拉普拉斯(Laplace)定理的新證明

殷紅彩

（安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233000）

拉普拉斯(Laplace)定理的新證明

殷紅彩

（安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233000）

利用排列和行列式的定義給出了行列式拉普拉斯展開定理一種簡單證明,并得到了排列的兩個性質.關鍵詞：排列；行列式；拉普拉斯定理

1 拉普拉斯定理回顧

拉普拉斯定理是行列式展開的一個重要定理,該定理在理論上有重要的應用,為了敘述方便引述相關概念[1]如下:

定義1 在一個n級行列式D中任意選定k行k列(k≤n-1)，位于這些行和列的交點上的k2個元素按照原來的次序組成一個k級行列式M，稱為行列式D的一個k級子式.在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的次序組成的n-k級行列式M'稱為k級子式M的余子式.

定義2 設D的k級子式M在D中所在的行、列指標分別是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk，則M的余子式M'前面加上符號(-1)(i1++i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)后稱做M的代數余子式.

為了證明拉普拉斯定理用到了下面的引理,該引理的證明較為繁瑣,在這里只敘述該引理,證明略去.

引理 行列式d的任一個子式M與它的代數余子式A的乘積中的每一項都是行列式D的展開式中的一項，而且符號也一致.

拉普拉斯定理 設在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D.

證明 設D中取定k行后得到的子式為M1,M2,…,Mt,它們的代數余子式分別為 A1,A2,…,At,定理要求證明D=M1A1+M2A2+…+MtAt根據引理,MiAi中每一項都是D中一項而且符號相同,且MiAi與MjAj(i≠j)無公共項.因此為了證明定理,只要證明等式兩邊項數相等就行了.顯然等式左邊共有n!項,為了計算右邊的項數,首先來求出t.根據子式的取法知道

因為Mi中共有k!項,Ai中共有(n-k)!項.所以右邊共有t· k!·(n-k)!=n!項.定理得證.

2 拉普拉斯定理新證明

先引入排列和行列式的定義[1]:

定義3 由1,2,…,n組成的一個有序數組稱為一個n級排列.

定義4 在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數.

排列j1j2…jn的逆序數記為τ(j1j2…jn).

定義5 n級行列式

等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數和，這里j1j2…jn是1,2,…,n的一個排列，每一項(2)都按下面規則帶有符號；當j1j2…jn是偶排列時，(2)帶有正號，當j1j2…jn是奇排列時，(2)帶有負號.這一定義可寫成

這里i1i2…in與j1j2…jk都是一個n級排列.同樣可以把每一項按列指標排起來，于是定義又可以寫成

為了證明引理,先給出下面兩個關于排列的結論:

定理1 設i1,i2,…,ik,ik+1,ik+2,…,in是一個n級排列,若i1,i2,…,ik滿足i1

證明 n級排列i1…ikik+1…in的逆序數可分為兩部分:一部分是排列i1,i2,…,ik和排列ik+1,ik+2,…,in的逆序數,即分別為τ(i1i2…ik)與τ(ik+1ik+2…in);另一部分是排列i1,i2,…,ik中的數碼和排列ik+1ik+2…in中的數碼構成逆序產生的逆序數.注意到i1,i2,…,ik已是按順序排列,故在排列ik+1,ik+2,…,in中,比數碼i1小的數碼有i1-1個.類似,在排列ik+1ik+2…in中,比數碼i2小的數碼有i2-2個,…,在排列ik+1ik+2…in中,比數碼ik小的數碼有ik-k個.故有等式

+[(i1-1)+(i2-2)+…(ik-k)] 證畢.

定理2 設j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn是一個n級排列,若jk+1, jk+2,…,jn滿足jk+1

證明 n級排列j1,j2,…,jk,jk+1,jk+2,…,jn的逆序數可分為兩部分:一部分是排列j1,j2,…,jk和排列jk+1,jk+2,…,jn的逆序數,即分別為τ(j1j2…jk)與τ(jk+1jk+2…jn);另一部分是排列j1,j2,…,jk中的數碼和排列jk+1,jk+2,…,jn中的數碼構成逆序產生的逆序數.注意到jk+1,jk+2,…,jn已是按順序排列,比數碼jk+1大的數碼共有n-jk+1個,而jk+2,…,jn就是其中的n-(k+1)個.故剩余比jk+1大的數碼的個數為(n-jk+1)-(n-(k+1))=(k+1)-jk+1,它們在在排列jk+2,…,jk中.類似,可知在在排列j1,j2,…,jk中,比數碼jk+2大的數碼有(k+2)-jk+2個,…,在排列j1,j2,…,jk中,比數碼jn大的數碼有n-jn個.故有等式

有了上面的準備,下面證明引理.

引理的證明 設D的任一個k級子式M取自的行列為i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk.其余子式M'取自的行列為ik+1,ik+2,…,in；jk+1,…,jn;其中i1,…,ik,ik+1,…,in與j1,…,jk,jk+1,…,jn分別為12…n的一個排列,對M按(3)式展開,其一般項為

其中i1,i2,…,ik滿足i1

其中jk+1,jk+2,…,jn滿足jk+1

顯然,不考慮(10)式的符號,由(4)式,ai1j1ai2j2…aikjkaik+1jk+1aik+2jk+2…ainjn應是行列式(1)的展開式(4)中右邊的項.下面再考察(10)式的符號,由定理1,即(6)式,得

由定理2,即(7)式,得

注意到

所以

由(11),(12)兩式得

所以(10)式可化為

即行列式D的k級子式的一般項與其余子式的一般項的積是行列式D的一般項前多了符號

而這恰是行列式D的代數余子式的前帶的符號,故行列式D的k級子式的一般項與其代數余子式的一般項的積是行列式D展開式中的的一般項,引理證畢.

顯然用引理的新的證明方法,就文獻[1]的內容安排可先在第二章的第一節給出了排列的兩個新的性質,即文中的定理1和定理2,這樣既分散了拉普拉斯定理證明的難度,又可使第一節的內容有了增加不再顯得單薄,整個文章的安排上更為合理.

〔1〕北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社，2003.

〔2〕陳志杰.高等代數與解析幾何(上)[M].北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社，2000.

O151.22

A

1673-260X（2012）05-0006-02

蚌埠學院自然科學項目（2011ZR17）