MATLAB在大學物理實驗教學中的應用*

陳順芳，徐四六

（湖北科技學院 電子與信息工程學院，湖北 咸寧 437100）

1 MATLAB 的作用

MATLAB是MATrixLABoratory的縮寫，是一款由美國MathWorks公司出品的商業數學軟件［1］.其是一種集算法開發、數據分析、數值計算、數據可視化的高級計算語言.MATLAB不僅具有繪制函數、矩陣運算、數據圖像等常用功能，而且具有創建用戶界面與方便地調用其它語言（包括C，C++和FORTRAN）編寫的功能.

Matlab具有功能強大且界面友好的特點，使用者只需要使用Matlab的一些簡單易懂的指令便可以迅速得到想要的結果；Matlab的幫助功能非常強大，各種命令有圖文范例和詳細講解，使用者能夠快速地查詢各種指令的用法［2］.同時，Matlab可以簡便的創建圖形界面，創建按鈕和圖形的連接，設置各種輸入參數而改變數據，從而更好地觀察圖形，動畫的變化規律.物理學是一門實驗性科學，我們可以構建物理模型，利用Matlab的繪圖、計算、動畫、聲音、等功能來模擬物理實驗現象；教師可以通過Matlab演示物理實驗過程，從而來更好地解釋物理現象和物理規律；學生可以利用虛擬的實驗平臺探究各種情境實驗.利用Matlab能 使復雜的物理實驗可以在計算機中體現，學生不必進行具體的實驗操作，可以將具體問題抽象化，加深學生對物理現象和規律的理解，提高實驗教學的效率，并且能充分挖掘學生的想象力，培養學生的智力.

2 MATLAB 在物理實驗教學中的應用

2.1 物理實驗的動態仿真

2.1.1 雙光束干涉

圖（1）雙縫干涉原理圖（左）和雙縫干涉圖模擬圖（右）

雙光束干涉，按照分波面可以分為楊氏干涉、勞埃鏡干涉、菲涅爾雙棱鏡和雙面鏡干涉等，按分振幅可分為麥克爾遜干涉等.圖1（左）所示的是楊氏雙縫干涉裝置：

現在對雙縫干涉條紋的位置做定量分析，假設S1與S2之間的距離為d，到屏幕的距離為r0，NP0是S1，S2的中垂線.在屏幕上任取一點P，設P點離P0的距離為x，P點到S1，S2距離分別為r1，r2，＜PNP0=θ.在實驗中，一般認為r0＞＞d，θ很小，所以從S1與S2兩線縫發出的光到達P點的光程差為

當P點到雙縫的波程差為波長的整數倍時，P點處將出現明條紋.其中k為干涉級，k=0的明條紋為零級明紋或中央明紋，k=1，2，…對應的明條紋分別成為第一級、第二級……明紋.若P點到雙縫的光程差為半波長的奇數倍時，P點處出現暗條紋，k=1，2，… 稱為第一級、第二級……暗紋.波程差為其他的各點，光強介于明暗之間.因此可以在屏幕上看到明暗相間的穩定的干涉條紋.由計算可得，明條紋中心在屏上的位置為：

暗條紋的中心位置為：

兩個相鄰的明紋或者暗紋之間的距離為（即條紋間距）均為：

菲涅爾雙棱鏡、菲涅爾雙面鏡和勞埃鏡等的干涉花樣分布，都與此類似.兩相干光源到接收屏上P點距離r1=（D2+（y－a/2）2）1/2，r2=（D2+（y+a/2）2）1/2，相位差Φ=2π（r2－r1）/λ，光強I=4I0cos2（Φ/2）.

編寫程序如下：

clear lam=500e－9；a=2e－3；D=1；ym=5*lam*D/a；xs=ym；n=101；ys=linspace（－ym，ym，n）；for i=1：n r1=sqrt（（ys（i）－a/2）.^2+D^2）；r2=sqrt（（ys（i）+a/2）.^2+D^2）；phi=2*pi*（r2－r1）./lam；B（i，：）=sum（4*cos（phi/2）.^2）；end N=255；Br=（B/4.0）*N subplot（1，2，1）；image（xs，ys，Br）；colormap（gray（N））；subplot（1，2，2）；plot（B，ys）

通過編寫Matlab程序，在計算機上運行得到雙縫干涉圖模擬圖1（右）.從圖中我們可以看到雙縫干涉實驗中，干涉條紋的等距性，條紋的強度明暗相間的變化規律.圖中顯示的結果與實驗結果一致表明，一方面驗證了光的波動理論的正確性，另一方面也體現了計算機模擬的本質和特征.

2.1.2 平面光柵衍射

由大量的等間距、等寬度的平行狹縫組成的光學元件成為衍射光柵.用于在透射光衍射的叫投射光柵，用于反射光衍射的叫做反射光柵.常用的投射光柵是在一塊玻璃片上刻畫出許多等間距、等寬度的平行刻痕，刻痕出相當于毛玻璃而不易透光，刻痕之間的光滑部分可以透光，相當于一個單縫，縫的寬度a和刻痕的寬度b之和，即a+b之 和成為光柵常數.平行單色光垂直照射在光柵上交，由光柵出射的光線經過透鏡L后，會聚與屏幕E上.

設光柵有N條狹縫，透鏡焦距為f＇，理論分析可得到，夫瑯禾費衍射的光屏上任意一點P的光強為

式中β=πdsinθ/λ，上式的前一部分與單縫衍射的強度相同，它來源于單縫衍射，是整個衍射圖樣的輪廓，稱為單縫衍射因子.后一部分分數可以改寫如下：因為dsinθ=δ為相鄰兩縫對應點到達觀察點的光程差，這個光程差所引起的相位差為φ=2πdsinθ/λ=2β，光強分布公式的分數部分來源于縫間干涉，叫做縫間干涉因子，可寫為

可見光柵衍射的光強是單縫衍射因子和縫間干涉因子的乘積，即單縫衍射因子對干涉主最大起調制作用.

