基于正演分析的模型參數修正

張石磊，陳少峰，王煥定，王 偉

(1.哈爾濱工業大學土木工程學院，150090哈爾濱;2哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，150090哈爾濱)

為了保證交通干線的高效運行，對架設其上的大型橋梁進行模型修正繼而評定其安全性能是極其必要的.

基于正演分析的模型修正是建立包含真實結構模型及其反應的數據庫，把實測反應與數據庫中各個模型對應的反應進行匹配，從中尋找真實結構模型的過程［1-2］.若建立的數據庫是完備的，則此數據庫將包含待修正結構所有可能的狀態，那么就一定包含結構的真實模型;此時，通過匹配結構反應的方式，一定可以從此數據庫中找出結構的真實模型.基于正演分析的模型修正的優點和意義就在于它不需要求解反演識別方程，相應的反演識別方程的約束優化求解問題也就得以解決.已有一些利用正演模型修正思路與神經網絡相結合進行的研究.Cheng Jin［3］改進了神經網絡和遺傳算法來推導近似極限狀態函數和確定破壞概率，評估了一個懸索橋的數值模型.滕軍等［4］利用支持向量機修正了有限元模型.李端有等［5］利用改進的遺傳算法訓練神經網絡，識別了大壩的彈性模量等特性參數.費慶國等［6］利用神經網絡識別了一個非線性梁模型，并進行了有限元模型修正.何浩祥等［7］利用遺傳算法優化神經網絡權值，修正了一個網殼結構的彈性模量.Lu Yong等［8］研究了兩步模型修正法，利用頻率修正模型參數.以上研究證實了基于正演分析的模型修正方法是可行的，但正演分析法亦有它的瓶頸.

假如有m個因素制約結構的模型、每個因素有n種可能的水平，那么完備的數據庫將具有mn個模型［7，9］;此時正演方法需要計算 mn次以得到各種狀態下結構的反應，進而為匹配響應、尋找結構的真實模型做準備.當因素和水平較多時，正演方法的計算工作量將是極其巨大的［10-13］.為了減少計算量，將均勻設計引入到基于正演的模型參數修正，構建了基于均勻設計的正演方法.

基于均勻設計的正演方法的完備性和有效性已經通過數值模擬的方式被驗證，并通過模糊層次分析法評定包括振型、頻率和位移等多種指標對模型修正的影響［14］.本文的目的:探索在實際結構實驗信息存在不確定、不完整等因素影響下，基于均勻設計的正演方法是否仍適用.

1 靜載試驗數據處理

為檢驗基于均勻設計的正演方法，設計一個鋼桁架靜載試驗.鋼制桁架3m×0.8 m×0.5 m，模型被安裝在一臺500 kN壓力實驗機上，見圖1.利用5個靈敏度為200 με/mm的數顯百分表測量模型單側下弦桿5個節點的豎向位移，位移測點編號為B1～B5.

在得到實驗數據后，根據“去偽存真”的思路，剔除測量數據中的隨機誤差，具體步驟:

1)確定數據的基準.按照結構力學簡圖計算各個測點的位移，確定理論計算值與測量值之間的偏差，利用式(1)確定測量結果的基準.

式中:ub、ut和um分別是位移的計算基準、理論計算值和實測值;λu是位移的基準調整系數.

圖1 鋼桁架加載示意

2)剔除隨機誤差.由于隨機誤差一般服從正態分布，誤差絕對值大于3σ的概率僅為0.3%［15］.因此，令μu和σu分別為位移的均值和標準差，以［μu-3σu，μu+3σu］為取值范圍，剔除不合理數據.

圖2繪制了B1測點的荷載-位移曲線，圖中實線為測量位移，點劃線為處理后的位移.可以看出，原始記錄本身就很好地滿足線性和穩定性，處理后的數據與原始數據幾乎重合，表明“去偽存真”后的位移記錄是穩定和可靠的.

