例談變式教學在數學課堂教學設計中的融入
——以“圓的標準方程”為例*

洪燕君，熊謀舉，穆永芳，陸瓊(石河子大學師范學院，新疆石河子832003)

例談變式教學在數學課堂教學設計中的融入
——以“圓的標準方程”為例*

洪燕君，熊謀舉，穆永芳，陸瓊
(石河子大學師范學院，新疆石河子832003)

我國數學教學中的變式教學已經成為一種較為成熟的教學理論，也是一種較為有效的教學方法，更可以作為一種教學理念融入數學課堂教學設計。本文以我們參與調研的一堂課“圓的標準方程”作為課例，從教學目標的定位、例題的精選精講、教學的后期拓展等方面闡述了變式教學融入的課堂教學設計，為中學教師設計變式教學的數學課堂提供一個有益的參考。

變式教學;理念;融入

傳統的數學課堂教學一般多采取演繹的方式，通過由概念引出概念，由思想引出思想，由命題引出命題，進行純思想上、語言上的邏輯推理。雖然這種方法比較注重知識的科學性，但引入新概念、新定理或證明的動機是隱藏的，學生不容易對知識點獲得深層次的理解，且這個教學形式很容易蛻變為“滿堂灌”的課堂，從而使學生出現無意義的和機械的學習。［1］新課程標準指出:“應為學生探索求知創設合適的情境，重視從問題出發，設計以解決問題的活動為基礎的數學認識過程;要建立合理的數學訓練系統，要向學生提供豐富的學習資源”。

為了改變傳統課堂生硬抽象的教學弊病，更為了真正貫徹新課程理念，越來越多先進的教學理論和教學方法應運而生，走進數學課堂。其中，變式教學的理論就是近年來廣受關注的研究課題，目前已經被許多一線的數學教師們廣泛接受和應用，成為中國數學教學的特征之一。

一、變式教學研究概述

最早接觸到“變式”一詞，是邵瑞珍等(1982)編著的《教育心理學》，描述為“變式指概念的肯定例證在無關特征方面的變化。”［2］在曹才翰、蔡金法(1989)的《數學教育學概論》中，把“變式”作為“影響數學概念學習的因素”之一“感性材料或感性經驗”的一個方面，描述為“變式是通過變更對象的非本質屬性的表現形式，變更人們觀察事物的角度或者方法，突出對象中隱蔽的要素，讓學生在變式中思維，從而突出一類對象的本質屬性。”［3］這在我國算是較早把“變式”引進數學概念教學的理論。但在實踐中最早實施數學的變式教學，并把變式教學從理論到實踐進行拓展、推進、發揚光大的，當首推數學教育專家顧泠沅先生和他的青浦縣數學教改實驗小組。早在1980年代初，他們就先進行了“利用變式圖形進行幾何概念教學”的實驗，后又“把變式移植到代數的教學之中”，最后又“采用變式訓練的方法開展數學習題教學”，成果豐碩。［4］這些年來，顧先生對變式教學的關注和研究一直沒有中斷過。2003年，他的學生鮑建生等(其實也都是著名的數學教育專家)撰文《變式教學研究》［5］，對顧先生的變式教學理論進行了全面而深刻的梳理和拓展，并找到國外相應心理學理論支撐，使得變式教學真正成為我國具有特色的數學教學方法，作為我國數學教育走向世界的一個成功案例。變式教學其實不僅限于數學教學，但在數學教學中變式教學卻遍地開花，一片欣欣向榮。所以變式教學被張奠宙先生描述為“依靠變式提升演練水平”作為中國數學雙基教學的四大特征之一［6］。

顧先生及其團隊對變式教學的持續研究自然是我國數學變式教學的經典權威之作。也有少數數學教育研究人員對數學變式教學的理論有所拓展，如孫旭花、黃毅英、林智中關于“數學問題結構性變式的研究”等。而更多的中小學數學教師則是領會數學變式教學的理論和方法，將其直接應用數學教學活動中，這一類的相關研究就比較多了。但縱觀這些變式教學的實踐和理論研究，幾乎都是將變式作為一種理論方法來進行數學概念的教學或者數學習題例題的教學等某個側面的教學，比較少見的是，將變式教學作為一種思想理念貫穿于整個數學課堂教學設計中。本文就以我們參與調研的一堂高中數學課:人教A版必修2中“圓的標準方程”這節課的為例，談談變式教學作為理念在數學教學設計中的融入。

二、變式教學融入“圓的標準方程”課堂教學設計

1.準確定位教學目標，為變式教學立穩標桿

變式教學融入數學教學設計，首先要考慮的就是課堂教學目標的設計問題。變式教學中教師會有意識變換問題的角度和形式，讓學生在變化中積極思考、歸納、比較，從而掌握事物的本質和規律。但同時我們要注意，無論如何變換問題的角度和形式，總有一點宗旨不能變，那就是:一切都必須圍繞教學目標而行。所以我們在設計學習目標時，一定要準確定位，把握重點，找準難點，這樣才能為變式教學立穩標桿，更好的把握新課程理念，做到“萬變不離其宗”。

