一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題多重正解的存在性

葛 琦，侯成敏

（延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林延吉 133002）

一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題多重正解的存在性

葛 琦，侯成敏

（延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林延吉 133002）

研究一類帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階差分方程多重正解的存在性.分析該方程的Green函數(shù)的性質(zhì)，引入上、下解的概念，并利用Guo－Krasnosel＇skii不動點(diǎn)定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點(diǎn)定理，討論該方程多重正解的存在性.

分?jǐn)?shù)階邊界條件；Green函數(shù)；上、下解方法；多重正解

DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2012.04.019

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微分學(xué)作為新興的領(lǐng)域備受關(guān)注，人們成功地將其理論應(yīng)用到各個領(lǐng)域，如計(jì)算生物、藥物科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)等方面.隨著分?jǐn)?shù)階微分學(xué)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階差分方程理論逐漸受到關(guān)注，它的基礎(chǔ)理論研究有了很大發(fā)展.如在發(fā)展關(guān)于離散型分?jǐn)?shù)階微積分初值問題的基礎(chǔ)理論后，還研究了有限分?jǐn)?shù)階差分方程的兩點(diǎn)邊值問題［1－2］.Goodrich C S［3］研究了帶有非局部條件的離散型分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性和唯一性.文獻(xiàn)［4－8］研究了分?jǐn)?shù)階差分方程的邊值問題（簡稱FBVP）.大多數(shù)研究成果主要是利用Green函數(shù)的性質(zhì)和不動點(diǎn)定理對FBVP進(jìn)行討論，而利用上、下解的方法研究FBVP的文獻(xiàn)還未出現(xiàn).筆者研究FBVP，即

式中：2＜ν≤3，1＜β＜2，ν－β＞1，0＜α＜1，b＞3（b∈N），f（t＋v－1，·）∶［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×R→R是連續(xù)函數(shù).將分析Green函數(shù)的性質(zhì)，引入上、下解的概念，并利用Guo－Krasnosel＇skii不動點(diǎn)定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點(diǎn)定理，討論該方程多重正解的存在性.

這里記Na∶＝｛a，a＋1，a＋2，…｝，［a，b］Na∶＝｛a，a＋1，a＋2，…，b｝（b－a∈N1）.

1 預(yù)備知識

對于N∈N，0≤N－1＜ν≤N，定義函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)差分：Δνf（t）＝ΔNΔν－Nf（t）（t∈Na＋N－ν）.

定義1.6 如果定義在［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3上的函數(shù)τ（t）滿足方程：

其中2＜ν≤3，1＜β＜2，ν－β＞1，0＜α＜1，b＞3（b∈N），f（t＋ν－1，·）∶［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×R→R是連續(xù)函數(shù).那么稱τ（t）為FBVP的式（1）和式（2）的一個下解（或上解）.

引理1.8［10］（Schauder不動點(diǎn)定理）假設(shè)K是Banach空間B的有界凸閉集，而T：K→K是全連續(xù)的，則存在x＊∈K使得Tx＊＝x＊.

（B2）對‖x‖≤a于，有‖Ax‖＜a；

（B3）對于x∈P（θ，b，c）且‖Ax‖＞d，有θ（Ax）＞b.

那么A至少有3個不動點(diǎn)x1，x2，x3滿足‖x1‖≤a，b＜θ（x2），a＜‖x3‖和θ（x3）＜b.

注1.10［9］如果引理1.9中d＝c成立，那么條件（B1）包含條件（B3）.

2 Green函數(shù)及其性質(zhì)

構(gòu)建帶有邊值條件式（2）的FBVP，即

的Green函數(shù)G（t，s），其中h：［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1→R是連續(xù)的.

定理2.1 設(shè)2＜ν≤3.則FBVP的式（3）和式（2）的唯一解是

這里

證明：由引理1.4有

將邊值條件y（v－3）＝0代入式（6）得出C3＝0.由于

則由邊值條件［Δαy（t）］t＝ν－α－2＝0，得出C2＝0；再由邊值條件

由式（7）知式（4）成立.

定理2.2 Green函數(shù)G（t，s）具有性質(zhì)：

證明：（ⅰ）當(dāng)0≤t－ν＋1≤s≤b＋2時，顯然有G（t，s）＞0.當(dāng)0≤s＜t－ν＋1≤b＋2時，

由于ΔβF（t，s，β）＞0，所以F（t，s，β）關(guān)于β（1＜β＜2）是遞增的.因此，有

當(dāng)0≤s＜t－ν＋1≤b＋2時，由（ⅰ）證明過程知ΔGt（t，s）≥0，從而有G（S＋ν－1，s）＜G（t，s）≤G（b＋ν＋1，s）.

