釀酒葡萄與葡萄酒理化指標的聯系分析

薛凌云 劉洋洋

（河南師范大學計算機與信息工程學院 河南 新鄉 453007）

1 模型準備

1.1 主成分分析算法

主成分分析是一種通過降維技術把多個變量化為少數幾個主成分（即綜合變量）的多元統計方法，這些主成分能夠反映原始變量的大部分信息，通常表示為原始變量的線性組合[1]主成分分析的基本原理為：

假定有樣本，每個樣本共有p個特征，構成一個n×p階的數據矩陣：

當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。

記 x1，x2，…，xp為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標：

從以上的分析可以看出，主成分分析的實質就是確定原來變量xj（j=1，2，…，p）在諸主成分 zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）。從數學上可以證明，它們分別是相關矩陣m個較大的特征值所對應的特征向量。主成分分析的步驟為：

步驟一：計算相關系數矩陣：

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量 xi與 xj的相關系數，rij=rji，其計算公式為：

步驟二：計算特征值與特征向量：

分別求出對應于特征值 λi的特征向量 ei（i=1，2，…，p）i，要求‖ei‖=1，即，其中eij表示向量ei的第j個分量。

計算主成分貢獻率及累計貢獻率：

貢獻率：

累計貢獻率：

一般取累計貢獻率達85%～95%的特征值 λ1，λ2，…，λm所對應的第 1、第 2、…、第 m（m≤p）個主成分。

計算主成分載荷：

各主成分的得分：

1.2 典型相關分析算法

典型相關分析就是利用綜合變量對之間的相關關系來反映兩組指標之間的整體相關性的多元統計分析方法。它能夠揭示出兩組變量之間的內在聯系。

典型相關分析的基本思想和主成分分析非常相似。其目的是識別并量化兩組變量之間的聯系，將兩組變量相關關系的分析化為一組變量的線性組合與另一組變量線性組合之間的相關關系分析。它的基本原理是：為了從總體上把握兩組指標之間的相關關系，分別在兩組變量中提取有代表性的兩個綜合變量，利用這兩個綜合變量之間的相關關系來反映兩組指標之間的整體相關性。

首先在每組變量中找出變量的一個線性組合，使得兩組的線性組合之間具有最大的相關系數。然后選取相關系數僅次于第一對線性組合并且與第一對線性組合不相關的第二對線性組合，依次類推下去，直到兩組變量之間的相關性被提取完畢為止。被選出的線性組合配對稱為典型變量，它們的相關系數稱為典型相關系數。典型相關系數反映了這兩組變量之間聯系的強度。

設 X=[x，x，…，x]，Y＝[y，y，…，y]是兩個相互關聯的隨機向量，分別在兩組變量中選取若干有代表性的綜合變量Mi，Ni使得每一個綜合變量是原變量的線性組合。

在確保典型變量保持唯一性時，取方差為1的X、Y的線性函數a1X與b1Y，求使得它們相關系數達到最大的這一組。若存在常向量a1、b1，在a1X與b1Y的方差相等且為1情況下，使得相關系數ρ（a1X，b1Y）達到最大，則稱a1X與b1Y是X與Y的第一對典型相關變量。求出第一對典型相關變量之后，可以類似的求出各對之間互不相關的第二對典型相關變量、第三對典型相關變量……。這些典型相關變量就反映了X、Y之間的線性相關情況。我們可以通過檢驗各對典型相關變量相關系數的顯著性，來反映每一對綜合變量的代表性，如果某一對的相關程度不顯著，那么這對變量就不具有代表性，不具有代表性的變量就可以忽略。這樣就可以通過對少數典型相關變量的研究，代替原來兩組變量之間的相關關系的研究，從而容易找到問題的本質。

對于X（有p個分量）、Y(有q個分量）兩組變量，假設p≤q。則

其中 V11＝Cov（X），V12＝V21＝Cov（X，Y），V22＝Cov（Y）即將總的樣本協方差分為第一組變量X的協方差陣V11，兩組變量之間的協方差陣V12和V21以及第二組變量Y的協方差陣V22。計算p×p階矩陣和q×q階矩陣可以證明，矩陣A和B具有相同的非零特征根，且非零特征根的個數r=rank（A）=rank（B）。

