帶Poisson跳的隨機微分方程解的矩估計

崔靜

（安徽師范大學 數學計算機學院,，安徽 蕪湖 241000）

帶Poisson跳的隨機微分方程解的矩估計

崔靜

（安徽師范大學 數學計算機學院,，安徽 蕪湖 241000）

利用隨機微分方程的基本理論及分析的技巧，研究了帶Poisson跳的隨機微分方程解的性質，在非線性系數滿足線性增長的條件下，給出了帶Poisson跳的隨機微分方程解矩估計，豐富了現有文獻的相關結果.

隨機微分方程；Poisson跳；Ito公式；P-階矩

眾所周知，隨機微分方程理論在系統與控制科學、金融學、經濟學等諸多領域有著廣泛的應用[1,2].近年來，帶Poisson噪聲的隨機微分方程引起了許多學者的廣泛關注，許多精美的結果參見文獻[1-5].本文在現有結果的基礎上，利用Ito公式、Burkholder不等式及分析的技巧，研究了帶Poisson跳的隨機微分方程解的性質，在非線性系數滿足線性增長條件下，給出了帶Poisson跳的隨機微分方程解的矩估計，豐富了現有文獻的結論.

1 預備知識

令|·|表示R上的歐幾里得范數，R+=（0，∞)令(Ω,F,{Ft}t≥0, P)是一個完備的概率空間且滿足通常的條件，即{Ft}t≥0是單增、右連續的σ-族且F0包含所有的P-零集，B={Bt}t≥0是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的標準的一維布朗運動.N(ds,dy)是(R+× U,B(R+)×A)上的特征測度為v(dy,ds)的Poisson隨機測度且與B={Bt}t≥0獨立，其補償隨機測度為N(ds,dy).考慮如下帶Poisson跳的隨機微分方程

其初始條件為x(0)=x0∈R對T>0假設b,σ:[0,T]×R→R, h:R×R→R為Borel可測的函數.

眾所周知，當非線性系數b，σ，h滿足相應的Lipschitz條件和線性增長條件時，方程(1.1)存在唯一的強解，以下若無特別說明，總假設方程(1.1)存在唯一的強解.為了研究方程(1.1)解的p-階矩，需要作如下假設：

(H1)對q>2存在一個正常數 使得

(H2)對所有的t∈[0,T]及y∈R存在一個正常數K2使得

2 主要結果及證明

引理2.1[2]若x(t)是方程(1.1)的解，則對p≥2，存在常數cp>0,使得對所有的t≥t0>0,都有

引理2.2[3]對任意p≥2，若,則

定理2.1 令x是方程唯一的解.若假設成立，則存在一對正常數c1,c2使得對p≥2及t∈[0,T]有

其中

c0=K2p(p-1),c(p,T)是一個僅依賴于p,T的正常數.證明 由(H2)可得

對t∈[0,T],由Ito公式可得，

利用(2.1)及(H2)進一步計算可得

從而可得

其中

下面估計上述的Ii,i=1,2,3.易知，

由Burkholder-Davis-Gundy不等式、Holder不等式及(H2)可得

注意到由Ito公式可知

進而，由引理2.1及(H1)可得

由上述估計計算可得

由Gronwall不等式知定理得證.

定理2.2 在定理2.1的條件下，存在正常數ci,i=3,4,5使得對所有的p≥2,0≤s≤t≤T都有

證明 運用Holder不等式及一個基本的不等式|a+b+c|p≤3p-1(|a|p+|b|p+|c|p)可得

由引理2.2，類似于定理2.1中I3的推導我們有

由(H1)及(H2)計算整理可得

由定理4.1易知

其中

定理得證.

〔1〕D.Applebaum,Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press,2004.

〔2〕H.Kunita,Stochastic diffential equations based on Levy processes and stochastic flows of diffeomorphisms.Real and Stochastic Analysis,New Perspectives,M.M.Rao., 1984.

〔3〕X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications[M].Horwood,1997.

〔4〕M.Siakalli,Stability propertiesofstochastic diffential equations driven by Levy noise.University of Sheffield PhD thesis,2009.

〔5〕T. Yamada, On the successive approximation of solutionsofstochastic differentialequations.J.Math. Kyoto Univ.21,(1981)501-515.

O211.9

A

1673-260X（2012）05-0003-03

安徽省教育廳自然科學基金（KJ2011z147）