談數學的思想方法在概率教學中的應用

李 丹

（北京科技大學天津學院 中國 天津 301830）

數學思想是在數學研究活動中解決問題的根本想法，是對數學規律的理性認識。概率論與數理統計學科中包含的隨機思想、公理化思想、模型化思想、數形結合思想、推斷思想等是該學科的精髓和方法論的內涵。

概率論與數理統計的學習，是過程、思想、方法和觀念的學習，目的是讓學生體會概率論與數理統計的基本思想方法。概率的核心可以簡單的概括為：數據而不是數字；活動而不只是概念；過程而不只是結果。概率論屬于不確定性的數學，是為了尋找隨機性中的規律性，這與高等數學、線性代數在思維方式和學習方法上是不一樣。概率主要依靠辯證思維和歸納的方法，需要學生在活動中學習概率論與數理統計的內容、掌握概率處理的方法。總之，重視思想方法的教學能夠培養學生的創造思維能力和開拓精神，使學生充分發揮個人潛能，真正實現個體的最優化發展。本文著重討論概率中常用的幾種數學思想方法，隨機思想、統計思想、模型化的思想等。

1 隨機的思想

隨機思想是概率論核心的思想方法,它從數量的層面上研究了事件發生的必然性和偶然性。教學中應該讓學生體會最原始的隨機環境，體會隨機現象的一些特點，教師應通過具體的來實例豐富學生對概率的進一步認識，從而理解隨機觀念，并舉大量實例說明不確定現象的存在性。學習概率論就是學習書本中滲透的一種新的思維方法，統計與概率論的思維方法，和以前學習的邏輯推理方法不一樣，它是不確定的，也就是我們所說的隨即思想，這是培養學生思維能力最重要的體現。

隨機思想與其它思想方法之間的內在聯系體現在多個方面，隨機思想的分類、歸納等確定性數學思想之間的聯系。從隨機思想的起源來看，又是分類、歸納等確定性的數學思想進一步發展和具體的應用。事實上，作為定量研究隨機思想的概率和統計方法最先起源于歸納法，概率的發展經歷了三個過程：歸納法到概率歸納法，再到概率論的發展過程，而統計思想則是由局部到整體、有抽象到具體、由特殊到一般，是歸納法在數學思想方法上上的具體應用。

概率統計的隨機性要求學生的學習方式不能一再沿用傳統數學學習的方法，而必須采用具體的問題進行具體分析的方法，在解決一些具體的實際問題過程中加深對概率統計的定義、公式、法則、原理的理解。一方面在學習過程中要不斷地總結用概率解決問題的各種數學模式，另一方面，還需要不斷地提高判斷、創建數學模型的能力、在對各種不同實際情況的分析、判斷、探索的過程中強化自身的數學隨機意識。

對學生數學隨機意識的培養，是一項長期而艱巨的任務，觀念的轉變也不是一朝一夕的事，這樣就要求我們通過改變教學方法激發學生的學習興趣，讓他們自覺的投入到概率統計的學習中去，引導學生能夠積極主動地學習，教師應創設吸引學生的教學手段，能引導學生積極主動參與到教學情景中來，挖掘學生的內在學習潛質，培養學生掌握和運用知識的能力。只有讓學生認識到這一點，才能真正明白現實世界廣泛存在的隨機性，并主動地應用到生活中去。抽樣的方法很多，但無論用什么方法抽樣，都要堅持隨機抽取的原則，這是隨機思想的精髓。

2 統計推斷的方法

概率統計推斷的思想是研究數理統計的一種重要的思想方法，它與數學中常用的邏輯推理方法有所不同，它是帶有概率性質的一種推理方法，依據是“小概率事件的原則”。小概率事件原則認為：概率很小的事件在一次試驗中發生的可能性幾乎為零。解決假設檢驗問題是概率推斷思想最重要的體現，其基本思想是基于“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生”這一小概率事件的原理。

統計課程的核心目標是引導學生體會統計思維的特點和作用，體會統計思維與確定性思維的差異。統計學是一門研究隨機現象，以推斷為特征的方法論學科，由部分推及全體的思想貫穿于統計學的始終。具體地說，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物總體信息的數字資料，并以此為依據，對總體特征進行推斷的原理和方法。用統計來認識事物的步驟是：研究設計→抽樣調查→統計推斷→結論。這里，研究設計就是制定調查研究和實驗研究的計劃，抽樣調查是搜集資料的過程，統計推斷是分析資料的過程。顯然統計的主要功能和作用是推斷，而推斷的方法是一種不完全的歸納法，因為是用其中的一部分資料來推斷總體。統計課程的核心目標是引導學生體會到統計思維的獨特的特點和作用，體會統計思維與確定性思維的巨大差異。例如，在運用樣本估計總體的學習中，應通過對具體數據的分析，使學生體會到由于樣本抽取具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特征，但畢竟是一種推斷，所以與總體肯定是有一定偏差的。另一方面，如果抽樣的方法應用的比較合理，樣本的信息還是可以比較好地反映總體的信息。

3 模型化的思想

所謂模型化的思想，就是把所考察的具體的實際問題轉化為數學問題，建立相應的數學模型，通過對具體模型的分析研究，從而解決實際問題的一種數學思想方法。概率中存在很多的數學模型，如:古典概型、幾何概型等。

在概率論課程中加載了數理統計的基本內容，是為了給學生展示如何針對具體的實際問題，構造數學模型，運用所學的概率知識做出科學合理的判斷與估計。這種處理既提供了理論應用于實際的演示、操作和實訓平臺，又是理論知識本身的延展和鞏固，避免了工科學生學習數學“只見樹木不見林”的短期效應以及“學數學沒有用途”的偏見。

隨機數學有很大一部分可以用概率模型進行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正態分布等。應用概率模型方法就是根據隨機問題的具體特點，模擬構建一個隨機問題的現實原型或抽象模型，借以反映問題的內在規律，然后選擇相應的數學方法對求得的數學模型做出解答，表現出從實踐到理論又回到實踐的過程。概率統計教學中應重視對概率模型的理解和應用而淡化繁雜的計算，使學生經歷從多個實例中概括出具體的概率模型的過程，體會這些例子具有的共同點，培養學生識別和建立模型的能力。使用概率模型解決問題是歸納思維的一種典型應用，它離不開人們的觀察、試驗與合理的推理，是數學化意識和思想方法的具體體現，有助于培養學生將數學理論應用于解決實際問題的能力和創新意識。

總之，概率論與數理統計是一門有著廣泛應用的數學學科，因此在教學中不斷地滲透數學的思想方法，準確地把握這門課與學生所學專業的結合點，突出其應用性。在教學中應結合學生的專業知識，調整教學實例。在講授過程中，將統計理論與實際問題相結合，培養學生用所學的知識去解決具體實際。

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