根據證明，矩陣A和B的特征值還具有以下的性質：

（1）矩陣A和B有相同的非零特征值，且相等的非零特征值的數目就等于r；

（2）矩陣A和B的特征值非負；

（3）矩陣A和B的全部特征值均在0和1之間。

1.3 模型的建立與求解

數據采用采用2012年全國數學建模競賽中A題中數據，利用均值法對（附件2-理化指標）做數據處理，然后運用spass對各個樣品葡萄作主成份分析。本操作是選擇以特征根大于1為標準提取主成份，或按照累積方差的觀點，提取大于80%的值。

對紅葡萄主成份分析得到解釋的總方差和成分矩陣。分析解釋的總方差，此處以特征根大于1或按照累積方差大于80%為標準可以提取7個主成份；然后結合成份矩陣具體提取出花色苷、DPPH自由基、總酚、總糖、還原糖、可溶性固形物、干物質含量7個主成份，在建立典型相關分析模型時以這7種成份作為對紅葡萄進行分析的依據。同樣的方法，對白葡萄主成份分析得到解釋的總方差和成分矩陣。提取出蛋白質、總酚、葡萄總黃酮、總糖、還原糖、可溶性固性物、可滴定酸、固酸比、干物質含量9個主成份，在建立典型相關分析模型時以這9種成份作為對白葡萄進行分析的依據。

對于紅葡萄酒的主要成分，提取出附件2中的第一指標及附件3中其成分在各個樣品總和相對較高者，得到花色苷、單寧、總酚、酒總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、辛酸乙酯7中主要成分。

同樣的方法，對于白葡萄酒主要成分，提取出單寧、總酚、酒總黃酮、白藜蘆醇、DPPH半抑制體積、辛酸乙酯、乙醇、己酸乙酯、癸酸乙酯9中主要成分

根據以上建立的模型，運用matlab[2]對釀紅酒葡萄與紅葡萄酒所處理過的數據進行求解，采用2012年全國數學建模競賽中A題中數據，得到矩陣A和矩陣B的特征根及特征向量，由于矩陣A和矩陣B具有相等的特征根，因此可對X、Y兩組變量進行典型相關分析，由matlab求解得到7對典型相關變量及典型變量系數和典型相關系數。

