應用圖論的空襲航路優化

劉志成， 嚴建鋼， 陳 榕， 武志東

(海軍航空工程學院，山東 煙臺 264001)

0 引言

戰爭體系對抗的性質表明，尋找系統中的薄弱節點或鏈接進行作戰，可以以較小的代價獲得較大的作戰效果。因此，如何尋找防空網絡的薄弱環節，優化突襲航路，成為航空兵突襲目標的一個重要課題。

現有文獻多是針對于單個火力單元的航路規劃，主要著眼于兵器自身，以其技術性能如航程、可用轉向角、轉向點數量等為約束條件，以設定的威脅判定條件為目標條件，利用各種算法對其航路進行優化［1－3］。而關于戰役方向的選擇、空襲機群航路的謀劃等宏觀層次的研究多限于定性分析，定量分析的文章較少。本文試圖通過對防空系統的圖論描述，借助相關特征統計量計算，從整體上把握防空系統的薄弱環節，確定高價值可攻擊節點，從而為突襲航路的選擇提供依據。

1 防空網絡的圖論描述［4］

將防空區域前沿依據火力作戰單元的攔截寬度劃分為幾塊，作為可能的突襲方向，用集合S表示，S={s1，s2，…，sa}。在投彈圈邊界線(或者安全區邊界線)根據武器的性能指標劃分幾個方向，作為攻擊航路的終點，用集合 T 表示:T={t1，t2，…，tb}，那么 S→T 就構成了所有可能突襲航路。

1.1 防空網絡的節點和邊

定義1防空節點。每個防空火力單元都有一個圍繞它并由它控制的防空區域，由幾個部署在同一地點的防空火力單元共同控制的防空區域稱之為防空節點。wi表示i節點的自由火力通道數。

按照火力密度分布圖將防空區域用有向圖G表示，G=(V，E)，其中:V為防空節點集合;E為節點間邊的集合。節點間的連接情況由鄰接矩陣A=(aij)n×n表示，如果兩節點 i，j間存在火力銜接，則 aij=1，否則 aij=0。

1.2 節點間的路徑長度

1.2.1 突防概率計算模型［6］

假設共部署了k道防線，第i道防線部署xi套導彈兵器系統，單發導彈殺傷概率為pdi，因武器性能的差異，不同武器系統擔負特定的作戰任務，故可假設同防線上武器類型相同，不同防線上武器可不相同。該系統可看作M/M/x1的多通道消失制隨機服務系統［6］。

空襲時平均強度為λ架/min，T1為第一層火力單元的平均攔截時間，由排隊論可知，第一道防線的突防概率為

其中:T1為第一道防線導彈平均攔截時間，α1=λ1T1，則飛機在第一道防線遭攔截的概率為1－p1。若每套武器的殺傷概率為pd1，進入第一道防線數M1=M，則飛機在第一道防線被毀傷的概率為M1(1－P1)Pd。

進入第i道防線的飛機由兩部分組成:第i－1道防線突防的飛機;雖遭攔截但未毀傷的飛機。因此進入第i道防線的飛機數為

進入第i道防線的目標流空襲時平均為 λi=λi－1(1 － pdi+pi－1pdi)，同樣，該防御系統可看作 M/M/xi的多通道隨機服務系統，由排隊論可知，敵機突破i道防線的概率pi為

1.2.2 節點間路徑長度

現代防空體系一般為3層火力配系，任意方向的突襲都將至少遭到3層攔截，即防空網絡在任意方向上都至少存在一條完整的攔截通路。

當 i∈S，j為第 3 層防空節點時，a′ij為飛機從 i節點進入，經3次攔截，從j節點投彈的所有攔截通路的個數。

定義2攔截路徑長度。兩防空節點之間的距離dij為突襲兵器從防空節點i進入到j的突防概率pij。

定義3殺傷鏈。從突襲方向到防御末端的最小攔截概率路徑［7］。

從i節點到j節點的殺傷鏈長度為

定義4方向樹。由某突襲方向進攻所有目標的最短攔截通路構成的防空網絡連通分支。

某進攻方向上的防空網絡的作戰效能為

其中:wj為保衛目標區域的權重系數。該式用來判斷防空網絡的主要防御方向。

那么，防空網絡的作戰效能為

2 防空節點攻擊價值評估模型

2.1 防空節點網絡分布特性描述［8－12］

網絡中不同節點的重要性差異是通過分析網絡中某種有用的信息得到的，如節點的度、最短路徑、節點和邊上的權重等，通過對這些基本屬性的統計、計算，能相對定量地反映出節點在網絡中的位置特性，將網絡節點的顯著性進行“放大”來定義節點的重要性［7］。

定義5防空節點的介數。網絡中所有殺傷鏈經過該節點的數量。設(i，j)之間最短路徑的集合為sij，則節點μ歸一化后的介數為

那么，介數與鄰接矩陣的關系可以近似表示為

通過點集對S和T之間最小攔截概率的計算，得到了防空網絡中存在的薄弱殺傷鏈。這些殺傷鏈的交點地區成為首要打擊目標，因為交點地區火力點的清除將帶來多重效益，使得突防概率明顯增加。

