交直流并聯輸電系統的非線性分岔分析

楊 秀，王瑞霄，舒海蓮

（1.上海電力學院電力與自動化工程學院，上海 200090；2.南京南瑞繼保電氣有限公司，南京 211106）

電壓穩定作為非線性動力系統穩定性一方面，具有很強的非線性特征，傳統的線性分析方法無法準確計及系統的非線性特性［1］。分岔理論能夠精確描述非線性系統失穩的動態過程，深刻揭示系統失穩的機理，并且是對于電壓靜態、動態穩定普遍適用的數學方法。目前該理論在電力系統的電壓穩定研究中起著重要的作用［2］，并擴展到風電接入系統的非線性特性分析［3］。

分岔包含靜態和動態兩個方面。靜態分岔指平衡點的數目和穩定性隨參數變化而發生的變化，分析時忽略系統元件與調節器的動態作用，系統方程用代數方程式描述。與電壓崩潰相關的主要靜分岔類型是傳統的鞍結點分岔［4］SNB（saddle node bifurcation）和新型的極限誘導分岔［2］LIB（limit induced bifurcation），另一方面，電力系統中的諸多動態因素，如發電機及其控制系統，有載分接開關OLTC（on－load tap changer）動態，負荷的動態特性等都對電壓穩定起著重要的作用，這就涉及到動態分岔，其中Hopf分岔是動態分岔的基本形式［5］。大量的研究表明，系統在失穩前可能會經歷Hopf分岔、環面折疊分岔和倍周期分岔等［5～7］，有的分岔會直接導致失穩，有的則導致靜態性能惡化。目前普遍認為Hopf分岔導致電壓周期振蕩，倍周期分岔的相繼發生產生混沌。此外，Maszalek與王慶紅等［8，9］探討了電力系統微分代數方程的微分奇異誘導分岔SIB（singularity－induced bifurcations）的現象，SIB是當平衡點位于微分代數模型代數子系統的奇異流形上時出現，其與電壓穩定的關系目前還有待進一步研究。余貽鑫等［10］學者對電力系統由分岔導致混沌的途徑及由不同分岔類型與混沌界面所構成電力系統小擾動穩定域進行了深入研究。

與交流輸電系統相比，當電網增加直流輸電環節后，由于HVDC控制系統及HVDC輸電線路的動態特性，以及交直流接口方程的非線性，整個系統將具有更多、更復雜的動態環節與非線性環節。但與交流系統電壓分岔研究中取得的成果相比，應用分岔理論對HVDC系統或交直流輸電系統進行電壓穩定方面的研究很少，且缺乏深度。

Carnizares等［11，12］將崩潰點法與延拓法結合，用潮流雅可比矩陣的奇異代替系統的非線性微分代數方程的雅可比矩陣的奇異來計算交直流電力系統的鞍結點，但所采用的方法只是分析靜態分岔，缺乏動態分岔的研究。Aik等［13］應用分岔理論對HVDC系統的非線性特性進行了初步分析，考慮了HVDC線路與HVDC控制系統的動態特性，但系統模型進行了許多簡化，并且只是計算了具體的分岔點，也沒有深入研究這些分岔是否導致電壓失穩，以及導致失穩的途徑。所采用的系統模型比較簡單，沒有考慮發電機與負荷模型的動態特性。

1 AC／DC系統的分岔建模

本文采用的系統結構為兩機3節點系統，系統模型典型兩機3節點模型，如圖1所示，為一個交直流輸電系統模型。

發電機采用最簡單的二階模型，即假定發電機暫態電勢恒定，忽略勵磁繞組的動態過程。負荷采用Walve模型，Walve模型是一種能夠描述擾動下感應電動機動態行為的綜合負荷模型，包含商業居民與工業兩種負荷類型，商業與居民采用恒功率負荷模型，工業負荷包括靜態與動態兩部分，靜態部分采用ZIP模型，動態部分則是負荷所在母線電壓與相角的導數的函數，具體形式為

式中，P1、Q1代表恒功率負荷模型。

圖1 交直流輸電系統模型Fig.1 Model of AC／DC system

在直流系統運行中，通過控制整流側和逆變側的可控硅元件觸發角可達到控制直流系統電壓和電流（或輸送功率）的目的。一般地在正常運行時，整流側作定電流或定功率控制，并由逆變側作定熄弧角δd或定電壓控制。在本系統中整流側采用定電流控制，逆變側采用定熄弧角控制，系統的狀態方程為

相應的交直流接口方程（均以標幺值表示）為

將式（2）與式（3）相結合，可以最終得系統模型為

此時系統的狀態變量x＝ ［δm，ω，δ，U，Id，α］，分別代表發電機功角、轉速、負荷節點電壓相角、負荷節點電壓幅值、直流電流、整流器觸發角等。λ為分岔參數。發電機與交流系統部分的參數見文獻［2］，直流部分參數如下：Ld＝0.75p.u.；Rd＝0.01p.u.；X′C＝ X″C＝0.1p.u.；Td＝0.05s；Kd＝1.0；Idref＝ 1.0p.u.；n′ ＝ 1.0p.u.；n″ ＝1.0p.u.；γ＝18°。