第一典型變量：

u1=(1.2549 0.1938-0.2710-0.1240-0.2158 0.2880 0.0489)T

v1=(0.9215 0.3301 0.1270 0.5590 0.1631-1.0091-0.0130)T典型相關系數為：0.9426

M1=1.2549x1+0.1938x2-0.2710x3-0.1240x4-0.2158x5+0.2880x6+0.0489x7

Ni=0.9215y1+0.3301y2+0.1270y3+0.5590y4+0.1631y5-1.0091y6-0.0130y7

第二典型變量：

u2=(-0.7322 0.1994 1.3059 0.1943 0.1144-0.1514 0.0455)T

v2=(-1.0678 0.4214 0.2154 0.3990 0.0236 0.4540 0.0756)T

典型相關系數為：0.8045

M2=-0.7322x1+0.1994x2+1.3059x3+0.1943x4+0.1144x5-0.1514x6+0.0455x7

N2=-1.0678y1+0.4214y2+0.2154y3+0.3990y4+0.0236y5+0.4540y6+0.0756y7

第三典型變量：

u3=(1.1224 0.7326-0.7681 0.1793 0.8618 1.3542-1.3394)T

v3=(0.4000 1.6146-3.2073 0.3965 0.3392 0.8332-0.5788)T

典型相關系數為：0.3604

M3=1.1224x1+0.7326x2-0.7681x3+0.1793x4+0.8618x5+1.3542x6-1.3394x7

N3=0.4000y1+1.6146y2-3.2073y3+0.3965y4+0.3392y5+0.8332y6-0.5788y7

第四典型變量：

u4=(-1.2778-0.8623 0.7279-1.8645 0.0907 1.2485 0.6194)T

v4=(-0.0917-0.5126-0.3531-1.4456-1.2907 2.9930 0.5890)T

典型相關系數為：0.2547

M4=-1.2778x1-0.8623x2+0.7279x3-1.8645x4+0.0907x5+1.2485x6+0.6194x8

N4=-0.0917y1-0.5126y2-0.3531y3-1.4456y4-1.2907y5+2.9930y6+0.5890y7

第五典型變量：

u5=(-0.4807 0.0188-0.1859-0.3014-1.5842-0.2575 2.1840)T

v5=(-0.7746 2.3376 1.4723-0.3571-0.0234-2.8456 0.3208)T

典型相關系數為：0.1163

M5=-0.4807x1+0.0188x2-0.1859x3-0.3014x4-1.5842x5-0.2575x6+2.1840x7

N5=-0.7746y1+2.3376y2+1.4723y3-0.3571y4-0.0234y5-2.8456y6+0.3208y7

第六典型變量：

u6=(-0.6032-0.5175 0.2491-0.0990 0.1455-1.2639 1.6532)T

v6(-0.1013-1.2236 1.8503-2.3064-0.2305 1.8953-0.5177)T

典型相關系數為：0.0973

M6=-0.6032x1-0.5175x2+0.2491x3-0.0990x4+0.1455x5-1.2639x6+1.6532x7

N6=-0.1013y1-1.2236y2+1.8503y3-2.3064y4-0.2305y5+1.8953y6+-0.5177y7

第七典型變量：

u7=(0.8068 1.0451-0.2899-1.4571 0.4521 0.4783 0.3645)T

v7=(-0.6729-0.7583 1.7646 0.8997-0.8239-1.0083-0.3921)T

典型相關系數為：0.0185

M7=0.8068x1+1.0451x2-0.2899x3-1.4571x4+0.4521x5+0.4783x6+0.3645x7

N7=-0.6729y1-0.7583y2+1.7646y3+0.8997y4-0.8239y5-1.0083y6-0.3921y7

由典型變量表達式可得原變量上的負載荷矩陣。

表1 綜合變量M的福載荷矩陣

表2 綜合變量N的福載荷矩陣

兩組變量對的相關性如表3。

表3 紅葡萄酒與釀酒葡萄變量對的相關性

由表可知，從第一組典型變量來看，釀酒葡萄理化指標中的花色苷與葡萄酒中花色苷具有極強的相關性；從第二組典型變量來看，釀酒葡萄中DPPH自由基的含量影響到葡萄酒中單寧的含量；第三組典型變量表示的是釀酒葡萄中的總酚與葡萄酒總酚之間的關系，因為相關系數僅為0.3604，相關關系相對較弱；第四組典型變量相關系數為0.2547；第五組典型變量相關系數為0.1163；第六組典型變量相關系數為0.0973，說明可溶性物質和DPPH半抑制體積之間無明顯的相關關系；第七組典型變量相關系數為0.0185。典型相關系數逐漸減小，可以忽略后四組典型變量，主要考慮前四組變量中釀酒葡萄與葡萄酒理化指標之間的影響。

用同樣的處理過程，對白葡萄酒與釀酒葡萄的理化指標進行典型變量相關分析，得到的結果如表4所示。

表4

從第一組典型相關變量對可看出釀酒葡萄的蛋白質與葡萄酒的單寧含量有很大的相關性；第二組典型相關變量對都為總酚的含量，表明葡萄酒中總酚的含量與所選釀酒葡萄總酚的含量呈比例關系；而后四組變量對典型相關系數均小于0.1，呈現出的相關性不是十分明顯，因此可忽略其理化指標之間的影響。

2 結束語

本文將主成分分析與典型相關性分析相結合，將兩種模型運用到釀酒葡萄與葡萄酒理化指標的聯系分析中去。主成分分析可以將眾多的理化指標綜合到幾個主成分中去，而典型相關性分析則可以分析兩個樣本的相關性。兩種模型有效的結合，對于分析兩種樣本的聯系性有重要的意義。

［1］謝金星，姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2004.

［2］于義良，羅蘊玲，安建業.概率統計與spss應用[M].西安：西安交通大學出版社.