圖2 B1測點位移數據處理結果

2 模型修正因素的確定

用于檢驗正演方法的鋼桁架的節點板和對應桿件連接部位均開縫，然后用螺栓聯接.當桿件受力時，由于縫隙的作用使得節點部位傳遞彎矩的能力下降，試圖近似模擬理想桁架的力學特性.同時，為了保證節點板和對應桿件連接部位的開縫處不因較大受力而使縫隙張開，造成節點破壞，故在節點板與桿件連接部位施加輕微的角焊，具體構造見圖3.

圖3 模型節點構造

這種即開縫又加焊的節點，能夠傳遞軸力，同時也能夠傳遞一定的彎矩.以上構造導致用桁架模型和剛架模型均不能有效模擬此鋼桁架.所以，將模型的節點剛度作為模型修正的主要因素.

2.1 變截面梁模擬節點力學性能

針對此模型節點的實際構造，考慮用圖4的變截面梁單元來模擬節點力學性能.假設:模型的節點域對應變截面梁單元的起始段L1和終止段L3，“變截面梁單元”兩端變截面部位的剛度與“待修正的節點剛度”一致，“變截面梁單元”中間段為不變截面部分.

圖4 變截面梁單元

“變截面梁單元”的單元剛度方程:第i子單元的單元剛度可表示為

式中:a=EAi/li;b=12EIi/l3i;c= 6EIi/l2i;d=4EIi/li，(i=1，2，3).

因此上述變截面梁的總剛度方程為

利用端節點位移表示變截面內部節點位移，并化簡可得變截面桿件無梁上荷載的單元剛度方程

式中:α，γ，κ分別為變截面部位與不變截面部位的軸向剛度比例系數、抗彎剛度比例系數和節點作用長度比例系數.式(5)表示用變截面部位的剛度代替節點剛度，而變截面桿件的整個長度等于原來的節點域長度與實際桿件長度之和.

2.2 識別結果的區間估計

由于對實際結構進行模型修正時，一般會采集多組數據，即使沒有噪聲的作用，各組數據之間也會存在隨機偏差.通常的處理方式是只取測量結果的均值作為模型修正的依據，但是只用均值是不能全面反映全部測量信息的，所以利用測量數據的均值和標準差求得實測結果具有95%置信概率的置信區間，然后在此置信區間內隨機選取一定數量的樣本作為輸入，來訓練Back-propagation(BP)網絡，并求取對應網絡輸出的置信區間作為識別結果，以此來提高模型修正的準確度.

正態分布是現實世界中樣本分布的最一般形式之一，土木工程結構的樣本信息多數服從或近似服從這一規律［15］.故假設此模型修正的實測結果近似服從正態分布.基于概率與數理統計，令、S、μ、n分別為試驗數據的均值、標準差、期望和總數，1-α為置信概率，則期望的置信區間為［16］

3 分步均勻設計方案修正模型參數

利用前述試驗獲得的數據，分別采用全因素、嵌套和分步3種均勻設計方案修正了此鋼桁架模型.

3.1 分步均勻設計方案的形成

全因素均勻設計方案:把模型所有桿件對應的變截面系數均作為修正因素，建立一個大規模的均勻設計方案，非常細化地修正所有因素.其修正后的模型計算的反應與實測結果吻合非常好，但暴露出的一個問題是修正后同類桿件之間的差別較大、與實際結構不一致.分析產生這一問題的原因是均勻設計方案中各個因素是完全獨立的［17］、而實際結構同類桿件之間的構造是相似的.這導致所構造的均勻設計方案中不包括接近真實情況的解，而反問題的解非唯一，通過全因素均勻設計方案得到了一個偽解.它的計算結果與實際情況非常吻合，但不是結構的真實解.