“圓的標準方程”這節課是在學習了直線與方程的基礎上，來學習在平面直角坐標系中建立圓的標準方程，因此我們設置如下教學目標:

(1)掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程，也能從給出的圓的標準方程中識別出圓心、半徑，并能判斷任意點與圓的位置關系。

(2)會用待定系數法和定義法求圓的標準方程，在這個過程中要進一步體會數形結合的思想。

(3)能用所學知識解決實際問題，增強數學應用意識。

其中，教學重點為圓的標準方程的建立與應用，教學難點為體會形成用代數方法解決幾何問題能力的思想，并會用數形結合的思想解決與圓有關的實際問題。準確定位了教學重點和難點，教師做到心中有數，在穩定的教學目標指導下，無論如何實施變式教學也都不會偏離正題。

2.精心選取課堂例題，多重變式達多維目標

眾所周知，課堂教學中有許多的關鍵點，教師只有把握了教學的關鍵點，才能達到在有限的時間內不但能圓滿地完成教學任務，而且還產生教學效益最大化。其中例題的選擇和設計就是這樣一個關鍵點，所以說例題的選擇至關重要。

首先本著數學來源于生活，學數學是為了會用數學的觀點，教師在圓的標準方程定義給出之后，可以選擇具有生活情境的例題進行教學，比如我們選擇書本中如下這道具有實際背景的練習題。

題目情境:趙州橋，建于隋煬帝大業年間(595－605年)，至今已有1400年的歷史，出自著名匠師李春之手，是今天世界上最古老的單肩石拱橋，是世界造橋史上的一個創造。若河水的水面跨度為20米，拱高4米。現有一船，寬10米，水面上高3米。

其次，在提出問題的層次上一定要注意圍繞教學目標來設置。

(1)如果我們把趙州橋看成一段圓弧，請建立平面直角坐標系。

(2)根據前面的條件，請求出該圓的標準方程，并指出圓心和半徑。

(3)請問，該船能否順利通過該圓拱橋?如果能通過，請求出該船的通過區域。

我們看到這道例題的三個設問分別對應了該節課的三個教學目標，并且是由淺至深，層層拓展的。但是，需要注意的是教師在問題解析時，一定要對知識點有深刻的理解。如在處理第一個問題的時候，要分析不同建系方法的利與弊;第二個問題是本節課的核心，不但要求學生掌握“已知圓上三點用待定系數法求圓的標準方程”，以及利用三點形成的三角形由其外接圓圓心的定義來求出此圓的標準方程的方法，還要明確這兩種方法的本質聯系。提出第三個問題是鍛煉學生理論聯系實際的能力，讓學生進一步明確學以致用這樣的一個學習目的。

最后，我們還要注意選擇的例題結果的呈現形式應該盡可能的簡潔。雖然這道例題來自課后的一道作業題，但是經過計算我們發現該圓的標準方程求出來以后，圓心和半徑都是用分數表示的，所以教師在備課設計時要充分考慮這個因素，盡量選擇合適的數字條件，這樣學生在計算過程中能把主要精力放在對知識的深層次理解上。

這節課關于例題這個環節的設計思路和教材的呈現方式完全不同，教無定法，貴在得法。我們在這個例題的選擇和設計上，運用了由簡單到復雜、由一般到特殊的數學思想，通過觀察、歸納比較進行合情推理，有利于培養學生主動探究問題以及問題解決的能力，進一步地，例題的三個設問的解答對應達成了三個教學目標，不可謂不是精心釀制。

3.深度拓展例題再變式，使知識系統化板塊化

在學習了“圓的標準方程”以后，緊接著下面會學到“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”的知識，因為這些知識之間有著本質的聯系，所以我們可以對“趙州橋”的例題進行深度拓展再變式，將其繼續改編以適應新的內容，其他條件不變，只需把“圓形拱橋”條件改成“橢圓、雙曲線或拋物線的一段弧”即可。這樣我們的學生就能體會到學到的這些知識雖然各有特點，但是又有著千絲萬縷的聯系的，認識到這些知識原來是屬于同一個系統，同一個知識模塊，提高了學生的知識結構意識。

進一步地，在“圓錐曲線”這個單元的復習課上，我們通過把趙州橋設計成是拋物線、圓、橢圓、雙曲線的一段弧長。這些例題得到的結果用數形結合的方式同時呈現在黑板上，然后引導學生們一起觀察分析其中的區別，這樣“離心率”的概念就水到渠成了，整個過程一氣呵成，卻又形象生動。此例題的充分變式正印證了著名的數學教育家波利亞形象的觀點:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”。［5］

