有限元方法對拱橋拱軸線優化的研究

瞿振華

(上海國康聯同橋梁咨詢有限公司，上海 200092)

1 概述

拱橋的拱軸線是設計的重要參數，直接影響到截面的內力分布和大小。在拱橋的實際設計過程中，對于懸鏈線拱拱軸的軸線系數的確定，通常采用“五點重合法”。但是由于壓力線與拱軸線的偏離，在拱頂、拱腳都產生了偏離彎矩，實際上并不存在五點重合的關系。且通過少數幾個點來逼近恒載壓力線，也容易造成拱圈在荷載作用下某些截面下壓力線與拱軸線偏差較大。

目前有限元分析軟件的進步發展及廣泛使用給橋梁設計提供了先進的工具，對拱軸線的優化設計也更加方便快捷。利用計算機的強大計算能力，可以在一定的參數范圍內反復試算，在確定的約束條件下選取最優的參數，即可以得到最合理拱軸線。

2 最優拱軸系數的擬合

2.1 最優拱軸線的擬合步驟

拱軸線與壓力線的偏離是由于受恒載、活載、溫度變化、材料的收縮徐變和地基沉降等作用，以及拱圈受荷載壓縮變形產生的。雖然拱橋的壓力線不定，但是存在兩條壓力包絡線。目前，在工程實踐中，采用懸鏈線、拋物線或高次曲線來逼近恒載加一半活載時的壓力線，是一種實用的解決方法。但是，通過計算機的優化計算方法，理論上可以將上述各種參數變量的作用均考慮在內，按照作用的分類及重要程度，求得一條與壓力包絡線偏差最小的曲線。通過有限元方法求解最優拱軸線，大致有兩種思路。其一是通過確定荷載工況，計算令拱圈壓力逼近壓力線的離散坐標，然后將這些不規則的點擬合曲線得到拱軸線形。另一種則是對荷載工況的要求不高，可以由一種確定的工況來確定，或者由幾個工況的包絡來確定，各個工況之間還可以通過加權的方式來區分重要性，然后通過反復試算來確定目標函數最小的情況。本文采用的就是第二種方法。

確定最優拱軸系數的擬合過程可分為以下幾個步驟:

1)采用恒載加活載時的壓力線確定一個初始的拱軸系數。由于恒載加一半活載時的壓力線是在實際設計過程中被認可的一個較為合理的值，而一個接近最優拱軸線的初始值可以減少迭代次數，加快迭代速度。

2)用設計變量參數化表達拱軸線方程。通過先假定的拱軸曲線類型，就可以用函數表達拱軸各個離散點的坐標，函數的參數即為設計變量。優化結果的取得是通過改變設計變量的數值來實現的。參數設置上下限作為變化范圍，設置步長作為每次改變的量的大小。

3)設置狀態變量體現優化的邊界條件。狀態變量是因變量，是設計變量參數化表達的函數。在橋梁結構設計中，狀態變量可以是位移，彎矩或者用來作為判斷結構優化與否的任何一個由參數表達的函數。狀態變量是用來控制設計的，必須定義足夠的狀態變量。若狀態變量設計的范圍過小，也會導致優化設計無法求得合理的解。

4)目標函數。它是最終優化的目的，是設計變量的函數。改變設計變量的數值將改變目標函數的數值。有限元方法就是通過改變設計變量，經過反復試算，在設計變量的變化范圍內，求解滿足狀態變量控制的目標函數，在這一系列的目標函數的解中，尋找極值。

2.2 優化方法和優化準則

優化方法可采用最小二乘法進行擬合。五點重合法求解得出的曲線作為初始曲線，通過內力與拱軸線變化函數的關系，迭代求解得出最優曲線。確定優化方法之后，還需要確定收斂準則。拱軸線的優化過程需要在一定條件下能最大限度的逼近壓力線。逼近程度好壞的標準就是優化準則。假設F為目標變量，可以是彎矩或者位移，X為設計變量，在這里是拱軸線函數表達式中的參數。Fj，Xj和Fj－1，Xj－1分別為目標函數和設計變量的第j次和第j－1次迭代結果，Fb和Xb分別是當前最優的目標函數及相應的設計變量值。如果滿足︱Fj－Fj－1︱≤τ或者︱Fj－Fb︱≤τ，τ為目標函數的允差，那么認定迭代收斂，于是迭代停止。