注2.3 由定理2.2知，如果定理2.1中h（u）≥0，u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1，那么有解y（u）≥0，u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.

3 正解的存在性

利用引理1.7和上、下解的方法，分別建立FBVP的式（1）和式（2）正解存在的充分條件.先利用引理1.7表明FBVP的式（1）和式（2）正解的存在性.

由定理2.1知，求FBVP的式（1）和式（2）的解，等價于在式（2）條件下求方程

的解.先定義Banach空間B：

并且范數(shù)為‖y‖＝max｜y（t）｜，t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3.定義B上的錐P和P0：

這樣y是FBVP的式（1）和式（2）的解，當(dāng)且僅當(dāng)y是算子A的不動點(diǎn).由于算子A是離散的有限集上的和算子，所以A是平凡完全連續(xù)算子.為表明算子A存在不動點(diǎn)，首先給出3個假設(shè)：

引理3.1 假設(shè)條件（D1）成立，那么對于?y∈P有Ay∈P0，特別算子A是錐P0到P0上的映射.

證明：對于?y∈P，由定理2.2和條件（D1），有（Ay）（t）≥0（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.由定理2.2的（ⅲ）知

定理3.2 假設(shè)條件（D1）和（D2）成立，那么FBVP的式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

證明：引入記號：e＝λ2－λ1＋1，W＝maxω（t），ω＝minω（t），t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.

由此，設(shè)Ω1＝｛y∈B｜‖y‖＜r｝，則由式（11）知，對于?y∈P0∩?Ω1有‖Ay‖≤‖y‖.

特別，對于?y∈P0∩?Ω2有‖Ay‖≥‖y‖，所以由引理1.7知算子A至少有一個不動點(diǎn)y∈P0∩（ˉΩ2＼Ω1），且r≤‖y‖≤R1，即FBVP的式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

定理3.3 假設(shè)條件（D1）和（D3）成立，那么FBVP式（1）和式（2）至少有一個非零解y∈P0.

因此，對于?y∈P0∩?Ω3有‖Ay‖≥‖y‖.可分2種情況構(gòu)造Ω4：

由此，設(shè)Ω4＝｛y∈B｜‖y‖＜R2｝，ˉΩ4為Ω4的閉包，則由式（12）知對于?y∈P0∩?Ω4有‖Ay‖≤‖y‖.

可利用上、下解的方法表明FBVP的式（1）和式（2）正解的存在性.這里假設(shè)

證明：由于y（t）是定義在［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3上的函數(shù)，所以存在M′＞0使得｜y（t）｜≤M′，t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3.

定理3.5 如果條件（E1）成立，那么FBVP的式（1）和式（2）存在正解.

（E1）f（u，y）：［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1×［0，＋∞）→（0，＋∞）是關(guān)于y遞增的連續(xù)函數(shù)，f（u，ρ（u））≠0，且?0＜μ＜1，有kμf（u，y（u））≤f（u，ky（u）），k∈［0，1］.

其次，證明帶有邊值條件式（2）的FBVP，即

由于B是Banach空間，因此B為有界凸閉集.定義算子T：B→B：

由于f（u，y）是關(guān)y遞增的，因此對于?y∈B有f（u，τ（u））≤～F（u，y（u））≤f（u，η（u）），u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1.又由于算子T是平凡完全連續(xù)算子，所以由引理1.8知算子T存在一個不動點(diǎn)，即FBVP的式（15）和式（2）有一個解y＊.

最后將表明FBVP的式（1）和式（2）存在正解.事實(shí)上由于f（u，y）是關(guān)于y遞增的，因此有

如果設(shè)z（u）＝η（u）－y＊（u），u∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1，那么

并且z（ν－3）＝［Δαz（t）］｜t＝ν－α－2＝［Δβz（t）］｜t＝ν＋b＋2－β＝0，由注2.3知z（t）≥0，即η（t）≥y＊（t）（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.

同理，可得τ（t）≤y＊（t）（t∈［ν－1，b＋ν＋1］Nν－1）.因此y＊（t）是FBVP的式（1）和式（2）的一個正解.

