提高學生運算能力的思考與嘗試

●黃澤航 (杭州市清河中學 浙江杭州 310008)

1 問題的提出

在教學過程中，常有學生在最基本的運算中出錯.筆者有幸參加了2011年浙江省杭州市數學中考閱卷，在對第20題的閱卷過程中筆者做了一些統計(抽樣50份試卷).該題是一道以杭州市舉辦的國際動漫節為載體，用7屆動漫節的成交金額為變量編制的統計題.考生的解答不容樂觀，有48名考生列出了方程：65.3(1+x)2=128，但只有6名考生算出了結果x≈40%.其他考生卷面上雖有運算過程和改劃印記，卻得不到正確答案，可見考生在考試過程中為計算此題花費了很多時間，進而影響了后續解題的信心.

2 問題的分析

2.1 歸因分析

(1)數學教材刪除了“繁、難、偏、舊”，卻沒有夯實運算的基礎.

新課程摒棄了數學運算中的“繁、難、偏、舊”，本應更能促進學生數學運算能力的發展，但在使用過程中，發現存在一個普遍存在的問題：運算的不足成為新課程的軟肋.筆者使用過華師大版(一輪)教材和新浙教版(兩輪)教材，都強調數學思想方法，發展學生運用數學的能力，但都在不同程度上削弱了數學基本技能，無論在內容上還是教學時間上，都沒有關注到學生實際的出發點、發展的過程和后續學習的需要，很多運算的教學內容和課時的安排值得探討.

(2)數學課堂需要的是“靜水深流”，尤其是在數學運算技能的教學上.

新課程強調學生的主動探索、分組討論、交流合作的參與式課堂教學，多元化的課堂教學模式遍地生花.在運算教學中，筆者曾在2個班級中分別使用課件、視頻、投影模式和粉筆黑板傳統模式，當堂測試后分差明顯異常，采用課件模式的班級學生運算錯誤多.筆者發現課件模式下的運算演練、步驟對于學生來說就好比游客在風景如畫的勝地走馬觀花.

(3)數學素養需要的是“淡泊寧靜”，使學生在運算能力上達到致遠.

學生在課堂中的諸多行為都帶有社會的印記，信心飽滿得自負(或覺得什么事都不能做好而氣餒)，心浮氣躁，意志力脆弱，不能堅持完成作業.在做運算題的過程中，跳步驟，不打草稿，亂涂亂改，寫錯符號、數字，依賴計算器，盲目追求完成的速度，不檢查、驗算等不好的解題習慣，為日后的計算能力差落下了病根.

2.2 思考策略

2.2.1 思考

2.2.2 策略

要提高計算能力，首先要熟練掌握各種運算法則，在運算過程中，盡量不要跳步，計算要有層次，在初一時應養成寧慢不錯、一遍算對的好習慣，在初二、初三時在保證正確率的同時提高運算的速度.

當然還要多做練習.這里說的“多”是高質量的“多”，不單是數量上的“多”.多做題，多見題才能見多識廣、積累經驗、熟能生巧，堅持不懈的努力就能提高運算能力.

在具體運算中，要一看、二想、三動筆，即要仔細看明白題目的特點，認真想一想如何運算最科學有效.看清了，想好了，再動筆運算，特別是要養成速算、巧算的習慣，要注意領會教師的方法.能速算、巧算是運算能力強的突出表現.

3 操作嘗試

3.1 態度

無可否認，“態度”并不是一種提高運算能力的技巧，但是教師積極的態度是有效教學的基礎.

3.2 對時間的利用

時間是一個有價值的資源，但是僅僅通過增加時間來提高學習效率并不像它表面上所表現出來的那樣簡單，不同類型的課堂時間會以不同的方式對學習產生影響.在八年級(下)一元二次方程的解法——配方法教學課堂時間的分配如表1.

表1 配方法解一元二次方程的課堂時間分配

當從分配的時間過渡到學術性學習的時間時，時間與學習的關系就變得更加緊密了.在那些學生被吸引進來并取得成功的課堂上，學生的運算水平取得的成就很高，能體驗到勝任感和自我效能感，同時他們對主題的興趣也會有所增加.

3.3 組織

組織是一種基本的教學技能，它包含按時開始、提前準備材料、設立慣例和常規，以及能增加教學時間的其他活動.良好的組織能力可使教師盡可能多地將課堂時間用于教學.