在拱橋設計中，最理想的目標是拱圈軸線與壓力線在任何截面上的差值τ均達到最小，避免某個截面τ過大而成為危險截面。

3 最優拱軸系數的擬合實例

某拱橋，其跨徑L=100 m，空腹式無鉸拱，矩形混凝土截面，截面大小5 m×1 m，彈性模量1.95×104MPa(見圖1)。

圖1 拱橋優化計算簡圖

為了說明的簡單，將恒載設定為均布荷載，大小為300 kN/m，汽車荷載為公路Ⅰ級，單車道，整體升降溫以及徐變等影響忽略。由參考文獻[1]可知，當外荷載為均布荷載時，即gj=gd，拱軸線接近于拋物線方程。在優化過程中，方程表達式為y=ax2+c，其中c可以用－aL2/4表示。其中參數a即為設計變量，而c則是由a表達的函數，是因變量。活載計算得出最大最小彎矩包絡，然后取最大最小彎矩的中間值與恒載彎矩進行疊加，以此彎矩進行優化。優化分析時選取了三種優化準則進行比較，分別是各截面彎矩絕對值之和、彎矩最大值和各截面彎矩的方差。另外，計算了矢跨比分別為5，6，7，8和9時的彎矩分布情況。計算得到優化準則為各截面彎矩絕對值之和最小時，矢跨比為6.47;優化準則為彎矩最大值最小時，矢跨比為6.48;優化準則為彎矩方差最小時，矢跨比為6.49。這三個優化準則得到的矢跨比非常接近，優化結果也相差不多。從圖2中可見，矢跨比從9到5的變化基本是一條U形的曲線。三種優化準則計算的結果均為最小。

圖2 各截面彎矩最大值

從圖3中可見，三種優化準則計算的結果同樣均為最小，而矢跨比從9到5的變化也基本上是一條U形的曲線。

由圖4可知，當優化條件為彎矩方差最小時，彎矩分布較其他情況時更均勻。圖5反映了優化后彎矩最大最小包絡的情況。汽車活載的集中力對拱腳彎矩影響很大，因此除了拱腳部分彎矩，其余彎矩均較為均勻。

4 結語

1)通過有限元方法可方便的求解優化問題。由于有限元計算的特性，計算中自動計入了拱肋的軸向變形，對外部作用的調整也非常方便。實例中對荷載作用進行了簡化，但若需要，也可方便地施加徐變、溫度等其他作用。

2)比較不同的優化準則，可見在拋物線線形之下，三種不同的優化準則求解得出的曲線線形相差不大。但是求解過程中迭代的次數相差較大，以求解彎矩的方差時間最長。

3)最優拱軸曲線對外荷載是敏感的。一般來說，荷載較大時，可得到矢跨比較小的曲線，反之亦然。這和拱肋內力的數值公式計算結果是一致的。

4)由于施加了實際的荷載工況，通過本方法優化計算得到的結果可直觀反映成橋階段的內力。

通過實例，可以看到有限元優化的效果十分顯著。并且有限元優化計算方法適應性廣，通過修改模型，可以適用于各種類型的拱橋，甚至于其他類型的橋梁結構，是提高工程師工作效率，得到最優結構的有效工具。

[1]顧安邦.橋梁工程[M].北京:人民交通出版社，2002.

[2]JTJ D60-2004，公路橋涵設計通用規范[S].

[3]林陽子，黃 僑，任 遠.拱橋拱軸線的優化與選型[J].公路交通科技，2007，24(3):59-63.

[4]周旻昊.常用拱軸線的設計研究[J].公路工程，2010，35(3):92-95.