4 多重正解的存在性

利用引理1.9表明FBVP的式（1）和式（2）多重正解的存在性.先假設(shè)條件（D1）成立.定義Banach空間B如式（9），其范數(shù)為‖y‖＝max｜y（t）｜（t∈［ν－3，b＋ν＋1］Nν－3），并定義B上的錐P1，即

其中q（t）見定理2.2.在錐P1上定義一個凹函數(shù)

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有3個正解y1，y2，y3，滿足

推論4.2 假設(shè)條件（D1）成立，如果存在常數(shù)a1，b1，c1滿足0＜a1≤σb1＜b1＜c1，且滿足條件：

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有3個正解y1，y2，y3，滿足

證明：選擇a＝a1，～b＝σb1，c＝c1，由定理4.1易知推論4.2成立.

定理4.4 假設(shè)條件（D1）成立，如果存在常數(shù)a′i，b′i，c′i（i＝1，2，…，n）滿足0＜a′1＜σb′1＜b′1＜c′1＜a′2＜σb′2＜b′2＜c′2＜…＜a′n，n∈N且滿足條件：

那么FBVP的式（1）和式（2）至少有2n－1正解.

同理依次推導(dǎo)可知定理4.4成立.

5 結(jié)束語

討論了一類帶有分?jǐn)?shù)階邊界條件的分?jǐn)?shù)階差分方程.分析了該方程的Green函數(shù)的性質(zhì)，首次在分?jǐn)?shù)階差分方程中引入上、下解的概念，利用Guo－Krasnosel＇skii不動點(diǎn)定理和上、下解的方法，分別建立該方程存在正解的充分條件，最后利用Legget－Williams不動點(diǎn)定理，討論了該方程多重正解的存在性.

［1］ Atici F M，Eloe P W.Initial value problems in discrete fractional calculus［J］.Proc.Amer.Math.Soc，2009，137（3）：981－989.

［2］ Atici F M，Eloe P W.Two－pointboundary value problems for finite fractional difference equations［J］.J.Difference Equ.Appl，2011，17（4）：445－456.

［3］ Goodrich.C S.Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions［J］.J.Comput.Math.Appl，2011，61（2）：191－202.

［4］ Goodrich C S.On a fractional boundary value problem with fractional boundary conditions［J］.Appl Math Lett，2012，25（8）：1101－1105.

［5］ Goodrich C S.Solutions to a discrete right－focal boundary value problem［J］.Int.J.Difference Equ.2010，5（2）：195－216.

［6］ Chen Fulai，Luo Xiannan，Zhou Yong.Existence Results for Nonlinear Fractional Difference Equation［J］.J.Advances in Difference Equations，2011，2011（1）：12.

［7］ Goodrich C S.On discrete sequential fractional boundary value problems［J］.J.Math.Anal.Appl，2012，385（1）：111－124.

［8］ Goodrich C S.Existence of a positive solution to a system of discrete fractional boundary value problems［J］.J.Applied Mathematics and Computation，2011，217（9）：4740－4753.

［9］ Zhao Yige，Sun Shurong，Han Zhenlai.The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations［J］.J.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat.2011（16）：2086－2097.

［10］ 時寶，張德存，蓋明久.微分方程理論及其應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2005：13.

Existence of multiple positive solutions to a class of fractional difference equations boundary value problems／2012，36（4）：101－110

GE Qi，HOU Cheng－min
（Departmentof Mathematics，College of science，Yanbian University，Yanji，Jilin133002，China）

In this paper，we study the existence of multiple positive solutions for a class of the fractional difference equations with fractional boundary conditions.This paper analyzes some characteristics of the Green＇s function，and introduces the concepts of the upper and lower solutions.By Guo－Krasnosel＇skiifixed pointtheorem and the upper and lower solution method，we obtain sufficientconditions for the existence of positive solutions to this equation.Lastly we discuss the existence of multiple positive solutions to this equation by using Legget－Williams fixed pointtheorem.

fractional boundary conditions；Green＇s function；upper and lower solution method；multiple positive solutions

book=4,ebook=166

O175.7

A

2095－4107（2012）04－0101－10

2012－04－26；編輯：關(guān)開澄

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161049）；延邊大學(xué)科研項(xiàng)目（延大科合字［2010］第004號）

葛 琦（1975－），女，碩士，副教授，主要從事微分方程理論及應(yīng)用方面的研究.