適合頻率選擇性MIMO信道的FIR預編碼器*

古 強，許小東

（中國科學技術大學 電子工程與信息科學系，安徽 合肥 230027）

0 引言

當收發雙方完全已知信道狀態信息（CSI）時，發送端預編碼技術可以顯著提升多輸入多輸出系統（MIMO）的頻譜效率和鏈路質量[1]，已經成為近年來寬帶無線和移動通信領域的研究熱點[2-3]。其中，針對MIMO頻率平坦衰落信道環境，預編碼技術的研究發展日臻成熟。而針對MIMO頻率選擇性衰落信道環境，已有研究主要采用正交頻分復用（OFDM）技術[4]將MIMO頻率選擇性衰落信道轉變為若干頻率平坦衰落子信道，然后在各子信道中發展有效的預編碼方法[5-6]。

值得指出的是，OFDM 信號存在的固有缺點[7]導致在某些場合（如LTE系統的上行鏈路）單載波仍然是物理層傳輸的最佳選擇[8]。在單載波系統中，一類常見的預編碼方法是通過在數據塊之間填零（Zero Padding）[9-11]或者加循環前綴（Cyclic Prefixing）[10]把MIMO頻率選擇性衰落信道轉變為MIMO塊衰落信道，可統稱為“塊預編碼方法”。分析可知，這類方法的缺點在于：一方面冗余信息的加入會降低系統的頻譜效率；另一方面預編碼矩陣的大小與數據塊長度有關，當數據塊的長度很大時預編碼器的實現復雜度很高，系統延時較長。

與塊預編碼方法不同，有限沖擊響應（FIR）預編碼器可在寬頻帶內利用FIR濾波器結構，實現對輸入序列連續處理，避免添加冗余數據，因此受到廣泛關注。文獻[12]通過對MIMO頻率選擇性衰落信道結構的先驗假設，獲得一種基于迫零準則的預編碼器。顯然，基于迫零準則設計的預編碼器必然會導致一定的信道容量損失。文獻[10,13]分別獨立提出將均勻信道分解（UCD）算法擴展到MIMO頻率選擇性衰落信道的新算法，稱為擴展均勻信道分解（EUCD）算法。該算法通過收發信機聯合優化設計，利用無記憶的酉陣預編碼器把MIMO頻率選擇性衰落信道分解成若干均方誤差（MSE）相同的子信道。然而由于缺乏適合空、頻域的有效功率分配策略，該算法也無法獲得最大的信道容量。

在發射功率約束條件下，以最大化信道容量為目標優化設計適合 MIMO頻率選擇性衰落信道的FIR預編碼方法。該方法在FIR預編碼器基礎上構建基于最大信道容量準則的約束優化問題，然后利用矩陣秩松弛將原問題轉化為半定規劃問題（SDP），結合特征值分解（EVD）求解原問題的近似最優解，設計實現預編碼器。

1 系統模型和問題描述

考慮一個包含ν條路徑的MIMO頻率選擇性衰落信道，t時刻基帶接收向量ty可以寫成：

利用D變換可將（1）改寫為：

式中，最后一個等號由帕什瓦爾等式得到，Tr()·代表矩陣的跡。

在MIMO頻率選擇性衰落信道環境中，我們的優化問題可以建模為基于發送功率約束的最大信道容量優化問題，即：

為了便于數值計算，若以N點累加（N足夠大）代替積分，則問題（7）可以寫成：

文中致力于設計基于FIR結構的預編碼器，事實上，如果選擇預編碼器的階數L N=，則最優的FIR預編碼器可以看作式（9）的時域實現形式，可以完全達到理論信道容量。然而由于N通常很大，實現如此高階的FIR濾波器必然導致運算復雜度大幅增加，不利于工程應用。因此主要研究低階（通常L為滿足LN?的任意值）FIR預編碼器的優化設計。

2 FIR預編碼器設計

2.1 基于FIR預編碼器的問題等效

令預編碼器 ()DP 是一個L階的FIR濾波器，即：

單位為比特/秒/赫茲(bps/Hz)。功率約束可以表示為：

則優化問題（8）可以等效為：

分析可知，在已知CSI的情況下，對于任意給定的FIR階數L，只需求解優化問題（17）就能得到FIR預編碼器的系數。由此可見，文中提出的FIR預編碼器與數據塊長度無關，對數據塊的結構也無任何要求。然而求解上述優化問題的困難在于，由于秩約束Rank()tM≤Q的存在，一般而言該問題是非凸優化問題且屬于非確定性多項式難題（NP-hard），對于此類問題尚無通用的高效求解方法。

2.2 算法設計和實現

考慮放松矩陣秩約束，將原問題（17）松弛為一個凸優化問題：優化問題（18）是一個半正定規劃問題[15]，因此可以由內點法（Interior-point Method）[16]等算法在多項式時間內求解，且它的最優目標值是的一個上界。

由此，文中提出一種簡單高效的算法。該算法思想是對 Q*進行EVD分解，并從 Q*中抽取最大的 Mt個特征值及其對應的特征向量，再將其投影到原問題（17）的可行集合中去。算法細節可依如下描述：

1）利用內點法求SDP問題（18）的最優解 Q*。

2）對 Q*作EVD分解 Q*=UΣU?，其中Σ的對角元素按絕對值的降序排列。

3）抽取絕對值最大的 Mt個特征值及其對應的特征向量組成矩陣Ξ：

綜上述，影響該算法性能的主要因素有兩個：①SDP問題（18）的最優目標值相對于理論信道容量的逼近程度；②由上述算法得到的原問題近似最優目標值相對于的逼近程度。事實上，上述兩個因素均與FIR預編碼器的階數L有關，因此合理確定FIR預編碼器的有效階數，既關系到該算法的運算復雜度，也關系到該算法的實際性能。

