基于K-空間積分格林函數的近場聲全息技術

邵光輝，牛悅嬌，馬佳男

（1.中船重工第715研究所第十研究室，浙江 杭州 310012；2.河北聯合大學，河北 唐山 063009；3.哈爾濱工程大學，黑龍江 哈爾濱 150001）

基于K-空間積分格林函數的近場聲全息技術

邵光輝1，牛悅嬌2，馬佳男3

（1.中船重工第715研究所第十研究室，浙江 杭州 310012；2.河北聯合大學，河北 唐山 063009；3.哈爾濱工程大學，黑龍江 哈爾濱 150001）

目前基于Neumann邊界條件空間聲場變換技術格林函數的主要有限離散化算法是k-空間抽樣格林函數法.然而，該條件下的k-空間積分格林函數法卻很少應用在相關的課題研究中.所以對于該算法的重構特性以及這兩種算法在空間聲場變換中的優劣是人們一直普遍關注的問題.本文通過計算修正了該算法在Neumann邊界條件下的計算參數，并通過數值仿真分析了k-空間積分格林函數的相關特性，最后通過仿真計算給出了這兩種方法在不同重構參數下的誤差分析.這些分析結果可為進一步的工程實踐提供參考.

空間聲場變換；平面近場聲全息；格林函數；法向質點振速

近年來，近場聲全息技術得到了廣泛的應用和發展，其中以基于空間聲場變換（STSF）[1]~[3]、邊界元（BEM）和最小二乘法這三種算法最為主流.目前這三種方法以基于空間Fourier變換和逆變換方法的NAH技術最為成熟，工程實現最容易，應用最廣泛；BEM法和HELS方法雖然能適應各種形狀的聲源，卻都有其自身缺陷，且工程實現存在不同程度困難.隨著矢量水聽器的發展，可以通過測量質點振速來對聲場進行重建和預測，但現有的重建算法大部分都采用了K-空間抽樣格林函數法對聲場進行重建的，但是由于Neumann邊界條件下k-空間振速-聲壓格林函數在輻射圓周上存在奇異性[4]，這種奇異性會使得格林函數的幅值在輻射圓周上具有很大的躍變，從而影響重構精度.

本文將給出基于Neumann邊界條件下的另一種格林函數重建算法--K-空間積分格林函數法，對聲場進行重建，通過仿真計算驗證這種格林函數離散方法的正確性和可行性，并用這種方法與K-空間抽樣格林函數法進行比較，并給出相應的結論.

1 Neumann邊界條件下的格林函數

理想流體介質中小振幅聲波傳播的波動方程[5]：

對于單頻聲波速度勢Φ=覬e-jωt,ω為聲波的角頻率，覬是空間分布函數，它滿足Helmholtz方程：

其中，c為聲速，k為聲波波數，故波數空間又稱為k-空間.通過Helmholtz方程，可以推導出Helmholtz公式.此公式用聲場邊界函數值表示聲場（穩態單頻波動聲場）的積分形式解.當點源都集中在某一封閉曲面s內時，Helmholtz公式表示為

由式（3）可見，Helmholtz公式用覬和鄣覬/鄣n邊界值的面積分來確定聲場中任意一點的速度勢函數值，因此當已知邊界質點振速的分布和聲壓的分布值時，就可以用Helmholtz積分求出場中任意點的速度勢函數值.

格林函數表示一定邊界條件下點源的場，與邊界條件一一對應.單頻聲場中的格林函數滿足下面的方程[6]：

其中，r軆'代表聲源的位置，r軆代表場點的位置，δ函數表示點源，時間因子取e-jωt，解得：

式（5）表示的是自由場中的格林函數，稱為格林函數的基本解.該式為具有1/r奇點形式的函數且滿足Helmholtz方程，可以成為式（3）的輔助函數.利用格林函數這種可選性可以選擇適當的格林函數形式來簡化Helmholtz公式.

Helmholtz方程與第二類邊界條件構成的定解問題叫做第二邊值問題或Neumann問題.對于式（2），第二類邊界條件是指鄣覬/鄣n在區域邊界上為給定函數.相應地，該邊界條件下滿足式（5）和Neumann邊界條件的解稱為Neumann格林函數.

根據“虛源法”，平面邊界下格林函數的數學表達式為：

式（3）中，封閉曲面s外一點的速度勢可以看作為s上次級元波在場點o的速度勢迭加之總和，相當于源點位于s上.當s為平面時，有由式（7）可算出Helmholtz公式中的輔助函數項：

其中uz(x,y,z)，p(x,y,z)分別為空間點(x,y,z)處為法向質點振速、聲壓.

通過式（8）可以得到Neumann邊界條件下，實空間域下法向質點振速-聲壓的格林函數:

gN即為Neumann格林函數.由尤拉公式：

對式（3）進行二維空間Fourier變換并利用尤拉公式，整理得到k-空間法向質點振速-聲壓的格林函數：

2 K-空間積分格林函數法

K-空間積分格林函數法是由W.A.Veronesi等人提出的，哈爾濱工程大學的金莉萍修正了該格林函數法在輻射圓周上計算公式，本文將通過仿真計算分析該格林函數對重建結果的影響，并通過對雙點源的仿真進一步驗證該方法對重建分辨率和重建精度的影響.

由式（2）可以看出在基于Neumann邊界條件下的格林函數在輻射圓周上具有奇異性，這種奇異性會使得格林函數的幅值在輻射圓周上具有很大的跳變，從而影響到重建的精度.K-空間積分格林函數法是通過格林函數在K-空間的積分值來改善函數在輻射圓周上的奇異性.其原理圖如圖1所示.