2.2 防空節點的可攻擊性分析

在分析防空節點分布特性的基礎上，對攻擊防空節點的難易進行分析，若該節點在防空系統縱深位置，則突擊兵力將面臨較多防空力量的打擊;若位于防空陣地淺前沿地區，則較易摧毀該節點。故采用突擊兵力能夠到達該節點的突防概率來評價節點的可攻擊性。

其中:r為μ節點所在的攔截層數;Pμ為從任意突襲方向進攻μ節點的最小攔截概率。

定義6防空節點攻擊價值計算公式為

根據方向樹確定薄弱防御方向，即選擇進入攻擊方向，然后按照攻擊節點的價值大小排序，即可得到最優突襲航路。

3 突襲航路優化的算法實現

本文使用Visual C++語言進行評估計算，程序的輸入為火力分布圖的鄰接矩陣和權重矩陣，輸出為各防空節點的攻擊價值。算法實現的步驟如下:1)根據防空網絡鄰接矩陣計算各防空節點的介數大小;2)根據突防概率算式(4)計算出給定點對之間攔截通路上的最大突防概率;3)根據式(7)計算各方向樹的作戰效能，判斷防空網絡的薄弱防御方向;4)根據式(12)計算各防空節點的攻擊價值，根據進攻方向按照攻擊價值排序，即可得出最優突襲航路。

4 算例分析及仿真驗證

敵某海軍基地防空導彈旅裝備某型導彈，其單發殺傷概率為0.8，火力單元平均反應時間為2 min。假設突擊目標權重相等。根據防空導彈的攔截正面寬度將防空區域前沿劃分為3個方向，即根據火力密度分布圖將防空區域劃分為12個防空節點，根據節點間的連接情況確定鄰接矩陣A，假設我突襲目標流強度λ為4架/min。

1)根據式(6)確定指定點對即起始節點1、2、3到末端防御節點9、10、11、12之間的殺傷鏈長度，并記錄最短攔截通路。例如由節點1～9的火力攔截通路有1－4－9、1－5－9，通過式(6)計算得出1－5－9為1～9的最短攔截通路(這也是全局最短攔截路徑)。這些最短攔截通路構成新的子圖G1。

2)根據式(7)計算各方向樹的作戰效能分別為:p(1)=0.3702;p(2)=0.3299;p(3)=0.2。

3)根據防空節點的攻擊價值計算式(12)，計算出圖2中各攻擊節點的攻擊價值，并對其進行排序，即5、9、10、2、7、12，故最佳攻擊路線應為1 －5 －9。

圖1 防空火力分布圖Fig.1 Distribution of the air denfense force

這與全局搜索最短攔截通路結果是一致的，但計算復雜度卻有很大程度的降低，說明了模型的有效性。

圖2 最短攔截路徑分布圖Fig.2 Distribution of the shortest penetration path

5 結論

利用防空節點的網絡特性及火力強度評估該節點的重要性，尋找防空網絡的薄弱環節，為航空兵作戰突襲航路的選擇提供了新的思路和研究方法。對于防御方而言，如何根據該方法進行防空兵力的部署，這將是下一步要研究的問題。

［1］ 杜永偉，張斌，陳中起，等.空地多目標序貫攻擊水平最優航跡實現［J］.電光與控制，2010，17(10):60-64.

［2］ 程春華，吳進華，周大旺.一種基于SVM的航路規劃研究［J］.海軍航空工程學院學報，2010，25(1):61-64.

［3］ 汲萬峰，姜禮平，朱建沖，等.基于遺傳算法的航路規劃編碼研究［J］.電光與控制，2010，17(6):44-47，64.

［4］ J A邦迪.圖論及其應用［M］.北京:科學出版社，2007.

［5］ 汪小帆.復雜網絡理論及其應用［M］.北京:清華大學出版社，2006.

［6］ 來斌.防空作戰模擬與效能評估［M］.北京:軍事科學出版社，2004.

［7］ 劉小航，李桂萍.基于最短路問題模型的巡航導彈航跡判定［J］.電光與控制，2010，17(11):19-21，38.

［8］ 王斌，譚東風，凌云翔.基于復雜網絡理論的作戰描述模型研究［J］.指揮控制與仿真，2007，29(4):12-16.

［9］ 沈壽林，張國寧，杜丹.基于復雜網絡的作戰系統結構研究［J］.電子測量技術，2007，30(4):155-158.

［10］ 吳曉鋒，李旭涌，陳曄.艦艇作戰系統的一種分析方法［J］.兵工學報，2007，28(7):880-884.

［11］ 朱濤，常國岑，施笑安.基于復雜網絡的指揮信息系統拓撲模型研究［J］.系統仿真學報，2008，20(6):1574-1576，1581.

［12］ 張明科，陳政，于長軍，等.網絡化戰爭中的復雜網絡拓撲建模［J］.航天控制，2007，25(4):3-6，12.