基于壓縮感知的井下圖像壓縮

楊子賢， 張礁石， 盧結成

（中國科學技術大學 電子科學與技術系，安徽 合肥230027）

0 引言

隨著測井技術的發展，對測井的要求日漸提高，井下電視圖像以其直觀可視的優點，對石油生產有著重要的指導意義。然而由于數字圖像的數據量大，要實現井下幾千米的圖像傳輸就對傳輸速率提出了較高的要求，但是因為距離很大，即使是使用電纜線進行傳輸也會受到一定的限制，成本亦很高，而對于無線傳輸的測井系統來說，由于電磁波頻率越高在大地中衰減越快，傳輸速率更加受到制約。所以必須對圖像進行壓縮，保證傳輸速率、實時性的同時又可以從圖像上取得我們需要的信息。

在傳統的圖像壓縮算法中，都是先對圖像進行高速采樣，即變換后得到大量變換系數，再對其進行壓縮后再存儲和傳輸[1]，雖然有不錯的效果，但是對于井下的圖像來說，由于比較復雜的壓縮過程，較大的數據存儲量，造成井下儀器功耗增加，電池使用壽命縮短，導致成本上升。所以急需找到一種壓縮編碼簡單、壓縮比高的算法。

近年來，Donoho等人提出了一種新穎的理論——壓縮感知理論（CS，Compressed Sensing），該理論突破了奈奎斯特定律的限制，信號可使用低速采樣，僅使用少量測量值就能較精確的恢復信號[2]。本文使用壓縮感知算法對井下電視圖像進行壓縮編碼，由于其在井下數據發送端編碼時只需進行簡單的線性測量即可，而復雜的解碼則在井上接收端進行，非常適合測井系統的情況。同時對圖像進行分塊處理，可以更好的適應井下低速率的數據傳輸。

1 壓縮感知理論

1.1 基本原理

壓縮感知理論的主要思想是：只要信號通過某種正交變換后具有稀疏性，那么就可以用較低頻率對其觀測，用最少數目的觀測值來代表原信號的壓縮形式，然后根據觀測值高概率的重構出原信號[3]。

假設有一信號X( X∈RN)，長度為N，有基向量為ψi(i=1,2,…,N)，對信號進行變換：

即X=ΨΘ,則Θ是信號X的Ψ域表示。若Θ是稀疏的，即Θ中只有K個非零值(K＜＜N ) ；或者Θ經排序后按指數級衰減并趨近于零，則可以對該信號進行壓縮感知[4]。

壓縮感知的一般過程如圖 1所示，設計一個M×N( M＜N)維觀測矩陣Φ，通過觀測矩陣Φ去線性測量Θ，即可得到M維的觀測值Y，然后對Y進行重構，恢復信號。

從該過程可以看出，信號通過觀測矩陣 進行線性投影，得到觀測值：

這樣使得其從N維降到了M維，觀測過程是非自適應的，即觀測矩陣Φ的選取跟信號無關[5]。而要保證信號的精確重構，必須使得通過觀測矩陣測量的觀測值不會破壞原始信號的信息[6]。

由上可知，觀測值Y可表示為：

式（3）中觀測值Y的維數小于原信號X的維數，該方程顯然是欠定的，即無法在已知Y的情況下求出確定的X。然而由于Θ是K稀疏的，理論證明，只要Θ滿足約束等距性（RIP，Restricted Isometry Property），即對任意K稀疏信號 f，滿足：

其中常數0＜δk＜1，|T|≤K，T?{1,2,…,N}，ΦT是Φ中由T為索引的相關列構成的大小為M×|T|的子矩陣，則K個非零系數可由M個測量值精確重構。文獻[7]亦指出，滿足約束等距性的等價條件是觀測矩陣Φ與基矩陣Ψ不相關。由于高斯隨機矩陣與大多數由正交基構成的矩陣不相關，所以一般選擇高斯隨機矩陣作為觀測矩陣即可很好的滿足不相關條件。其他滿足RIP條件的可作為觀測矩陣的還有：二值隨機矩陣，傅里葉隨機矩陣等[8]。