圖1 K-空間積分原理圖

在波數域的點(kx,ky)附近的環形區域帶k2r2≤k2r≤k2r1上進行積分求格林函數G的平均值，以克服輻射圓周上的奇異性.記kr=(kx2+ky2)1/2，積分環帶內徑 kr1=(kx2+ky2)1/2-△kr，外徑kr2=(kx2+ky2)1/2+△kr，其中，為環帶寬度的一半.積分分為三個部分，即積分在輻射圓內小于kr2的傳播波區域、倏逝波區域即大于kr2的區域，以及傳播波和倏逝波混合的區域.

于是通過計算可得，在Neumann邊界條件下的K-空間積分格林函數：

3 數值仿真分析

圖2給出的是當重建距離增大時，K-空間積分格林函數的幅值隨kr/k變化曲線.我們知道源面上的聲波向全息面傳播過程中，低波數的傳播波成分幅值不發生變化；而高波數的倏逝波成分幅度將會按指數規律衰減.所以通過圖2我們可以看到不同波數成分對格林函數的影響.

圖2 距離不同時|GN|與kr/k間的關系

通過對比可以看出：（1）基于K-空間積分格林函數法的格林函數對重建距離更敏感，相較而言K-空間抽樣格林函數對重建距離并不敏感；（2）當kr/k>1時（即高波數成分），K-空間抽樣格林函數的幅值衰減迅速在kr/k=1.5時，幅值已衰減殆盡，而基于K-空間積分的格林函數幅值衰減速度遠低于K-空間抽樣格林函數，重建距離越小，該函數衰減速度越慢；（3）當kr/k=1時（即輻射圓周），可以看到兩種格林函數都有幅值上的躍變，但K-空間積分格林函數在圓周上的幅值明顯遠小于K-空間抽樣格林函數，說明K-空間積分格林函數法明顯改善了式（2)在輻射圓周上的奇異性；（3）通過對兩種格林函數衰減速度的對比，我們可以知道K-空間積分格林函數由于其衰減特性可以獲得更多的高空間波數成分，尤其當重建距離較小時，可能會得到更好的重建精度.

圖3 頻率不同時|GN|與kr/k間的關系

圖4 不同測量距離下，兩種格林函數法的聲場重建

由圖3可以看出不同頻率對格林函數衰減特性的影響，隨著頻率的減小，K-空間積分格林函數可以得到更多的高空間波數成分，而由于K-空間抽樣格林函數倏逝波衰減的十分迅速，使得在低頻條件下，很難捕捉到更多的高空間成分，這樣會對重建精度產生相應的影響；隨著頻率的增大，兩種格林函數在衰減特性上都沒有明顯的變化.

下面通過仿真驗證，來進一步了解K-空間積分格林函數法對聲場重建精度的影響.

首先，令全息面為4m×4m，重構頻率f=1500hz，兩個點源相距0.2m，采樣點數N=64，聲速c=1500m/s，dz=0.01m對聲場進行振速-聲壓的聲場逆向重構.

圖4給出了在相同重構距離下，不同測量距離對聲場重建精度和分辨率的影響.當測量距離Zh=0.02時，兩種格林函數算法下的聲場重建都獲得了較好的重建分辨率，但是在基于k-空間抽樣格林數算法下重建的聲壓在孔徑邊緣存在較小的起伏，這是由于“卷繞誤差”和其格林函數本身存在奇異性引起的.將Zh增大到0.06m并保持重構距離dz不變，可以看到：隨著測量距離的增大，兩種格林函數下的重建分辨率都存在減小的現象，但是基于k-空間積分格林函數算法的重建結果仍然可以看出輻射聲源的特性；但是隨著Zh的增大，基于k-空間抽樣格林函數算法下的重建聲壓幅值在孔徑邊緣的起伏增大，即使利用漢寧窗和k域濾波，都不能抑制卷繞誤差對重構結果的影響，從而影響對聲源特性的判斷.

4 結論

通過數值仿真結果可以得出如下結論：當通過測量法向質點振速對聲壓場進行重構時，相對于k-空間抽樣法，k-積分格林函數法有效地抑制了重構中常存在的“卷繞誤差”并改善了k-空間抽樣格林函數在輻射圓周的奇異性.當增大測量距離保持重構距離不變時，基于k-空間積分格林函數法相對于k-空間抽樣格林函數算法的聲場重建，具有相對較好的重構精度和重建分辨率，可以預見該算法在復雜聲源存在的聲場條件下會有較好的應用前景，其應用特點也可為進一步的工程實踐提供參考.

〔1〕J.D. Maynard, E.G. Williams, Y.Lee, Near field Acoustic Holography: I. Theory of Generalized Holography and the Development of NAH,J.Acoust. Soc.m.1985,78(4):1395-1413.

〔2〕陳曉東.近場平面聲全息的測量和重構誤差研究[D].合肥工業大學，2004

〔3〕VeronesiW A,Maynard JD.Nearfield acoustic holography （NAH）II. Holographic reconstruction algorithms and computer implementation,J.Acoust.Soc. Am.1987,81(5):1307-1322.

〔4〕金莉萍.基于格林函數的典型聲場反演技術[D].哈爾濱工程大學，2006.

〔5〕何祚鏞.聲學逆問題一聲全息變換技術及源特性判別[J].物理學進展，1996（3）.

〔6〕W.A.Veronesi and J.D.Maynard.Digital holographic reconstruction of source with arbitrarily shaped surfaces. J.Acoust.Soc.Am.,1989,85(2):588~598.

O438.1

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1673-260X（2012）05-0008-04