一種高效的隱式間斷Galerkin方法研究

郭永恒， 楊 永， 張 強

（西北工業大學 翼型葉柵空氣動力學國防科技重點實驗室，陜西 西安710072）

0 引 言

在計算流體力學領域，為了高精度地求解非線性偏微分方程組，研究更加復雜的流動現象，間斷Galerkin方法已經引起人們越來越多的關注。特別是經過Cuckburn和Shu的長期探索，一種具有TVD性質的顯式Runge－Kutta間斷Galerkin（RKDG）格式得以逐步完善［1］，被廣泛應用于雙曲守恒律問題的數值求解，取得了大量令人滿意的結果，顯示了間斷Galerkin方法的優越性。然而，美中不足的是，隨著逼近精度的提高，RKDG格式對應的穩定性條件將越來越嚴格，時間步長受到明顯的限制，從而導致更多CPU時間的消耗。對于定常流場的計算問題，盡管可以把當地時間步長技術與RKDG格式相結合，在一定程度上加速收斂過程，但是即便如此，最大的時間步長依然受到當地穩定性條件的限制［2］。緩慢的收斂速度在很大程度上制約著RKDG方法在工程中的應用。基于以上分析，本文建立了一種隱式間斷Galerkin（Implicit Discontinuous Galerkin，IMDG）求解器，并通過對翼型亞聲速和跨聲速流場的模擬，檢驗了該求解器的計算效率。

1 間斷Galerkin方程

在二維區域D上，Euler方程可以寫成如下守恒形式

Q和F＝（F，G）T分別代表守恒型流動變量和通量向量。把D劃分成Ne個互不重疊的子區域Di，并且設解函數空間為

P（Di）是定義在Di上的多項式空間。設Di上的測試函數集合為，它符合如下條件

為了控制數值離散產生的小量誤差，使用加權殘量法［3］，在每個單元上作如下內積運算

運用Green公式，我們由方程（4）得到間斷Galerkin方程