一類熱傳導物理方程子域精細積分緊致Crank-Nicolson格式

潘金根

（安徽師范大學 繼續教育學院，安徽 蕪湖 241000）

一類熱傳導物理方程子域精細積分緊致Crank-Nicolson格式

潘金根

（安徽師范大學 繼續教育學院，安徽 蕪湖 241000）

本文在子域精細積分方法的基礎上，針對一維空間中的熱傳導議程的模型的初邊值問題，構造出一個含參數α的無條件穩定的高精度緊致Crank-Nicolson差分格式。數值實驗結果表明，該格式的精度比以往各種格式的精度均高。同時，這種格式還是無條件穩定的，便于實際問題的計算。

熱傳導方程;子域精細積分;Crank-Nicolson格式;穩定性

1 引言

熱傳導是熱傳遞三種基本方式之一，熱傳導實質是由大量物質的分子熱運動互相撞擊，而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分，或由高溫物體傳給低溫物體的過程．熱傳導方程（或稱熱方程）是描述一個區域內的溫度如何隨時間變化，支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位等物理現象的一類重要物理模型，它的非線性的推廣型式還可應用于影像分析，另外此類物理模型在工程技術等方面也都有著廣泛的應用．因此,研究熱傳導物理方程的數值計算方法有重要的科學意義和應用價值．一維空間中的熱傳導方程模型為

針對該類物理模型數值計算方法的一些已有文獻，文[1]構造的高精度差分格式相應截斷誤差為O(τ2+h2),其中τ和h分別為時間和空間步長，文[2]和文 [3]的格式精度相對要高些,截斷誤差已達O（τ3+h4）,其中文[2]的格式為一族三層(特殊情況下為兩層)雙參數,絕對穩定的隱格式,文[3]的格式雖然精度較高，但是格式的穩定性要求太嚴格,必須滿足0〈r〈1/2，且也為三層的格式.可見,對于上述模型的數值計算方法,關鍵是能否構造出一個穩定性好、精度高的差分格式.

鐘萬勰最初于1995年提出子域精細積分方法[4-6]來求解偏微分方程,其中文[6]的截斷誤差階僅為O (τ+h2)．隨后,賴永星[7-8]等提出了多點子域積分的方法．本文是在子域精細積分方法的基礎上，針對模型(1)的初邊值問題，構造出一個含參數α＞0(α〈〈τ)無條件穩定的高精度緊致Crank-Nicolson差分格式，精度比上述文獻中給出的格式都高,其局部截斷誤差階為O(ατ2+α2τ3+h4)．最后，所給數值例子的計算結果與理論分析完全一致．

2 子域精細積分Crank-Nicolson差分格式

2.1 緊致差分公式的推導

其中Dx,Tx與δx依次為關于x的一階偏微分算子,位移算子與一階中心差分算子,下面建立中心差分算子δx和微分算子Dx的關系式.由Taylor展開，可得

于是 Tx=exp(hDx).

2.2 子域精細積分Crank-Nicolson差分格式的構造

,首先引入一個附加項αui（這里α＞0是參數）,加到方程（1）第一式的兩端,得

其中q=p+αui．如果令q為某一個常數，則利用常數變易法可解得方程（4）的通解

下面利用(3)式的四階緊致差分公式，取將q代入（6），經整理得

根據穩定性分析的Fourier方法對格式(8)進行穩定性分析，令代入(8)式經計算整理得增長因子

很顯然｜λ｜≤1恒成立，所以隱格式(8)對任意參數α＞0是無條件穩定的．

此外，利用Taylor展開式容易求得格式(8)的在結點(xi,tn)處的局部截斷誤差為O(ατ2+α2τ3+h4)．可見本文格式(8)的精度比文[6]的精度O(τ+h2)要高.與馬明書[3]提出的顯式差分格式相比,當h固定不變,隨著時間步長τ的增大,本文格式(8)所計算的精度也越高(因為α〈〈τ),且文[3]的格式是條件穩定的，必須滿足0〈r〈1/2,這樣的條件太嚴格,而本文所提出的格式是無條件穩定的．

3 數值實驗

考慮問題模型(1),其實際算例見文獻[3]，取α= 1,h=0.1來計算,其中r=τ/h2與文[3]和[6]的定義一致.利用本文格式(8)方法,取參數α=0.001進行計算,并與文[3]、文[6]的算法進行比較.數值結果如下表1和表2：

表1 本文的格式(8)與文[3]和文[6]格式數值解的絕對誤差比較(n=200)

表2 本文的格式(8)與文[3]格式數值解的絕對誤差比較(t=1)

4結論

從表1和表2中的數值結果可以看出,本文的格式明顯比文[6]格式的精度高,當h固定不變,隨著時間步長τ的增大,本文格式(8)的精度比文[3]格式的精度高(因為α〈〈τ,且文[3]格式的穩定性要求太嚴格,必須是文[3]中的格式(19)和格式(20)兩個同時使用，才能使穩定性條件滿足文[3]中的格式又是三層格式,在實際進行計算時,必須用其它辦法求出第二層上各節點的函數值,這會給實際計算帶來許多不便,不利于實際問題的計算.

[1]周順興.解拋物型偏微分方程的高精度差分格式[J].計算數學,1982,4(2):204-213.

[2]馬明書.解拋物型方程的一族高精度差分格式[J].高等學校計算數學學報,1996,18(2):190-193.

[3]馬明書.一維拋物型方程的一個新的高精度顯式差分格式[J].數值計算與計算機應用,2001,22(2):156-160.

[4]鐘萬勰.子域精細積分及偏微分方程數值解[J].計算結構力學及其應用,1995,12(3):253-260.

[5]鐘萬勰.單點子域積分與差分[J].力學學報,1996,28(2):159-163.

[6]鐘萬勰.對差分法時程積分的反思 [J].應用數學與力學, 1995,16(8):663-668.

[7]賴永星，等.多點子域積分及計算格式的研究[J].機械強度, 2006,28(6):853-856.

[8]賴永星，等.單點子域積分與多點子域積分[J].計算力學學報,2006,23(3):373-376.

[責任編輯：桂傳友]

O241

A

1674-1103(2012)03-0036－03

2012-02-16

安徽省農村骨干教師培訓項目（WJMS2011-43）。

潘金根（1976-），男，安徽東至人，銅陵縣第二中學教師，碩士，主要從事中學物理教學與研究。