傅里葉級數的起源、發展與啟示

鄧新蒲，吳 京

(國防科技大學電子科學與工程學院，湖南長沙 410073)

在無法進行理論證明時，采用直觀推斷的研究方法在早期的科學研究中已被廣泛采用［1］。由此帶來了許多重要的發現，傅里葉級數就是其中之一。

傅里葉(H.Fourier，1768-1830)在研究熱傳導方程時繼承了前人研究天文理論和弦振動方程的方法，直觀地斷定每一個周期函數都可表示為三角級數，但他并沒有給出一個函數可以展開為三角級數的條件，也沒有給出嚴格的證明。盡管如此，傅里葉將Euler(歐拉，1707-1783)等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展為內容豐富的一般理論，從而開創了數學物理學一個時代。

1 傅里葉級數的起源

1753年，D.Bernoulli(伯努利，1700-1782)提出了采用三角級數解弦振動方程的方法［2］。1759年，Lagrange(拉格朗日，1736-1813)在給 d'Alembert(達朗貝爾，1717-1783)的信中稱x2/3可表示為三角級數［3］。1777 年，Euler在研究天文問題時得到［3］

并應用了關系式:

(1)除了因缺少正弦項而只能表示周期為l的偶函數，Euler得到的三角級數與今天我們使用的傅里葉級數已經沒有區別。

(2)Euler推出級數系數的方法運用了三角函數的正交性，這正是現在“信號與系統”課程在推導傅里葉系數公式時所采用的方法。

盡管Euler已經得到了類似傅里葉級數的表達式，他所采用的推導級數系數的方法我們今天仍在使用。然而，他與Lagrange及d'Alembert卻始終堅持這樣的觀點:并非是任意的周期函數都可以表示為三角級數。

十九世紀，傅里葉邁出了重要的一步。傅里葉像他同時代的科學家一樣，也從事熱傳導的研究。他在解如下偏微分方程:

時得到，初始條件 T(x，0)=f(x)必須有［3］

于是，傅里葉面臨這樣的問題:f(x)能表示成三角級數嗎?特別是bk能確定嗎?

不妨取l=π，上式簡化為

傅里葉把等式左邊f(x)和右邊的sin kx展開為冪級數，經過并不嚴格的推導得到

然而，這個結論卻不為當時大多數科學家接受，傅里葉仍堅信自己的結論。隨后他得到了更精確的結論，即對于任意周期函數，在周期區間(-π，π)上都可以表示為

傅里葉從沒有給出“任意”函數可以這樣表示的一個完全的證明，也沒有說出一個函數可以展開為三角級數所必須滿足的條件，但他對此是堅信的。1807年，傅里葉提交的論文被巴黎科學院拒絕了，論文評委之一的Lagrange堅決否認任意周期函數都可以展開為三角級數，并批評了該論文缺乏嚴密性。事實上，傅里葉始終沒有能在他的論文中對傅里葉級數理論做出嚴格的證明。經過15年的抗爭，直到Lagrange離世9年后的1822年，他終于出版了專著《熱的解析理論》，直到此時人們才勉強地承認了他的思想。

我們可以列出傅里葉在方法上存在的缺陷。比如傅里葉在求級數系數時采用的方法不夠嚴密，并且比Euler所采用的運用三角函數正交性質的方法要復雜得多。盡管存在一些缺陷，傅里葉得到了正確的結論。傅里葉的結論展示了強大的生命力，對數學的發展也產生了深遠的影響，這是傅里葉本人及其同時代人都難以預料到的，而且這種影響至今還在發展之中。

(1)傅里葉級數促進了偏微分方程理論的發展，成功地解決了關于弦振動問題的解的爭論;

(2)傅里葉級數促進了函數概念的發展，傅里葉級數理論的先驅者們認為函數必須由一個解析表達式表示;

(3)傅里葉級數標志著人們從解析函數或可展成Taylor(泰勒，1685-1731)級數的函數中解放出來。Taylor級數僅在函數的解析點附近表示該函數，而傅里葉級數在一整段上表示一個函數。

2 傅里葉級數的嚴密化

隨著數學思想的進步，傅里葉的成就在后來贏得了廣泛的贊許。但嚴格地講并不是任意周期函數的傅里葉級數都收斂。關于收斂條件和收斂證明問題的研究，后繼者 Cauchy(柯西，1789-1857)和Poisson(泊松，1781-1840)的努力沒有結果，代表性的成果是 Dirichlet(狄利克雷，1805-1859)和 Riemann(黎曼，1826-1866)做出的［4］。