分析工具采用非線性分析軟件AUTO2000，該工具的算法為延拓法，在計算分岔點時也采用直接法。

2 系統負荷與電源的非線性分岔特性分析

2.1 系統負荷的非線性分岔分析

取Pm＝2.0p.u.、Idref＝1.0p.u.，保持其他參數不變，以Q1為分岔參數進行單參數分岔分析，見圖2。圖中縱坐標為負荷點電壓。從圖2中可以看到系統的平衡點曲線經歷了3個分岔點：HB1、HB2和SNB3。HB1之前是穩定，HB1之后是不穩定的，HB2和SNB3之間有短暫的穩定，SNB3之后是不穩定的。HB1是亞臨界Hopf分岔，HB2是超臨界Hopf分岔。圖3是圖2的局部放大，追蹤HB2得到的極限環曲線在PDB4處失去穩定，之后PDB5和CFB6之間是穩定的，CFB7和PDB8之間是穩定的，極限環曲線把HB1和HB2連接起來，并在其間振蕩。HB1是亞臨界Hopf分岔，所以其周期解是不穩定的，HB2是超臨界Hopf分岔，所以其周期解是穩定的。分岔點的數值如表1所示。

圖2 分岔參數為Q1時交直流輸電系統的分岔曲線Fig.2 Bifurcation curve of AC／DC system withλ＝Q1

保持Pm＝20p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他參數恒定不變。以P1和Q1為參數，進行雙參數分岔分析。計算得到的上述二維參數鞍結點和Hopf分岔邊界如圖4所示。其中，實線為Hopf分岔，虛線為鞍結點分岔。圖中坐標軸左下角為系統小擾動穩定域，其邊界由橫縱坐標和鞍結點分岔曲線構成，在該區域內存在一個Hopf分岔區域，由一個轉折的小弧線構成。由局部分岔理論可知，系統在發生鞍結點分岔之后將發生崩潰；Hopf分岔分岔和系統的振蕩現象相關聯。在本例中若運行在Hopf分岔區域，則系統將出現周期振蕩現象。從圖中可以看到，當P1從0變化時，系統在一定范圍（P1∶0～1.04p.u.∶Q1∶10.88～11.42p.u.）會經歷2個Hopf分岔，然后才遇到鞍結點分岔，這與之前的單參數分岔分析是一致的。隨著P1的增加，系統的2個Hopf分岔點慢慢接近到重合。如果有功負荷進一步增加，系統不會出現Hopf分岔點。

圖3 分岔參數為Q1時交直流輸電系統極限環曲線的局部放大圖Fig.3 Local enlarged bifurcation plot of of AC／DC system withλ＝Q1

圖4 參數為Q1和P1的雙參數分岔邊界圖Fig.4 Bifurcation boundary diagram with Q1 and P1as bifurcation parameters

表1 含直流線路分岔參數為Q1時分岔點數值Tab.1 Bifurcation point values of AC／DC system withλ＝Q1

2.2 電源點原動機功率的非線性分岔分析

為了考察原動機功率Pm對系統電壓穩定的影響，圖5從左到右分別給出了Pm取2.0p.u.、1.9p.u.、1.8p.u.時負荷節點電壓 隨負荷端無功Q1變化而發生的分岔情況。圖中的實線和虛線分別表示系統處于穩定和不穩定平衡點，每條曲線從左到右依次發生 HB1、HB2、SNB3，從圖中可以看到原動機輸出功率Pm對系統電壓穩定影響顯著，考慮到系統運行中負荷對電壓穩定的影響，為了更加深入全面了解原動機功率變化時系統的電壓穩定性，在此以Pm與Q1為分岔參數進行雙參數分岔分析。

圖5 不同Pm下的分岔曲線Fig.5 Bifurcation curves with different Pm

保持P1＝0p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他參數恒定不變。雙參數分岔邊界如圖6所示。圖中由鞍結點分岔曲線和坐標軸圍成的區域是系統可能運行的狀態。從圖中可以看到，在Pm取值較低（0～1.72p.u.）時，系統只發生鞍結點分岔，即單調失穩，隨著Pm的取值增加，鞍結點分岔對應Q1值略有增加，這說明在Pm取值相對較小的時候，增加Pm可以提高系統無功功率傳輸極限。隨著Pm進一步的增加，系統因為發生Hopf分岔而振蕩失穩。隨著Pm數值的增加，Hopf分岔點的數目由1個變為2個 （Pm∶1.68～4.05p.u.），之后又變為1個（Pm∶＞4.05p.u.）。圖2和圖3所示為當Pm＝2.0p.u.時的分岔曲線，從圖3可以看出，圖中2個Hopf分岔和1個鞍結點分岔與圖6雙參數分岔邊界圖相一致（對應的Q1一致）。隨著Pm的增加，系統發生的Hopf分岔時的Q1不斷減小，這說明當系統已經接近穩定極限的情況下，增加Pm只能使系統無功功率傳輸極限降低，使系統失穩。這也是雙參數分岔能夠更加精確分析系統分岔的優點。