從以上對“圓的標準方程”課堂教學設計的幾個方面的闡述中我們看到，變式教學的恰當融入，不僅可以深化學生對圓的標準方程這個概念的理解，明晰數形結合等數學思想方法，還可以豐富學生的數學思維，活躍課堂氣氛，加強數學與生活之間的聯系及數學知識之間的聯系。所以說，變式教學對我們廣大一線教師來說應該成為一種教學中的常態。但是教師平時的教學不必拘泥于如何使用變式或使用何種變式，不必過于關注變式教學的理論如何模式如何等等，教師只需根據課程具體情況及學生的實際經驗，把變式教學作為一種思想理念有機地融入課堂教學，就可以起到提高效率的作用。當然就一節課而言，變式也并不是越多越好，俗話說貪多嚼不爛，這樣不僅會加重學生的負擔，而且還會使學生對解題產生厭煩情緒，所以適度的聯結知識點才能達到事半功倍的效果。

三、變式教學融入數學課堂教學設計的意義

1.變式教學的意義

有關變式教學的許多研究都表明，變式教學是促進有效的數學學習的中國方式。無論是概念性變式促進學生對概念的多角度理解，幫助學生理解概念的本質和建立本質的聯系;還是過程性變式促進數學活動的有層次推進，構建一個活動經驗系統，幫助學生理解知識的不同組成部分和完善知識結構，建立新舊知識的合理本質聯系，在中國目前的大班教學的情況下都能使表面“灌輸”的課堂學習變成有意義學習。正如顧泠沅先生所總結:通過對問題多層次的變式構造，使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，是學生積累活動經驗、提高問題解決能力的一條有效途徑［5］。眾多的中小學教師的實踐研究也證明，變式教學能“變出精彩”“提高學生參與數學活動的熱情”“培養學生思維的廣闊性”“培養學生舉一反三、觸類旁通的能力”“培養學生思維的科學性、變通性、深刻性”“培養學生的探索精神和創新意識”，提高數學數學素質。

一般而言，變式教學就是不斷變換問題的條件和形式，而問題的本質特征不變的教學。變式教學中，一題多用，多題重組，這所有的變式形成一個有層次的經驗系統，這是認知結構的一個重要組成部分。這種教學形式不僅能促進學生對知識點的理解以及知識點間內在聯系的深刻認識，而且還避免了大量的重復運算，有效地提高了學生對知識的化歸能力、分析問題和解決問題的能力，還使我們的數學課堂豐富多彩、生機盎然。

2.變式教學融入數學課堂教學設計的意義

由以上對“變式教學融入圓的標準方程的教學設計”的分析我們知道，所謂變式教學融入數學課堂教學設計，與一般的變式教學在實踐中的運用從本質上說沒有什么不同，也是遵循顧先生及其團隊的研究成果，領悟他們的理論實質并在實際教學中踐行。但在形式上，融入式的變式教學卻要自由一些，而在思想上卻又深刻一些。因為我們所說的融入，主要是指把變式教學作為一種思想理念，貫穿于課堂教學設計，甚至貫穿于整個的數學教學之中，使之成為教師們教學的一種常態，進入潛意識，達到行動自動化，并與其他先進的教學理念和方法整合，相得益彰，而不必拘泥于我們實際是使用的概念變式還是過程變式還是問題變式。我們認為，這才是變式教學在數學教學中運用的較高境界。這樣的融入式變式教學，操作起來起點較低，因為它可深可淺、可寬可窄，教師教學設計時可靈活把握，學生的學習也相應具有靈活性。正因為我們不刻意追求理論的高深和模式的規范，門檻低，教師們把握起來才不會吃力，他們才愿意在日常教學中應用它，日久天長，變式教學就成為教師們的常態，自覺自發自動的進行，教學效率的提高自是水到渠成。

［1］徐章韜，汪曉勤，梅全雄.發生教學法－從歷史到課堂［J］.數學教育學報，2010，(1).

［2］邵瑞珍.教育心理學［M］.上海:上海教育出版社，1983.

［3］曹才翰，蔡金法.數學教育學概論［M］.南京:江蘇教育出版社，1989.

［4］青浦縣數學教改實驗小組學會教學［M］.北京:人民教育出版社，1993.

［5］鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧伶沅.變式教學研究［J］.數學教學，2001，(1－3).

［6］張奠宙.中國數學雙基教學［M］.上海:上海教育出版社，2006.

G633

A

1006－5342(2012)08－0176－03

2012－04－18

石河子大學SRP課題“課改背景下中學數學課堂設計的研究”(SRP2012002);石河子大學師范學院課題“信息技術環境下高中數學課堂教學設計的研究”(SFyj2011－02)