雙邊定數截尾情形下一個兩參數有浴盆形狀失效率的壽命分布參數的Bayes估計

田 霆 劉次華 陳家清

（國立華僑大學數學科學學院1） 泉州 362021） （華中科技大學數學與統計學院2） 武漢 430074）（武漢理工大學理學院3） 武漢 430063）

0 引 言

在可靠性分析中常用的壽命分布（如Weibull分布）的失效率函數或單調增加或單調減少，這些常用的壽命分布不能很好擬合有浴盆形狀失效率的壽命試驗數據.因為產品的失效一般經歷3個階段：失效率減少階段（早期失效期），失效率幾乎是常數階段（偶然失效期）和失效率增加階段（耗損失效期），即產品的失效率函數一般有浴盆形狀.為此人們提出了一些有浴盆形狀失效率的壽命分布，Chen［1］給出了一個有浴盆形狀失效率或單調增加失效率的二參數模型，并討論了有關參數的最大似然估計和區間估計.Wu等［2］討論了由Chen提出的二參數模型的最優參數估計.本文討論了由Chen提出的一個2參數有浴盆形狀失效率的壽命分布參數的Bayes估計，這個壽命分布的分布函數為［3］

其密度函數為

設產品的壽命服從上述分布（1），現假定有n個產品進行壽命試驗，到有r個產品失效時停止試驗（即定數截尾壽命試驗），其次序失效數據為

而在實際問題的處理中由于試驗手段的原因，有部分數據未觀察到.假設前s－1個數據丟失，則此時觀察到的次序失效數據為

此即為雙邊定數截尾樣本.該種類型的截尾樣本方式在實際中有著廣泛的應用.

已有很多文獻對上述類似情況作了討論，文獻［4］利用Lindley近似方法在定數截尾情形下獲得了2參數EW分布參數和可靠性指標的Bayes估計.文獻［5］在雙邊定數截尾情形下，給出了2參數指數－威布爾分布（EW）形狀參數的Bayes估計.文獻［6］給出了負相伴樣本情形下線性指數分布參數的漸近最優的經驗Bayes估計.本文參考上述文獻討論了在雙邊定數截尾情形下一個2參數有浴盆形狀失效率的壽命分布參數在平方損失下基于無信息先驗下和共軛先驗信息下的Bayes估計.

1 極大似然估計

對于雙邊定數截尾樣本（4），假定參數β已知，當產品來自分布（1），則此樣本的似然函數為：（記＝（xs，xs＋1，…，xr－1，xr））

由式（6）即可得參數θ的極大似然估計，記為：＾θML.

2 Bayes估計

在對分布參數作Bayes分析時，大都選取無信息先驗（均勻分布）作為未知參數的先驗分布，這在一定程度上使得估計的結果會有較大的偏差.而在實際應用中，通過多次實驗，根據專家經驗和歷史信息，可以獲得關于未知參數的部分先驗信息，從而選取合適的先驗分布.

1）無信息先驗下參數θ的Bayes估計 參數β給定時，用無信息先驗均分布作為θ的先驗分布，即

由式（5）和（7），可得θ的后驗分布為

在平方損失下，參數θ的Bayes估計為

記作：＾θBs.

2）共軛先驗信息先驗下參數θ的Bayes估計 參數β給定時，可用共軛先驗信息Γ（γ，δ）作為θ的先驗分布［7］，即

式中：超參數γ，δ可由歷史專家或專家經驗給出.則由式（5）和（10），可得θ的后驗分布為

仿式（9）的方法，得

則在平方損失下，參數θ的Bayes估計為

3 Monte－Carlo模擬及結論

當此分布參數β已知（假定β＝0.2），參數θ的真值取為θ＝0.6，為了比較參數θ的極大似然估計＾θML，和在平方損失下基于無信息先驗下和共軛先驗信息下（超參數γ＝3，δ＝3）的Bayes估計＾θBs和.為此本文作了大量的Monte－Carlo模擬實驗，其部分模擬結果見表1.

表1 部分模擬結果

由表1可見，當樣本n較大時，r愈大，s愈小，即丟失數據的數目愈小，Γ先驗的Bayes估計與極大似然估計差不多，更接近于真值，都比無先驗的Bayes估計要好.故應盡量避免數據丟失，而且還要充分利用歷史信息，獲得關于未知參數的部分先驗信息，從而對分布的參數作更好的估計.

［1］CHEN Z.A new two－parameter lifetime distribution with bathtub shape or increasing failure function［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，49：155－161.

［2］WU J W，WU C C，TSAI M H.Optimal parameter estimation of the two－parameter bathtubshaped lifetime distribution based on a type－II right censored sample［J］.Applied Mathematics and Computation，2005，17：807－819.

［3］王炳興.一個兩參數有浴盆形狀失效率的壽命分布的參數估計［J］.高校應用數學學報，2008，23（4）：408－414.

［4］FERNSNDEZ A J.Bayesian from type II doubly censored Rayleigh data［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，48：393－399.

［5］馮 艷，師義民，周巧娟.雙邊定數截尾情形下指數－威布爾分布參數的Bayes估計［J］.系統工程，2006，9（24）：117－120.

［6］陳家清，彭紅偉，董 銳.負相伴樣本情形下線性指數分布參數的漸近最優的經驗Bayes估計［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2011，35（2）：387－391.

［7］茆詩松.貝葉斯統計［M］.北京：中國統計出版社，1999.