常規對教師來說同樣重要.研究指出，任何領域的專家都擁有盡可能多的常規化的程序，這可以減少他們工作記憶的負擔.常規也帶來了秩序和平衡感，學生有對平衡的內在需要，在有序的環境中比在混亂的環境中能學到更多的知識.在數學運算的教學中，教師不能忽略常規的內在價值，為運算的好習慣打下堅實的根基.

3.4 溝通

有效的溝通可以促進師生的互動，有助于優化運算過程和運算方法的訓練.有效溝通的4個方面(確切的術語、前后關聯的談話、轉換信號、強調重點)對學習特別重要.數學課堂中不應有模糊不清的術語，在交流中使用如“可能、差不多、也許”等術語會給學生留下一種對內容不確定的感覺，這種不確定性會損害學習.關聯的談話使得教學內容連貫，順序恰當不混亂，花費的時間最小化.數學運算方法的轉換需要教師發出明顯的信號，因為并非所有學生的認知都集中于同一個地方.教師提醒學生知識點有所轉換，使他們有所調整并做好準備.強調重點是指通過言語和聲音提示以及重述來提醒學生關于某節課的重要信息.

3.5 聚焦

關注引入可以吸引學生的注意力并為一堂課提供框架，使注意力在整堂課中都能得以維持.可經常借用數軸、模型、圖形等化抽象運算為具體運算，例如用數軸來展示一元一次不等式(組)的求解，用圖形的面積來展示乘法公式及恒等式的意義.

運算過程的板演可用于保持學生在學習活動中的注意力，筆者的演示和借用工具讓學生的注意力能夠聚焦于此，同時也提供了一個參照示范模型以幫助其對抽象的原理概念化.要以高質量的例題來組建課程，這些例子不僅能提供給學生在構建理解時所需要的信息，而且也為學生提供了能維持他們注意力的感官焦點.

3.6 反饋

及時對學生的準確性和適當性給予評價，對促進學習的重要性是毋庸置疑的.反饋使得學生對其背景知識的掌握程度作出評估，同時還提供了自身知識建構的有效信息，有助于滿足學習者了解自己的進展情況的內在需要.

有效的反饋是在學生回答后立即或很快給予的.同樣，在考試時，立即反饋常常比延遲反饋更能促進對困惑的理解和難點的認識突破.當然對一部分主動深入探索的學生來說，考試的第二天再討論試題比完成考試后立即討論可能更有效，因為延遲討論可以給學生以充足的時間來闡述他們最初的思考.然而，接受反饋可以幫助他們鞏固知識或重新構建自己的理解.

3.7 提問

提問有助于提高學生的審題能力，能促進學生思維的靈活性.一個善于提問的教師能夠評估學生的背景知識，使學生能夠重新思考他們的觀點，幫助他們建立知識之間的聯系，重新抓住學生飄忽不定的注意力，促進學生的成功以及提高他們的自我價值.提問也是一種能保持一堂課的進度和推動學習勢頭的工具，是維持學生積極參與的重要因素.

有技巧性的提問是非常復雜的，但是隨著實踐、專業知識和經驗的積累，教師的確能成為此方面的專家.為了避免加重自己工作記憶的負擔，教師需要練習提問策略以達到自動化的水平，這樣就可以給課堂留出足夠的時間來監控學生的思考和評估其在學習上的進步.有效的提問應是頻繁的，是公平分配的，是可以運用提示的，允許有適當的等待時間.

3.8 復習和鞏固

在總結和歸納教學方法思想時，復習和小結能使整堂課變得更加連貫，它可以在一堂課的任一時間點上發生，盡管它在課堂的開始和結束時是最常見也是最明顯的.有效的復習強調重要的知識點并鼓勵學生對此進行精細加工.復習常常也包括更多簡單的復述，可使學生的注意力從逐字逐句的細節轉移到所學材料概念間的關聯上來.

例如，在八年級(下)一元二次方程的解法——公式法教學中，新課開始時對配方法的復習，是為了學生對于求根公式推導的理解，是作為公式法的背景知識，因此本節課開始時應認真地復習以下知識：

配方法

鞏固是進一步對學習內容總結概括和整合.當教師教一種運算時，有效的鞏固形式是讓學生能解釋運算的原理，以此原理解決另外一些習題，這樣把運算的精髓留給了學生并為后來的課程打下了良好的基礎.

4 成效與方向

4.1 成效

筆者以九年級(上)二次函數中求解析式為例展開，從課例的設計、思考來闡述筆者的實踐成效.