嵌套均勻設計方案:首先，把所有構件按照類型歸類，用小規模均勻設計表，簡要的構建各類構件、不同水平的整體均勻設計方案;然后，根據實際構造，對同類桿件的同一水平的修正因素施加適當的約束條件，使其在小范圍變化，構建各個水平的細化方案;最后，把各個水平的細化方案嵌套在整體均勻設計方案之中，形成嵌套均勻設計方案.這樣做實際是把小規模的均勻設計方案嵌套在整體方案的各個水平之內，實現與大規模均勻設計方案相同的作用，而約束條件將限制同類桿件相同因素之間的差異，使得修正結果趨于合理.計算結果顯示此方案比全因素均勻設計方案得到的結果更合理，但依舊存在同類桿件之間留有一定差異的現象.分析其原因為嵌套方案只約束了同一個水平的桿件特性，沒有約束各個水平間的差異.所以，導致結果依舊不完全合理.針對以上問題，最后采用了分步均勻設計方案.

分步均勻設計方案:根據結構特點，確定影響結構各因素的重要性依次為軸向剛度、抗彎剛度、節點作用范圍.把桿件按照類型歸類，用小規模均勻設計表分兩步修正模型.第一步利用位移作為人工神經網絡的輸入參數，主要修正各類桿件的軸向剛度、附帶修正其他次要因素;各參數的初始取值區間為α∈［0.8，1.2］、γ∈［0.8，1.2］、κ∈［0.18，0.22］.選取均勻設計表 U*29(296)的第1、3、4列安排均勻設計方案，此均勻設計方案的偏差為0.0914;然后利用U*4(44)交換各因素的排列位置，拓展均勻設計方案試驗次數為116.并建立了一個三層BP神經網絡，其輸入層神經元數為5，隱含層神經元數為11，輸出層神經元數為3;利用含有動量項的最速下降算法訓練神經網絡的權值，訓練目標誤差為0.001，最大迭代次數為10000.神經網絡整個訓練過程的均方誤差繪制于圖5中，神經網絡在第271次迭代收斂.最后，利用式(6)確定實測位移的置信區間，并從中隨機抽取45組樣本，輸入訓練好的神經網絡，得到45組結構參數的預測值，并取45組參數預測結果的平均值作為第一步模型修正的最終結果.第一步模型修正的最終結果是α=0.9074、γ=0.883 0、κ=0.194 1.

圖5 第一步模型修正訓練誤差曲線

在第二步修正方案中，考慮修正因素之間的約束關系，令各類桿件的變截面比例系數在第一級修正基礎上做適當變化，修正因素調整為第一級與第二級修正的變截面比例系數的比值c1～c12，其中

式中:α1，γ1，κ1分別表示第一級修正的抗壓剛度比例系數、抗彎剛度比例系數和節點作用域長度比例系數的修正結果，s表示桿件類型為上弦桿，c1～c3為上弦桿的前后兩次修正結果的比值.

根據結構的實際構造，確定修正因素的初始取值區間為 c1∈［1.0，1.2］、c2∈［1.0，1.2］、c3∈［0.9，1.1］，其他的9個比值c4～c12的意義和取值方法與c1～c3相似.同時，利用自制的均勻設計表U*24(2412)建立均勻設計方案，再次按照第一級修正中相同的方式修正各個因素.第二級模型修正中神經網絡的均方誤差繪制于圖6中，按照均勻設計方案訓練的神經網絡在第5808次迭代時收斂.表1給出了第二步模型修正的結果.

表1 c1～c12的修正結果

圖6 第二步模型修正訓練誤差曲線

3.2 模型修正結果

分布均勻設計方案的最終修正結果示于表2和表3.從修正結果看，上弦桿和下弦桿的變截面軸向剛度和抗彎剛度均大于1，表明弦桿的節點區域的剛度大于非節點區域;豎腹桿和斜腹桿的變截面軸向剛度和抗彎剛度均小于1，這與實際模型節點部位開縫的構造相吻合;弦桿和腹桿的節點域長度系數為0.2～0.25，與實際模型節點的尺寸趨于一致.