2.1 Dirichlet條件

Dirichlet在1822年至1825年間在巴黎幾次會見傅里葉之后，對傅里葉級數產生了興趣。1829年他在論文《關于三角級數的收斂性》中給定并證明了:當f(x)滿足下列條件時其傅里葉級數是收斂的，這就是Dirichlet條件:

(1)f(x)是單值有界的;

(2)f(x)是分段連續的，即在一個周期內只有有限多個間斷點;

(3)f(x)是分段單調的，即在一個周期內只有有限多個極值點。

今天的教科書中，條件(1)已放寬為絕對可積［5，6］，使得工程上所遇到的絕大多數函數都滿足Dirichlet條件。條件(2)和(3)排除了無窮間斷點和無窮振蕩的情形。

Dirichlet邁開了傅里葉級數嚴密化的堅實的第一步，以致Riemann尊稱他為傅里葉級數理論的真正奠基者。關于傅里葉級數收斂性的研究持續到今天有很多結果，但Dirichlet條件在今天“信號與系統”教科書中使用最為廣泛。

2.2 Riemann 引理

Riemann曾在Dirichlet指導下研究傅里葉級數。1854年他在論文《用三角級數表示函數》中證明了:如果 f(x)在周期［-π，π］上有界可積，則有

這就是Riemann引理。進一步將定理有界可積條件放寬為 Lebesgue絕對可積(H.Lebesgue，勒貝格，1875－1941)，該定理稱為 Riemann-Lebesgue引理。Riemann同時還證明了f(x)在一點的收斂特性只依賴于 f(x)在該點鄰域中的特性［4，7］。

Riemann-Lebesgue引理是證明傅里葉級數收斂性的重要工具［7，8］。1880 年 U.Dini(迪尼，1845-1918)給出了另一個傅里葉級數收斂的充分條件:滿足 Lipschitz條件(R.Lipschitz，科普希茨，1932-1903)的函數f(x)其傅里葉級數收斂。對該定理的證明就采用了Riemann-Lebesgue引理［8］。

2.3 Gibbs現象與一致收斂

1881年 Jordan條件(約當，C.Jordan，1838-1922)給出了又一個Fourier級數收斂的充分條件:有界變差函數f(x)的Fourier級數收斂于［f(x+0)+f(x－0)］/2。

1898 年，J.Gibbs(吉布斯，1839-1903)發表文章證明了有界變差函數的傅里葉級數在間斷點的振蕩規律，因此這一現象稱為Gibbs現象。這一現象展示了傅里葉級數在間斷點收斂的不一致性。

記f(x)的傅里葉級數的部分和為SN(x)，級數在x0收斂的定義為:;級數在周期T上的一致收斂的定義為:關于函數f(x)的傅里葉級數一致收斂的一個充分條件是:f(x)在一個周期上滿足一致Lipschitz條件。

2.4 連續函數傅里葉級數的收斂性

在Dirichlet的研究工作之后的約50年間，人們相信任何連續周期函數的傅里葉級數都收斂到該函數。然而在 1873年 P.Reymond(雷蒙德，1831-1889)給出了一個連續函數［9］，其傅里葉級數在一點發散。

1904 年 L.Féjer(費耶，1880-1959)證明了可采用算術平均方法由任何連續周期函數的傅里葉級數(即使該級數發散)重構該函數［4，7，9］，即任何連續周期函數f(x)的傅里葉級數在算術平均和的意義下總是收斂于該函數。記f(x)的傅里葉級數的部分和為SN(x)，上述結論用公式表示總是成立。其中，σN(x)=(1/N)［S0(x)+S1(x)+… +SN－1(x)］。

Reymond指出連續函數的傅里葉級數在某些點發散，而Féjer則證明了級數在算術平均和意義下總是收斂于該函數。關于連續函數的傅里葉級數的收斂問題似乎解決了。然而1926年A.Kolmogorov(柯爾莫果洛夫，1903-1987)證明存在Lebesgue可積的周期函數［9］，它的傅里葉級數處處發散。1966年，J.Kalhane(卡亨，1926-) 和 Y.Katznelson(卡茨納爾松，1934-)指出在任意給定的零測集上，存在連續周期函數的傅里葉級數在該集合上所有點都發散［9］。關于連續周期函數的傅里葉級數的收斂性似乎又不樂觀了。

然而在同一年L.Carleson(卡爾松，1928-)發表文章指出:對于平方可積的周期函數，其傅里葉級數幾乎處處收斂［9］。這是一個人們預料之外的好結果，因為連續周期函數在一個周期內是平方可積的。綜合Carleson和Katznelson的結果，即連續周期函數的傅里葉級數只在零測集上發散，亦即幾乎處處收斂。至此關于連續函數傅里葉級數的收斂性問題就完全清楚了。