對于一定的波長來說，根據dsinθ=jλ（j=0，±1，±2，…），可知各級譜線之間的距離有光柵常量d決定，各級譜線的強度分布將隨著b與d的比值的變化而變化.由

不難決定各主最大值的振幅分布，把由光柵方程決定的sinθ的值代入上式，得到j級譜線的振幅為

關于上面論述的知識點，我們所學的教材只能給出了平面光柵衍射強度分布曲線，僅由光柵衍射此強度函數曲線圖，讀者還是會感覺到抽象，難以對此現象形成更為直接的直觀印象，特別是平面光柵衍射中涉及的缺級現象更加難以理解，本文運用Matlab編寫相應的程序，對此物理現象進行模擬.從圖（2）我們可以看到：

（1）圖樣中出現一系列最大值和最小值，主最大兩線較寬，次最大兩線較弱.（2）主最大寬度隨著N的增大而減小，其強度正比于N2，但位置與縫數N無關.（3）相鄰主最大之間有N－1條暗紋和N－2個次最大.（4）強度分布中曲線的包跡與單縫衍射強度曲線一樣.光柵衍射條紋，表面是單縫衍射和縫間干涉的共同結果.

圖中顯示的結果與實驗結果基本一致，驗證了光的波動理論的正確性.因此，通過MATLAB軟件編程對衍射過程進行仿真，可以使光柵衍射現象和規律直觀地表現出來.

2.2 物理實驗數據的處理

大學物理實驗的數據處理，常用一些粗略處理數據的方法：列表法，作圖法，逐差法.在實驗精度要求不高的普通物理實驗中，我們經常要用到.而對于最小二乘法，若使用計算器的統計功能來計算，將會出現計算量大、按鍵錯誤、不方便核查校對，并且耗時費力的缺點，因此一般較小被采用［2］.相對于前面幾種數據處理方法，Matlab軟件是集數值、符號運算及圖形處理、程序語言設計等強大功能于一體的科學計算語言.用Matlab處理實驗數據僅需編寫幾行簡練程序，運行后就可得到所需的結果.應用它，一方面能較準確地標記實驗數據點和繪出擬合曲線，另一方面可以克服了最小二乘法計算量大、繁瑣、枯燥的數值計算［3］，并且其運行結果可用復制、粘貼，可以在其它文字編輯軟件運行，圖形可用File菜單中“export”命令保存為常用類型的圖形文件［4－6］.

下面我們以復擺實驗為例，介紹用Matlab實現最小二乘法處理實驗數據的方法.

把一根鉆有一系列小圓孔的扁平金屬棒掛在一固定的三棱柱刀口上，做幅角θ＜5o的擺動，這就是復擺.用米尺分別測出支點0到棒的端點的間距、棒的質心C，求出支點到擺的質心C的距離h，用周期測定儀測出復擺振動20次的全振動時間，求出復擺的振動周期T，實驗數據列于表一，復擺的振動周期公式為

式中k為復擺對過質心且垂直于棒的軸的回轉半徑，g為重力加速度，我們選用的復擺實驗數據如下表：

表一：復擺實驗數據

為實現最小二乘法直線擬合實驗數據，將曲線方程式改寫

根據上述物理模型及數學模型，用Matlab語言編寫程序，保存之后再運行之，分別得到下列結果：

（1）擬合直線的斜率：截距b=4.0337（1/m.s2），a=0.3501（m.s2）

（2）擬合直線的相關系數：r=1.00135.

（3）擬合直線的斜率，截距的標準偏差：Sb=0.0124（1/m.s2），Sa=0.00133（m.s2）.

（4）重力加速度及其標準偏差：g=9.8345（m.*1/s2），Sg=0.03121（m.1/s2）.

（5）回轉半徑：k=0.30123（m），Sk=0.73246（mm）.

（6）y－x圖上的擬合直線，如圖11所示，圖中的“*”表示實驗數據點，實線表示擬合直線.

圖（3）y －x 擬合直線圖

用Matlab軟件處理復擺實驗數據，只需打開保存的編輯好了的文件，在該文件中把原來實驗數據修改為新的實驗數據，立刻可得到新的實驗結果、實驗圖線和擬合曲線，作圖清晰，準確性高，即輸即得，一目了然.另外，只要對該文件稍作修改，即可成為用最小二乘法處理其它實驗項目的實驗數據的新M命令文件.

3結 語

文章通過雙光束干涉實驗、平面光柵衍射實驗，以及復擺的振動實驗來研究MATLAB在大學物理實驗中的應用.研究表面，在物理實驗教學中，應用MATLAB實驗仿真系統，可以為學生提供一個良好的實驗平臺，其既能激發學生興趣，開發學生的智能，提高實驗課效果，同時讓學生了解計算機模擬的本質.

［1］張志通.精通Matlab6［M］.（5版）北京：北京航天大學出版社，2003.

［2］羅興垅，羅穎.Matlab軟件在物理實驗數據處理中的應用［J］.贛南師范學院學報，2004，（3）.

［3］韓敬，鐘方川，李林.Matlab在大學物理實驗數據處理中的應用［J］.大學物理實驗，2008，21（1）.

［4］張永鋒，潘穎.MATLAB在物理實驗數據處理中的應用［J］.安徽技術師范學院學報，2003，17（3）：259 ～261.

［5］徐四六，賀平.大學物理實驗教學改革的探究與實踐［J］.咸寧學院學報，2007，27（3）.

［6］陳順芳，徐四六.光電信息實驗，實踐平臺構建的探究［J］.咸寧學院學報，2011，31（6）.