表2 弦桿修正結果

表3 腹桿修正結果

為了驗證模型修正結果，計算了修正后模型跨中承受60 kN集中力時各個測點的撓度，與實測結果進行比較示于圖7(a).圖7(a)顯示修正后模型的計算結果明顯優于修正前的，它更加接近真實值.為了進一步確定模型修正結果的正確性，又測量了模型在三分點對稱加載工況下的節點撓度，并再次比較修正前后的撓度，結果示于圖7(b).結果顯示:改變加載工況后修正結果和實測結果保持一致，即本次模型修正結果是可靠的.

3.3 基于均勻設計的正演方法向復雜結構的推廣

實際需要修正的工程項目通常為大尺度的復雜空間結構.前述研究的對象是小型的桁架，它與復雜結構之間的模型修正有區別.復雜結構較之小型結構模型修正之間的最大區別是待修正因素的種類更多和數量更龐大.當待修正因素規模眾多時，第一個困難是建立大規模均勻設計方案.現有可以獲得的均勻設計表，可修正的因素的規模不超過50.筆者曾經研制了大規模的均勻設計表及其使用表，并采用中心化L2偏差度量均勻設計的好壞.在第3節建立的全因素方案就是基于大規模均勻設計表制定的.但是大規模的均勻設計方案不一定能夠得到好的結果，因為均勻設計各個因素之間是獨立的、充分均勻分散的，而實際結構的修正因素之間是有約束關系的，第3節的計算也證明了這一點.

圖7 修正前后撓度比較

復雜結構的模型修正不單單是修正因素增加了，它需要修正的因素類型也擴大了.模型修正實際上包含修正兩大類因素:設計參數和剛度、阻尼、質量矩陣中的元素.復雜結構的力學模型不準確的原因:可能為設計參數不準確;也可能為力學假設、簡化建模和邊界條件不清楚導致力學模型中的矩陣元素不正確造成的.在多數情況下，只修正設計參數或者只修正矩陣元素是不能達到模型修正要求的.把主因素分析、分步修正和優選法［18］融入到基于均勻設計的正演分析法是一條可行的道路.假設大型復雜結構的設計參數為p、剛度矩陣為K.ω和u為有限元模型的計算頻率和變形;和為結構的測量頻率和實際變形.

式中:ai、bj、ct和 dr為待修正的因素;p0和 K0為初始的設計參數和剛度矩陣;pai和Kct是待修正因素發生單位變化時相應的設計參數和剛度矩陣的敏感性矩陣;pbj和Kdr為前一步模型修正結果與后一步模型修正結果之間的差值矩陣.

1)首先，利用攝動法確定 ai、bj、ct和 dr的重要性順序，即確定主要因素.

具體計算方法是按照式(9)使以上因素發生攝動，求取頻率和變形的變化率，變化率大者為主因素.

2)按照上述求得的因素重要性次序，依次建立小規模的均勻設計方案.在因素的取值上，應考慮結構的實際構造加以適當的約束;同時因素的取值范圍應盡量大以便覆蓋待修正因素的真實解;然后分多步修正各個因素.

3)在每一步模型修正中，在實測頻率和變形的置信區間內，隨機抽取一定數量的樣本輸入訓練好的神經網絡，辨識多組結果，并求取它們的平均值作為本步的修正結果.

4)當所有的因素均修正完畢之后，比較修正的精度是否滿足要求.如果不滿足要求，則重復1)～3)步驟，直至滿足精度為止.

5)當復雜結構需要修正的因素特別多的時候，應該采用優選法里固定次要因素，按照1)～4)的步驟只修正最主要的因素.當第一主因素修正完畢之后，再修正第二主因素，逐個因素輪換修正，最終達到修正復雜結構有限元模型的目的.

4 結語

當合理地確定了模型修正因素和水平后，本文所提出的基于均勻設計的正演分析方法可以克服測量信息不確定、不完整等因素的影響，能夠修正模型參數.即，在實際結構的模型修正中應考慮修正因素的相關性，采用分步均勻設計方案修正模型參數.

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