一個新的開關超混沌及其DSP實現

丘 嶸，王春雷，丘水生

（①廣東科學技術職業學院，廣東 廣州 510640；②杭州電子科技大學 電子信息學院，廣東 杭州 310018；③華南理工大學 電信學院，廣東 廣州 510640）

0 引言

混沌具有初值敏感、類隨機和連續寬帶功率譜特性。混沌的動力學特性與傳統密碼學之間存在著一種自然的聯系，它基本對應著密碼系統的某些主要安全特征，混沌可作為一種偽隨機序列信號應用于保密通信、密碼系統和計算機等領域之中。

混沌具有一個正的Lyapunov指數，超混沌具有兩個或以上的正Lyapunov指數[1]。與混沌相比，超混沌系統的結構和產生的信號更加復雜，用于保密通信和密碼系統時其密鑰空間更大，更能改善被加密或被傳輸信息的安全性。

目前多數通信和密碼系統都為數字系統。為適應混沌在數字信息系統中的應用，必須把連續或離散的混沌數字化。在數字系統中處理非周期的混沌時，由于系統本身的有限精度將導致混沌出現周期現象[2]，為擴展數字混沌的周期可對混沌系統施加參數擾動[2]。雖然目前已提出了多個超混沌系統[3-8]，為了進一步提高超混沌的復雜性，本文提出了一個開關超混沌系統。該系統的結構或參數在其自身變量控制下不斷地自動變化。基于DSP芯片研究了該開關超混沌系統的數字化實現問題，并進行了實驗驗證。

1 開關超混沌數學模型構造

所謂開關超混沌系統是由一個開關函數控制的雙切換系統，它包括 2個不同的超混沌子系統，2個子系統通過一個開關函數組合成一個更復雜的超混沌系統。在開關函數的控制下，系統交替工作在2個不同的子系統之中。由于系統在演化過程中總是存在兩種不同的可能性，導致了系統超混沌信號的多樣性和隨機性，將其應用于密碼或保密通信系統之中將會擴展密鑰空間，增強傳輸信息的安全性。

所設計的開關超混沌系統為：

其中a、b、c、d、k為待定的系統參數，其取值要保證系統工作在混沌或超混沌狀態。S(x)為一個開關函數，定義為：

x為系統（1）的解且隨時間隨機地變化，它是開關函數的開關控制變量，亦可把系統的解y或z作為控制變量，即開關函數也可表示為S(y)或S(z)。

根據式（1）和式（2）可知，當信號x≥0時，S(x)=1，開關系統（1）工作在如下子系統：

當參數a、b、c、d和k處于一定空間，即它們取一定的參數范圍時系統（3）是混沌或超混沌的。如當a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5時，系統(3)工作在超混沌狀態。

當信號x < 0時，S(x) = 0，開關系統（1）工作在如下子系統：

其中a、b、c和k為可調的系統參數。當參數a、b、c、d和k取一定的參數范圍時系統（4）也是混沌或超混沌的。如當a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5時，系統(4)工作在超混沌狀態。

超混沌系統（3）、系統（4）除第2個方程不同外其余2個方程完全相同。雖然它們有相似的結構，但其代數結構不同，平衡點也不同，因而他們是非拓撲等價的[1]，即它們在理論上是不同的2個超混沌系統。

開關函數的狀態“1”或“0”由其控制變量的變化所確定。因此，系統（1）在其自身變量x的控制下，自動地且隨機地在兩個子系統之間轉換，每個子系統都是超混沌的，因而形成了一個復雜的開關超混沌系統。

該系統的信號波形和解的軌跡由兩個不同的部分構成。當系統（1）的解x ≥ 0時，S (x) = 1，超混沌信號由子系統（3）產生；當系統（1）的解x < 0時，S(x) = 0，超混沌信號由子系統（4）產生。如此隨機地往復變化，兩個超混沌系統的信號融合交織在一起。

這種由2個不同的混沌信號按時間隨機地混雜在一起而形成的一個完整的混沌信號，比之由單一混沌系統產生的信號要復雜得多，且門限參數本身又是一種密鑰參數，它擴展了混沌偽隨機序列的密鑰空間，使其提高了安全性。

2 開關超混沌系統的數字化實現

基于上述的開關超混沌系統和DSP芯片可把該系統數字化，用以產生混沌偽隨機序列。本文采用ICETEK-VC5502-AE評估板，評估板的主處理DSP芯片是16位定點數字信號處理器TMS320C5502。

開關超混沌系統的數字化思路主要是：首先把連續開關超混沌方程離散、量化，其次是在CCS環境下編寫離散迭代求解和把解量化的程序，仿真后把程序下載到DSP芯片。

采用差商逼近法進行離散處理[9-11]，用適當差商逼近導數值。超混沌方程（1）的離散化模型為：

式中τ為離散時間間隔，取τ=0.008。將式(5)作為循環體進行迭代求解得到混沌實值序列，混沌實值序列還需經過進一步的量化處理轉換成混沌二值序列。本文采用抽取混沌方程迭代解的每個浮點型數據小數點后的一位或若干位構成混沌二值序列，使其數字化。

以系統（1）為隨機信號源，基于以上的離散量化算法和DSP芯片可設計一種偽隨機序列發生器，用以產生數字偽隨機序列。其軟件部分主要在DSP開發平臺CCS中完成。CCS IDE是TI為其DSP設計的集成開發環境，它包含了完全集成的代碼編輯環境，用以編寫C、C++以及DSP匯編代碼。

以離散系統(6)作為迭代序循環體，并在CCS中編寫C程序文件進行求解；完成C語言程序設計后需對程序進行編譯和鏈接；把編譯、仿真后的程序下載到評估板ICETEK-VC5502-AE的TMS320VC 5502A DSP芯片之中，便可輸出和觀測產生的數字偽隨機序列。實驗裝置和在示波器上觀測到的數字波形如圖1所示。如果利用計算機測試序列性能，可將評估板與PC機相連，利用串口采集序列并輸出至PC機中，并保存為文檔。如果需要觀察產生的數字混沌序列是否保持了原來模擬混沌序列的特性，可將將0、1混沌序列通過D/A轉換模擬信號進行觀測。

圖1 數字序列實現

3 結語

為了提高混沌的復雜性從而產生隨機性能良好的混沌序列，本文提出了一個開關超混沌系統。該系統包含兩個不同的超混沌子系統，通過一個開關函數在其自身變量控制下不斷地在這2個子系統之間轉換，其行為比傳統的超混沌更具復雜性。為產生數字超混沌信號，基于DSP芯片設計了一個數字混沌序列發生器，在實驗中獲得了數字化的超混沌偽隨機序列，這種數字化方法及其產生的序列可應用于通信、信息加密和計算機等領域之中。

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