學生已有知識和能力：解二元一次方程組(可提升為多元)，因式分解中的十字相乘法，一元二次方程的配方法、韋達定理的運用，這些是二次函數解析式所必須的知識儲備，即決定學生應該知道什么、重視什么或能夠做什么.

需要的例子：

求下列二次函數的解析式.

(1)當 x=1 時，y=-8;當 x=-1時，y=0;當x=0時，y=-6.

(3)函數圖像頂點為(1，-8)且經過(-2，10).

(4)對稱軸是直線x=1，且函數有最小值-8，經過點(4，10).

(5)函數圖像交 x 軸于點(3，0)，(-1，0)，且經過(0，-6).

(8)函數圖像.

下面是同一個函數的4種不同表達式：

求根公式

這個過程中包含以下4步：(1)識別運算主題的構成：學生應理解的概念、原理和它們之間的關系;(2)為運算主題包含的成分排序;(3)準備能幫助學生建構對運算主題的每一成分的理解的具體實例;(4)排列例子的順序，首先呈現的是最顯而易見的例子.

二次函數解析式是刻畫2個變量x和y的對應關系，是學習函數圖像和性質的基礎，解析式決定了圖像的形狀、位置、大小、函數的單調性、最大(小)值.學習者對函數的解析式必須理解透徹，能對以下4種表達式所對應的已知條件作出合理的選擇，避免增加運算的難度.

待定系數法求解析式思維過程：先設后代，轉化為解方程(組)，再代回.學生對解決問題的思路是熟悉的，關鍵是如何作出合理的選擇.需要教師分解、整合已知條件和基本原理，并試圖找出它們之間的關系，為運算的簡捷做準備.

在組織運算教學中，黑板上的板書示范是課堂教學的重點，同樣，題目以板書的方式呈現可以避免學生的突兀和生疏，吸引和保持學生的注意力，引領規范，算理清晰.分析、思維、板書同步，保持一致性，讓學習者聚焦于運算的變換更迭中，突出易錯點，鼓勵批判性思維的發展.逆向運算、思維順暢和快速的驗算過程可保證運算的成功.

由于評估發生在學生參與學習活動之后，因此很容易認為考慮評估也是發生在學習活動實施之后.事實上，教師需要在準備目標和學習過程的同時開始考慮評估，應該集中在“如何挑選并設計評估來檢測學生究竟學到了多少知識”這個問題上.

在計劃教學活動時，筆者準備了一個包含3個方面的小測驗，如下：

(1)求二次函數的解析式.

①二次函數的圖像經過點(0，-3)，(2，-3)，(3，0).

②二次函數的圖像經過3個定點(-1，0)，(3，0)，(0，-3).

③二次函數的圖像的頂點為(1，-4)，且過點(4，5).

(2)請在函數圖像上給出一些點，并寫出與之對應的函數解析式.

(3)看二次函數的4種表達式，你能解釋它們的各自意義嗎，能進行它們之間的等量變換嗎?

評估是否有意義，應從3個方面來看：首先，評估的形式與開展學習活動是否一致，并且兩者都是在計劃課程時就思考好的，在課堂上使用詳細、具體的例子，同樣也用詳細、具體的例子來評估學生的運算能力;其次，在計劃過程中考慮評估時，應向自己提出“如何確保教學和評估、目標相一致”這樣的問題對促進學習是最基本的;第三，學生的學習環境除了是知識中心、學習者中心外，還應以評估為中心，這就意味著評估不是附加在課程后面用來作為給個分數的工具，而是整個教學過程一個有機的組成部分.

運算能力是思維能力和運算技能的結合，是解決問題的一種必備能力.筆者在課堂教學中關注運算的細節，注重通解通法及題串的設置，整理分析易錯點，合理運用數學工具，化抽象思維為形象思維，強化和突出了運算過程的常規，從學習者的角度來理解教學.學生在運算方面的正確性、合理性、靈活性和簡捷性取得了一定的成效，在各類測試中筆者任教班級學生的數學成績顯著好于其他班級.

4.2 方向

在實踐中筆者發現：學生思維靈活性的不足影響著運算能力的提升，引導學生在一題多解中快速地選擇簡單而行之有效的方法，有待于進一步的思考與探索.

［1］ 埃根，考查克.教育心理學［M］.6版.鄭日昌，譯.北京：北京大學出版社，2009.

［2］ 蔡親鵬，陳建花.數學教育學［M］.杭州：浙江大學出版社，2008.

［3］ 華應龍.我這樣教數學［M］.上海：華東師范大學出版社，2009.