異特征值的二階振動系統是可解耦的。

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