一種新的諧波檢測算法及其對比研究

閆朝陽，朱桂萍

(清華大學電力系統國家重點實驗室，北京 100084)

近幾年有源濾波器在電網中得到了廣泛的應用，與之相關的諧波檢測算法也獲得很大發展。目前諧波檢測算法主要分為頻域和時域兩大類，頻域算法以FFT理論為代表，時域算法以Fryze理論和瞬時無功功率理論為代表。1983年赤木泰文［1］為瞬時無功理論定義了基波瞬時有功和無功功率，但只適用于三相三線制電壓不畸變的情況下檢測諧波和無功電流，1999年赤木泰文改進了瞬時無功功率［2］理論，使之適用于三相四線制。本文在參考前人工作的基礎上，對瞬時無功功率理論給出了詳細的數學解釋;并與“信號與系統”課程中介紹的傳統的FFT算法進行了對比研究，闡明了這兩種算法本質上的一致性，兩種諧波檢測算法中各自采用的低通濾波器LPF和積分器環節是二者實時性能差異的根源。本文最后提出了一種采用LPF的FFT改進算法。

1 瞬時無功功率理論的數學本質

1.1 傳統pq算法簡介

設三相電壓分別為 ea、eb、ec，三相電流分別為ia、ib、ic，通過坐標變換將 abc坐標系變換為 αβ 坐標系，變換如下:

abc坐標系的三相電壓、電流變換為αβ坐標系后，分別為 eα、eβ和 iα、iβ。將瞬時功率定義成

整理成矩陣形式為

通過計算可以證明，在電網電壓無畸變(沒有諧波，沒有負序和零序分量)的情況下，瞬時有功功率P和瞬時無功功率直流分量由正序基波電流產生，交流分量由諧波和負序基波電流產生。通過低通濾波器LPF將交流分量濾除，得到直流分量之和，再對其進行反變換，就可以得到正序基波三相電流的參考信號iaf、ibf和ief。其表達式為

負荷電流減去正序基波電流信號，就可以得到包含負序基波和所有諧波的APF參考信號。這就是瞬時無功功率理論的pq算法，圖1是正序基波電流信號提取流程圖。

圖1 瞬時無功功率理論正序基波提取流程

1.2 三維時變向量空間正交變換和反變換［2］

上述pq算法中Cpq變換及其逆變換是瞬時無功功率理論檢測諧波算法的核心，故忽略C32變換及其反變換，直接分析圖2所示的過程。

圖2 αβ相瞬時無功功率理論正序基波提取

假設電網電壓無畸變，電網電流為

C32變換后的電壓為

C32變換后的電流為

由圖2所示流程提取到的αβ兩相正序基波電流為

利用C32變換后得到的αβ兩相電壓構造一組正交坐標基，令

其中，e2=+為常量。pq 算法中 e2=1，因此Cpq就是正交投影的矩陣形式。經過低通濾波器LPF得到pe和qe的直流分量和，即

Cpq逆變換對應向量合成，計算結果與式(4)相同，說明基于瞬時無功功率理論提取基波電流的過程其實就是對三相/二相變換后的電流進行正交變換和反變換的過程，選用的正交向量坐標基為式(5)所示的和。

選取另一組正交向量坐標基，令

該計算結果與式(4)、式(7)相同，因此可以得到以下結論:忽略C32變換及其逆變換，在αβ兩相下是一個二維時變向量空間正交變換和反變換的過程。C32變換及其逆變換是abc三相和αβ兩相的變換過程，因此瞬時無功功率理論在abc三相下是一個三維時變向量空間正交變換和反變換的過程。這和FFT算法具有相同的數學本質。此外，尚需注意如下問題。

(1)若正交向量坐標基是完備的，選取不同正交向量坐標基，瞬時無功功率理論可以提取任意次、任意序的有功或無功電流［3］;

(2)電網電壓畸變與否及電流序分量檢測和電網電壓相位沒有關系，檢測諧波要對電網電壓鎖相;檢測有功、無功電流才需要對電網電壓鎖相;

(3)C32變換及其逆變換是沒有必要的，選取三維正交向量坐標基，瞬時無功功率理論可以直接在abc三相下使用。

假設電網電壓有畸變，首先對電網電壓進行正交變換和反變換，得到正序基波電網電壓;其次可以直接采用pq算法提取正序基波電流，也可以通過鎖相環得到其相位，采用ipiq算法提取正序基波電流，解決了電網電壓畸變時鎖相困難的問題。

值得一提的是，通過圖1所示流程得到的補償指令電流，在電網電壓無畸變時，只包含負序、零序無功基波電流和諧波無功電流;電網電壓畸變時，還可能包含負序、零序有功基波電流和諧波有功電流，此時APF直流側需要使用儲能單元才可以濾除這部分有功電流。電網電壓畸變時，可以定義瞬時功率(瞬時ui乘積)的直流分量之和為有功功率，但瞬時功率交流分量中包含不同頻率，無功功率是否可以定義為各頻率交流分量均方根還值得探討［4］。此外，不同頻率電壓、電流乘積得到的瞬時功率交流分量的物理意義還不明了。

2 FFT 算法［5］

任意周期非正弦信號可以表示為

其基波分量為A1cosωt+B1sin(ωt)。其中

積分運算是函數向量空間中的正交投影，同時還起到保留直流分量、取出交流分量的作用。因此將FFT算法提取基波的過程分解為與瞬時無功功率理論相似的運算步驟。

(1)將 f(t)分別與 cosωt和 sinωt相乘，這對應式(6)中的點乘運算，結果中包含直流分量和交流分量:

(2)進行積分(離散信號則為求和)運算(對應上文的低通濾波)，交流分量變為零，得到的直流分量為

(3)由A1、B1合成f(t)的基波分量:

對二相信號，不考慮序分量時，可以看成兩個單相信號，分別檢測諧波。圖3是FFT算法下對iα、iβ分別提取基波的計算流程圖。

圖3 FFT算法基波提取流程圖

由 Aα、Aβ和 Bα、Bβ與 cosωt和 sinωt合成基波分量。如果三相電流中不包含負序基波電流，則FFT算法得到的iα和iβ基波分量為

它與式(4)、式(7)及式(9)計算結果相同。如果三相電流中包含負序基波電流，則iα和iβ基波分量為

進一步將正序、負序分量分辨出來，需要αβ平面上的正序基波正交向量函數坐標基和負序基波正交向量函數坐標基，分別如下:

3 兩種算法的對比

3.1 LPF 和積分器

根據上文的分析，對比圖2和圖3可知，基于瞬時無功功率理論和基于FFT算法提取諧波的過程主要區別有兩點:

(1)向量空間不同，選取的坐標基或變換矩陣不同。瞬時無功功率理論建立在三維或者二維時變向量空間，選取的正交旋轉向量坐標基，FFT算法建立在一維或多維函數向量空間，選取的是正交函數向量坐標基;

(2)瞬時無功功率理論中的低通濾波環節代替了FFT算法中的積分環節，實時性得到質的改變。積分環節與低通濾波環節本質上是一致的［6］，當積分環節的時間常數足夠大時，就可以近似看成低通濾波器。但二者在實時性能上卻有很大差別，積分需要至少一個周期的數據才可以準確提取出其中的諧波分量，而低通濾波卻可以實時提取出信號中的諧波分量。這就是基于瞬時無功功率理論提取諧波比基于FFT算法提取諧波實時性好的本質所在。

3.2 采用LPF的FFT算法

根據上文的分析，用低通濾波器取代FFT算法中的積分環節，以改善FFT算法實時性能。令

改進后的FFT算法流程如圖4所示。該算法可以得到和瞬時無功功率理論相同的結論，變換計算相對比較簡單;而與傳統的FFT算法相比，實時性有顯著提高，選取不同正交基提取不同性質的基波電流。

圖4 FFT改進算法的基波電流提取流程

4 對比仿真驗證

4.1 三相穩態不平衡負荷的對比仿真

基于Matlab仿真軟件，分別對圖1所示的瞬時無功功率pq算法，圖2所示選取 sinωt和cosωt為正交函數坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT算法一)和圖2所示選取式(10)所示正交向量函數坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT算法二)進行仿真對比分析。負荷選取三相穩態不平衡負荷。

負荷為三項不平衡阻感負荷并聯整流器，負荷電流如圖5所示，其中ia、ib、ic和 in分別表示A、B、C三相負載線電流和中線電流。

圖5 三相穩態不平衡負荷電流

三種諧波提取算法提取的基波電流分別如圖6所示，其中 ifa、ifb、ifc分別表示提取出的 A、B、C 三相負載線電流的基波成分。

圖6 三種算法提取的正常基波電流

從上面的結果我們可以看到FFT算法提取的電流中包含有正序和負序基波分量，沒有諧波分量;而FFT改進算法提取出來的電流中只包含正序基波分量，和pq算法結果一致。

4.2 三相動態負荷的對比仿真

基于Matlab仿真軟件，分別對圖1所示的瞬時無功功率pq算法，FFT算法二及圖4所示選取式(10)所示正交向量函數坐標基的FFT算法(以下簡稱FFT新算法二)進行仿真對比分析。負荷采用受控電流源來模擬電弧爐負荷，三相電弧爐及中線電流如圖7 所示，其中 ia、ib、ic分別表示 A、B、C 三相負載線電流。

圖7 三相動態負荷電流

三種算法提取的基波電流分別如圖8所示，其中 ifa、ifb、ifc分別表示提取出的 A、B、C 三相負載線電流的基波成分。

圖8 三種算法提取的正序基波電流

從仿真結果可以看出，FFT算法提取的電流只包含正序基波分量，但實時性較差;FFT改進算法提取出來的電流中只包含正序基波分量，實時性和pq算法相差無幾。

5 結語

本文對瞬時無功功率理論進行了詳細的數學解釋，證明了基于瞬時無功功率理論提取基波的過程本質上是對三相電流進行正交變換和反變換的過程，這與FFT算法具有相同的數學本質;另一方面本文詳細闡釋了瞬時無功功率理論和FFT算法二者在實時性方面的差異—低通濾波器和積分器，給出了仿真驗證實驗;最后通過使用低通濾波器代替積分器改進傳統的FFT算法，其實時性和pq算法相差無幾。

［1］ Akagi Hirofumi，Kanazawa Yoshihira，Nabae，Akira.Instantaneous reactive power compensators comprising switching devices without energy storage components［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，1984，20(3):625-630

［2］ Akagi，H，Ogasawara，S.Hyosung Kim The theory of instantaneous power in three-phase four-wire systems:a comprehensive approach［C］.Industry Applications Conference，1999，(1):431-439

［3］ 姜齊榮，趙東元，陳建業.電力有源濾波器［M］.北京:科學出版社，2005:45-60

［4］ 羅歡.基于Fryze功率定義的有功電流檢測與實現［D］.武漢:武漢大學

［5］ 劉衛東.信號與系統分析基礎［M］.北京:清華大學出版社，2008:53-64

［6］ 朱桂萍，于歆杰，陸文娟.一階RC電路時域分析和頻域分析的對比［J］.南京:電氣電子教學學報，2007，(03):29-34