3 傅里葉級數的Hilbert空間表述

將周期函數理解為某個線性空間上的矢量，函數的傅里葉級數展開則可理解為該空間上矢量的正交分解。級數展開的這種表述方式使得傅里葉級數的公式推導簡明、易于理解。而函數在更多類型的基上的正交分解，就是廣義傅里葉級數的思想。

3.1 傅里葉級數的Hilbert空間表述

現設周期函數一個周期為［-π，π］，［-π，π］上平方可積函數集合記為L2［-π，π］。該集合滿足線性空間的定義，因而構成線性空間。在此空間上定義內積如下:

則L2［-π，π］構成完備內積空間，即Hilbert(希爾伯特，1862-1943)空間。函數集 {ek=eikx，k}是該空間中的完備正交基。在此空間上任意函數f(x)的傅里葉級數表示為

上述傅里葉級數的Hilbert空間表述方法是被Euler運用了三角函數正交性質表示三角級數方法的理論上完善，也是當今工科類“信號與系統”教科書中所采用的方法。

Carleson證明了平方可積周期函數的傅里葉級數幾乎處處收斂。即對于L2［-π，π］空間上的任意函數 f(x)，記，則有(x)2|dx=0。這一結論在工程上理解為，函數展開為傅里葉級數其能量是保持的。

L2［-π，π］空間上的任意函數 f(x)展開為傅里葉級數，則可得到Parseval(帕賽瓦爾，1755-1836)等式成立

上述公式可解釋為，周期信號的平均功率等于直流分量及各次諧波平均功率之和。

由于 {ek=eikx，k}中元素的兩兩正交性，根據可得

上式即是Parseval等式的另一種形式。將傅里葉級數理解為空間上的正交分解，上式即表示矢量長度平方等于各正交分量長度平方之和，即可理解為勾股定理的推廣。

3.2 關于廣義傅里葉級數

前面已經指出，類似于幾何空間上矢量的正交分解，周期函數的傅氏級數展開是在內積空間上函數的正交分解。其正交分解從 {ek=eikx，k}基推廣到Legendre(勒讓特，1775-1837)多項式和Haar(哈爾，1885-1993)小波基等，稱為廣義傅里葉級數［8，9］。

除了Legendre多項式外，還有很多正交多項式，如 Hermite(埃爾米特，1882-1901)多項式、Laguerre(拉蓋爾，1834-1886)多項式和 Tchebysheff(切比雪夫，1821-1894)多項式等可構成廣義傅里葉級數的正交基。函數在這類基上的級數展開在信號處理中有很多應用。小波分析理論則將Haar小波基進行了進一步推廣，因此在這種意義上講小波理論是傅里葉級數發展的結果。

4 結語

傅里葉級數是“信號與系統”課程的核心，也是處理科學和工程諸多問題不可或缺的理論工具。本文希望通過介紹傅里葉級數的產生和發展過程，帶給讀者這樣一些啟示:

(1)盡管科學研究必須是嚴密的，但是我們必須重視和發揮直覺在科學研究中的作用。傅里葉從熱傳導方程解的研究中正是憑直覺發現了傅里葉級數，從而開創了數學物理學一個時代。

(2)我們要善于歸納問題之間的聯系，發現數學方法的統一性，從而有助于研究工作的創新。從正交分解的意義上，廣義傅里葉級數和小波理論正是傅里葉級數理論的統一和發展。

［1］ Lars Garding，胡作玄譯.數學概觀［M］.北京:科學出版社，2001

［2］ http://acd.ucar.edu/textbook/ch15/Fourier/Fourier.cite1.html

［3］ Morris Kline，朱學賢等譯.無窮級數，《古今數學思想》第二冊第20章［M］.上海:上海科學技術出版社，2002

［4］ Morris Kline，鄧東皋等譯.分析中注入嚴密性，《古今數學思想》第四冊第40章［M］.上海:上海科學技術出版社，2002

［5］ M.J.Roberts，Signals and systems［M］.Boston:McGraw Hill Higher Education，2004

［6］ Alan S.Willsky，Signals and systems.MIT open courses，Sept.2003

［7］ 潘文杰.傅里葉分析及其應用［M］.北京:北京大學出版社，2000

［8］ James S.Walker，Fourier series.in“Encyclopedia of Physical Science and Technology”［M］，Salt Lake City:Academic Press，2004

［9］ Pierre Bremaud，Mathematical principles of signal processing-Fourier and wavelet analysis［M］.Newyork:Springer，2001