圖6 參數為Q1和Pm的雙參數分岔邊界圖Fig.6 Bifurcation boundary diagram with Q1 and Pmas bifurcation parameters

3 HVDC控制系統對電壓穩定性的影響

3.1 直流電流參考值Idref對電壓穩定的影響

為了考察直流電流參考值Idref對系統電壓穩定的影響，圖7從左到右分別給出了Idref取0.9p.u.、1.0p.u.、1.1p.u.時負荷節點電壓U 隨負荷端無功Q1變化而發生的分岔情況。圖中的實線和虛線分別表示系統處于穩定和不穩定平衡點，每條曲線從左到右依次發生 HB1、HB2、SNB3，從圖中可以看到直流電流參考值Idref對系統電壓穩定影響顯著，為了清楚地了解Idref對電壓穩定的影響，進行雙參數分岔分析。

圖7 不同Idref下的分岔曲線Fig.7 Bifurcation curves with different Idref

保持P1＝0.0p.u.、Pm＝2.0p.u.，其他參數恒定不變。以Ldref和Q1為參數，進行雙參數分岔分析。雙參數分岔邊界如圖8所示。從圖中可以看到，當Idref取值較小時，系統遇到2個Hopf分岔點和1個鞍結點分岔，系統因為先發生Hopf分岔而振蕩失穩。隨著Idref的增加，第一個Hopf分岔點的數值不斷增大，說明系統的無功功率傳輸極限變大。隨著Idref的繼續增大，Hopf分岔點的數目由2個變為1個之后變為0個，此時系統因為發生鞍結點分岔而失穩。Idref的大小和直流線路上傳輸的功率有密切的關系；Idref小則直流線路上傳輸的功率小，相對的交流線路上傳輸的功率大；Idref大則直流線路上傳輸的功率大，而交流線路上傳輸的功率大。從上面分析可以看出，直流線路上傳輸的功率占的比重越大越有利于系統的穩定。

圖8 參數為Q1和Idref的雙參數分岔邊界圖Fig.8 Bifurcation boundary diagram with Q1 and Idrefas bifurcation parameters

3.2 HVDC控制系統增益對電壓穩定性的影響

為了考察直流電流增益Kd對系統電壓穩定的影響，圖9從左到右分別給出了Kd取1.5、1.0、0.5時負荷節點電壓U隨負荷端無功Q1變化而發生的分岔情況。圖中的實線和虛線分別表示系統處于穩定和不穩定平衡點，每條曲線從左到右依次發生HB1、HB2、SNB3，從圖中可以看到直流電流增益Kd對系統電壓穩定影響顯著，為了清楚了解Kd對電壓穩定的影響，進行雙參數分岔分析。

圖9 不同Kd下的分岔曲線Fig.9 Bifurcation curves with different Kd

保持P1＝0p.u.、Pm＝2.0p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他參數恒定不變。以Kd和Q1為參數進行雙參數分岔分析。雙參數分岔邊界如圖10所示。從圖中可以看出，當Kd取值較小時，系統只發生鞍結點分岔，隨著Kd的不斷增加，系統發生Hopf分岔，并且Hopf分岔點的數值不斷減小，說明隨著Kd的增加系統容易失去穩定，實際設計中應仔細調節Kd，防止Kd過大失去穩定性。

3.3 HVDC不同控制方式對電壓穩定性的影響

以上研究當中HVDC系統都是整流側均采用定電流控制方式，實際HVDC系統廣泛采用定功率控制，在本節，通過對定功率控制下的AC／DC系統進行分岔分析，對HVDC不同控制方式對電壓穩定的影響進行分析，由于定功率控制本身也是通過定電流控制實現，分析中定功率控制傳遞函數、控制參數選取與定電流控制參數相同，定功率控制基本結構見文獻［13］。

圖10 參數為Q1和Kd的雙參數分岔邊界圖Fig.10 Bifurcation boundary diagram with Q1and Kdas bifurcation parameters

從圖11和圖12可以看出，相比定電流控制，當HVDC采用功率控制時其負荷穩定極限有了明顯增大，因此HVDC采用定功率控制時系統穩定性得到了改善，其穩定裕度有明顯提高。

圖11 不同控制方式下的P－U曲線Fig.11 P－Ucurves with different HVDC control modes

圖12 不同控制方式下的Q－U曲線Fig.12 Q－Ucurves with different HVDC control modes

4 結語

本文對一個交直流并聯電力系統，以負荷端有功功率、無功功率，原動機功率、HVDC控制參數得等作為分岔參數，進行了單參數和雙參數分岔分析。研究表明，整個交直流并聯輸電系統將經歷1個亞臨界Hopf分岔，1個超臨界Hopf分岔和1個鞍結點分岔，并在此基礎上出現更為復雜的分岔現象，直流輸電系統的控制方式、控制方式及傳輸功率對系統電壓穩定性有顯著影響。

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