1.2 信號重構

信號重構的過程就是根據式中得到的觀測值求出原信號估計值的過程，這是最復雜最關鍵的一步。常用方法有基追蹤()算法——將最小0范數問題轉化為最小 1范數問題即轉化為凸優化問題來求解[9]，和貪婪追蹤算法——通過每次迭代時選擇一個局部最優解來逐步逼近原信號，其中貪婪追蹤算法比基追蹤算法運算量小且易于實現[10]。

貪婪追蹤算法又分為匹配追蹤（MP）和正交匹配追蹤（OMP）。MP算法思想是，在每次迭代過程中，從過完備原子庫（觀測矩陣）中選擇與信號最匹配的原子來構建稀疏逼近，求出信號殘差，然后選擇與殘差最匹配的原子，經過數次迭代，將信號用原子的線性來表示。OMP算法是 MP算法的改進，減少了MP算法中為了獲得收斂所需要的迭代次數，其算法思想是，以貪婪的方式選擇觀測矩陣 的列，并保證每次迭代中所選 的列與觀測信號 的殘差最大相關。從觀測信號中減去這個相關部分的信號，生成新的殘差，再參與下一次迭代運算，反復操作直到迭代次數達到稀疏度K后停止[11]。OMP方法更適合于圖像的重構，本文的CS重構采用了這種方法。

2 圖像分塊

由于測井系統的條件限制，數據傳輸率低，為了適應這種情況，將圖像分成等尺寸的塊，獨立的對每一塊進行壓縮感知的觀測和重構，這樣由于每一快數據量的減小，不僅減少了每次壓縮感知的運算復雜度，也減少了井下數據儲存量，減少井下部分系統的功耗，延長電池使用壽命；而且在所有數據到達井上部分重構之前不需要得到整幅圖像的觀測數據，在適應低速率傳輸的同時更能提高傳輸效率和實時性。

3 圖像壓縮及實驗結果

根據壓縮感知理論可知，當用觀測矩陣觀測原圖像得到觀測值時就已經對圖像進行了壓縮，這種觀測是線性的，簡單且壓縮效果好，適合測井系統的要求。具體步驟如下：

2）對每個子塊進行小波變換,得到其稀疏表示iθ。

3）對每個iθ選取相同的觀測矩陣 (高斯隨機矩陣)進行觀測，得到觀測值yi。

4）對每個觀測值yi進行OMP重構，經小波反變換和圖像重組得到恢復后的圖像X'。

實驗中選用一幅井下電視圖像，大小為256×256。對原始圖像通過選取不同的采樣率M/N得到不同壓縮比下恢復的圖像，如圖2所示從結果可以看到隨著采樣率降低即壓縮比提高，圖像重構的質量下降，不過即使在壓縮為1:8的時候，依然有較好的結果，對井下電視圖像的作用(觀測和分析油泡、管壁等情況)基本沒有影響。

圖2 不同壓縮比下壓縮感知進行圖像壓縮的效果

對圖像進行分塊(8× 8,16× 16)后分別進行壓縮感知然后重構，得到結果如圖3、圖4所示。

從上面實驗結果可以看到分塊可以使得壓縮后恢復的圖像效果明顯提高，而且塊分得越小效果越好，但是塊分得過小會造成井下器件的復雜化，所以應根據器件，傳輸速率，功耗等綜合考慮分塊的程度。

圖4 16× 16分塊壓縮下的重構效果

4 結語

用壓縮感知的方法對井下電視圖像進行分塊壓縮和重構，以適應測井系統的要求。最后在高壓縮比的情況下得到了較好結果，基本不會影響圖像在系統中的作用，大大提高了傳輸效率。該技術對井下數據傳輸有重要意義，具有廣闊的前景。

[1] 張春田,蘇育挺,張靜.數字圖像壓縮編碼[M].北京:清華大學出版社,2006.

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[5] DONOHO D,TSAIG Y.Extensions of Compressed Sensing[J].Signal Processing.2006,86(03):533-548.

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[11] 王國華,陳宏.基于 DCT系數小波重組的圖像壓縮算法[J].信息安全與通信保密,2006(04):100-102.