典型汽車碰撞模型自選參數的敏感性分析*

張 健，張 鑫，李 江，倪行達，高金貴

(1.北華大學交通建筑工程學院，吉林 132013; 2.吉林大學交通學院，長春 130022; 3.東南大學交通學院，南京 210096)

前言

在汽車碰撞事故分析中，基于動量定理的汽車碰撞模型(以下簡稱模型)被廣泛應用，此類模型多為A0v0=Av形式的線性方程組，其結構特點為:①應用動量和動量矩定理建立的前4個方程既回避了撞擊力的復雜求解，又具有極高的精度，用來計算碰撞前車速。②利用車體變形特性參數建立的后2個方程來計算碰撞前車輛轉動速度。由于須要人為選取碰撞中心的摩擦因數μ和法向彈性恢復參數k(下文中凡未特指的參數皆指μ和k)，因此，參數選取成為影響模型計算準確程度的關鍵。目前，發達國家從大量實車碰撞試驗的數據庫中選取參數［1］，由于試驗的廣泛性和數據的更新性，所選參數更符合實際情況［2］。而我國由于沒有建立與實際情況配套的數據庫，多采用經驗類比法確定參數，即參照以往類似事故分析中所選取的參數進行試算，并根據經驗對計算結果進行調整［3］。由于主觀認識的差異，所選參數難免存在誤差。為充分利用模型的優點，確定參數合理的選取范圍，以控制參數誤差對計算結果的影響，必須解決以下問題。

(1)研究建立參數敏感性分析方法，實現理論上的定量分析。

(2)研究模型計算結果對參數的敏感性規律。

(3)確定參數的合理取值范圍。

文獻［4］～文獻［5］中研究了模型病態問題的處理方法，并進行了模型處理結果的抗擾性檢驗，提高了事故分析的準確性;文獻［6］中推導出車輛碰撞力的計算公式;文獻［7］中擴展了模型在參數優化方面的應用;文獻［8］和文獻［9］中進一步建立了汽車碰撞事故的三維力學模型;文獻［10］中根據模型的建模原理研究了一種計算汽車碰撞速度的新方法，解決了單純依賴事故現場勘查信息的問題。但是，上述成果多是針對此類模型進行的算法改進和功能擴展，而模型計算結果對參數的敏感性研究則少有報道。為此，本文中應用矩陣理論提出了參數敏感性分析方法，根據參數誤差的實際情況建立了參數敏感性分析和評價指標，將二者結合起來解決上述3個問題。

1 參數敏感性分析方法

應用動量定理和動量矩定理，并引入參數μ和k的定義式，文獻［11］中建立了如下典型模型:

式中:A0為碰撞前車速向量的系數矩陣;v0為碰撞前車速向量，v0=［v10n，v10τ，v20n，v20τ，ω10，ω20］T，v10n、v10τ和 v20n、v20τ分別為車輛1和車輛2碰撞前車速的法向分量和切向分量，ω10、ω20為兩車碰撞前繞各自質心的轉動角速度;A為碰撞后車速向量的系數矩陣;v=［v1n，v1τ，v2n，v2τ，ω1，ω2］T為碰撞后車速向量，v1n、v1τ和 v2n、v2τ分別為車輛 1 和車輛 2 碰撞后車速的法向分量和切向分量，ω1、ω2為兩車碰撞后繞各自質心的轉動角速度。

式中:m1、m2為兩車的質量;J1、J2為兩車對各自質心的轉動慣量;x1τ、x1n和 x2τ、x2n分別為車輛 1 和車輛 2碰撞中心的切向坐標和法向坐標。

將式(2)中的第 6 行依次用 1，0，-1，0，-x1τ，x2τ替換后得到 A。

當參數μ、k產生誤差 Δμ、Δk時，系數矩陣 A0、A產生的誤差矩陣為 δA0、δA，根據矩陣攝動理論［12］，參數存在誤差時的碰撞前車速向量為

將式(4)中第6 行依次用 0，0，0，0，0，0 替換后得到δA。根據現場勘查數據，按如下運動學公式計算v中各分量。

式中:vin為碰撞后車速的法向分量;g為重力加速度;φi為路面附著系數;si為碰撞后車輛滑行距離;θi為車輛滑行方位角;viτ為碰撞后車速的切向分量;ωi為碰撞后車輛繞各自質心的轉動角速度;αi為停車方位角;αi0為碰撞前車速方位角。下標i=1、2代表車輛1和車輛2。

上述分析方法歸納為:由式(2)得到A0、A，由式(4)得到 δA0、δA，由式(5) ～ 式(7)得到 v，將 A0、A、δA0、δA和v代入式(3)計算參數存在誤差時的碰撞前車速向量，以此進行參數敏感性分析。

2 參數敏感性實例分析

某城市道路交叉口，面包車(車輛1)自西向東行駛，轎車(車輛2)由南向西左轉，疏于瞭望，轎車右前部撞到面包車右側面，兩車損毀嚴重。事故分析資料見表1。

根據事故車損壞狀況，按文獻［11］中選取μ=0.40、k=0.30，將表1中數據代入式(1)得v0=［-0.23，11.58，-8.58，-8.36，-0.02，0.21］T

表1 事故分析資料

兩車碰撞前車速為

實用中常見的參數誤差形式為①Δμ、②Δk、③Δμ 和 Δk，以 μ=0.40、k=0.30為準確值在 ±20%范圍內，分析3種誤差形式對模型計算結果——碰撞前車速vi0和碰撞前車速方位角αi0的影響，找到參數敏感性規律。為此建立如下參數敏感性分析指標:

式中:SAvi0為碰撞前車速對參數的敏感性分析指標，下標i=1、2表示車輛1和車輛2;vi0為參數存在誤差時的碰撞前車速;vAi0為碰撞前車速的準確值;SAαi0為碰撞前車速方位角對參數的敏感性分析指標;αi0為參數存在誤差時的碰撞前車速方位角;αAi0為碰撞前車速方位角的準確值。其中vA10=41.70km/h、vA20=43.13km/h，αA10=-1.14°、αA20=45.74°。參數敏感性規律如圖1～圖4所示。

3 參數敏感性分析結果及應用

對圖1～圖4中每條曲線斜率的計算結果表明，曲線基本呈線性規律變化。可以用平均斜率描述模型計算結果對參數的敏感性程度。根據工程實際［13］，建立如下參數敏感性評價指標:

式中:SEvi0為碰撞前車速對參數的敏感性評價指標，下標i=1、2表示車輛1和車輛2;REvi0和LEvi0為圖1～圖4中曲線右端和左端的 SAvi0值(單位:%);SEαi0為碰撞前車速方位角對參數的敏感性評價指標;REαi0和LEαi0為圖1～圖4中曲線右端和左端的SAαi0值(單位:(°))。

圖1、圖2的計算結果見表2，圖3、圖4的計算結果見表3。在表2～表3中參數敏感性評價指標的符號為“+”表示曲線左低右高，為“-”表示曲線左高右低;參數敏感性評價指標的絕對值反映了模型計算結果對參數的敏感性程度，絕對值越大，敏感性程度越高。

表2 單一參數的敏感性評價

表3 兩個參數的敏感性評價

由表2可知，對μ或k的敏感性程度v20大于v10、α10大于 α20。表明碰撞前車速對 μ 或 k的敏感性程度，質量輕的車大于質量重的車;碰撞前車速方位角對μ或k的敏感性程度，質量重的車大于質量輕的車。

由表3可知，對μ和k或k和μ的敏感性程度v20大于v10、α10大于 α20。表明碰撞前車速對 μ 和 k或k和μ的敏感性程度，質量輕的車大于質量重的車;碰撞前車速方位角對μ和k或k和μ的敏感性程度，質量重的車大于質量輕的車。

應用參數敏感性分析結果能夠確定參數的合理取值范圍。

(1)控制條件的確定

根據文獻［13］中交通事故二維再現結果的總體平均相對誤差值在5%左右，結合工程實際［14］，以碰撞前車速相對誤差≤5%作為參數合理取值范圍的控制條件。

(2)參數取值范圍的確定

滿足控制條件的參數取值誤差為

式中SEvi0從表2或表3中選取。

參數取值范圍為

式中參數取值左端誤差和右端誤差由式(12)求得。

利用式(12)～式(13)，實例中參數取值范圍見表4。

表4 參數取值范圍

4 結論

通過實例進行了模型計算結果對參數的敏感性分析，得到如下結論。

(1)碰撞前車速對單一參數的敏感性程度，質量輕的車大于質量重的車;碰撞前車速方位角對單一參數的敏感性程度，質量重的車大于質量輕的車。

(2)碰撞前車速對兩個參數的敏感性程度，質量輕的車大于質量重的車;碰撞前車速方位角對兩個參數的敏感性程度，質量重的車大于質量輕的車。

(3)應用參數敏感性分析結果能夠確定滿足實際控制條件的參數合理取值范圍。

［1］張健，張鑫.基于撞痕重合的汽車碰撞事故分析方法［J］.西南交通大學學報，2008，43(5):595-599.

［2］Naing C L，Hill J，Thomson R，et al.Single-vehicle Collisions in Europe:Analysis Using Real-world and Crash-test Data［J］.International Journal of Crashworthiness，2008，13(2):219-229.

［3］李江，張大強，吳建平，等.事故再現中對速度計算結果的調整［J］.公路交通科技，2003，20(2):104-107.

［4］張建，李江，倪行達，等.汽車碰撞事故再現模型病態問題處理方法研究［J］.汽車工程，2007，29(1):59-62.

［5］張建，李江，倪行達，等.基于動量定理的汽車碰撞事故再現模型抗擾性分析［J］.汽車工程，2007，29(7):550-553.

［6］Sunday Ayoola Oke，Ayokunle Bamigbaiye，Oluwafemi Isaac Oyedokun，et al.A Mathematical Model to Set Speed Limits for Vehicles on the Highway［J］.Transport，2006，21(4):278-283.

［7］Hermann Steffan.Accident Reconstruction Methods［J］.Vehicle System Dynamics，2009，47(8):1049-1073.

［8］Zhou Jing，Peng Huei，Lu Jianbo.Collision Model for Vehicle Motion Prediction After Light Impacts［J］.Vehicle System Dynamics，2008，46(S1):3-15.

［9］Zhou Jing.Active Safety Measures for Vehicles Involved in Light Vehicle-to-vehicle Impacts［D］.Michigan:The University of Michigan，2009.

［10］Neades J，Smith R.The Determination of Vehicle Speeds from Delta-V in Two Vehicle Planar Collisions［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part D:Journal of Automobile Engineering，2011，225(1):43-53.

［11］李江.交通事故力學［M］.北京:機械工業出版社，2000:119-128.

［12］張健，張鑫.汽車碰撞改進模型的參數敏感性分析［J］.西南交通大學學報，2010，45(3):451-456.

［13］王宏雁，邵文煜.基于Pc-crash的交通事故再現誤差分析［J］.同濟大學學報(自然科學版)，2009，37(4):531-536.

［14］胡曉健，王煒，陸建.道路交通意外事件影響范圍確定方法［J］.東南大學學報(自然科學版)，2007，37(5):934-939.