3 仿真實驗與分析

這里利用蒙特卡洛仿真實驗來檢驗文中提出的FIR預編碼方法的有效性及其對MIMO頻率選擇性衰落信道容量的改善程度。在各次實驗中，相關的仿真參數設置為：收發天線數 Mr= Mt=2，MIMO頻率選擇性衰落信道徑數4ν=，并假設每徑相互獨立且服從瑞利衰落，計算信道容量時的累加次數設為 128N=，蒙特卡洛仿真次數為5 000次。

實驗2 FIR預編碼器性能與濾波器階數L的關系：圖2描繪了不同階數的FIR預編碼器性能，并與EUCD算法及理論信道容量進行對比。由該仿真曲線可知，由于無記憶的酉陣預編碼器的固有缺陷，EUCD算法與理論信道容量存在一定差距，而文中提出的FIR預編碼算法相對EUCD算法有顯著改善，特別是在中低信噪比區域（如SNR=1 dB），其性能增益最多可達3 dB。同時，圖2也表明，FIR預編碼器的性能與其階數L密切相關，特別是當 L =ν=4時，整體性能最好，與信道容量的理論值非常接近；然而若繼續增大預編碼器的階數，反而令整體性能下降?？赡艿脑蛟谟冢阂环矫?，當L=ν時，就與理論信道容量相當接近，繼續增大L對的影響不大；另一方面，相比而言L越大，則文中算法抽取矩陣最大的 Mt個特征值時可能造成的能量損失也越大，導致相對于上界的逼近誤差越大，最終使得預編碼器性能下降。由此可見，只需令預編碼器的階數等于MIMO頻率選擇性衰落信道的徑數，文中提出的FIR預編算法就可以近似達到理論信道容量，同時保證較低的運算復雜度。

圖1 SDP問題最優目標值與濾波器階數的關系

圖2 FIR預編碼器關于濾波器階數的性能比較

4 結語

文中以最大化信道容量為目標，提出一種適用于MIMO頻率選擇性衰落信道的FIR預編碼方法。該方法把預編碼器建模為一個低階FIR濾波器，將原容量最大化非凸優化問題松弛為一個可在多項式時間內求解的SDP優化問題，并結合特征值分解獲得原問題的近似最優解。仿真實驗和分析證明，與已有算法相比，文中算法可以顯著提升系統的信道容量，尤其當預編碼器階數等于信道徑數時，文中方法可近似達到理論信道容量。同時，該算法對數據塊的結構無特定要求，因此具有較低的實現復雜度和一定工程應用價值，不僅適用于單載波系統，也同樣適用于MIMO-OFDM系統。

[1] PALOMAR D P, JIANG Y. MIMO Transceiver Design via Majorization Theory[M]. Hanover: Found. Trends Commun. Inf. Theory, 2006:331-551.

[2] 崔金, 李署堅, 楊文慧. 基于信道狀態的 MIMO預編碼算法[J]. 信息安全與通信保密, 2011(01):61-62.

[3] 李元柳, 劉海濤, 蔣立輝.空間相關信道下基于線性星座的預編碼技術[J].通信技術, 2008, 41(07):71-74.

[4] 唐云，王玲.MIMO-OFDM系統信道估計算法研究[J].信息安全與通信保密, 2007(05):81-83.

[5] LIU Z, YAN X, GIANNAKIS G B. Space-time-frequency Coded OFDM over Frequency-selective Fading Channels[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 50(10):2465-2476.

[6] 陳佳,何海浪.LTE系統中下行預編碼技術[J].通信技術,2011,44(06):73-75.

[7] PANCALDI F. Single-carrier Frequency Domain Equalization[J]. IEEE Signal Processing Magazine,2008, 25(05):37-56.

[8] MYUNG H G, LIM J, GOODMAN D J. Single Carrier FDMA for Uplink Wireless Transmission[J]. IEEE Vehicular Technology Magazine, 2006, 1(03):30-38.

[9] WENG C C, VAIDYANATHAN P P. Block Diagonal GMD for Zero-Padded MIMO Frequency Selective Channels[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2011,59(02):713-727.

[10] CHEN C Y, VAIDYANATHAN P P. Precoded FIR and Redundant V-BLAST Systems for Frequency-Selective MIMO Channels[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(07):3390-3404.

[11] STAVRIDIS A S, KARACHONTZITIS S, BERBERIDIS K.Bezout-based Robust Precoding for MIMO Frequency Selective Channel Using Imperfect Channel Knowledge[C]//19th European Signal Processing Conference. Barcelona: EUSIPCO, 2011:649-653.

[12] SAMPATH H. Linear Precoding and Decoding for Multiple Input Multiple Output (MIMO) Wireless Channels[D]. Stanford, CA: Stanford Univ., 2001.

[13] JIANG Y, VARANASI M K. Extended Uniform Channel Decomposition for MIMO Communications with Intersymbol Interference[C] // Conference Record of the Forty-First Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers. California: ACSSC, 2007:1549-1553.

[14] COVER T M,THOMOS J A.Elements of Information Theory[M].Hoboken:John Wiley & Sons,2006:183-242.

[15] PALOMAR D P, ELDAR Y C. Convex Optimization in Signal Processing and Communications[M].Cambridge:Cambridge University Press, 2010: 192-228.

[16] HELMBERG C. An Interior-point Method for Semidefinite Programming[J]. SIAM Journal on Optimization, 1996, 6(02):342-361.