半立方拋物線形渠道正常水深的近似計算公式

滕 凱

半立方拋物線形渠道正常水深的近似計算公式

滕 凱

（齊齊哈爾市水務局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

針對目前半立方拋物線形斷面渠道正常水深計算存在的計算過程繁瑣復雜、求解成果精度不高等問題，經對正常水深基本計算方程的變形整理，通過引入無量綱水深及特征參數，采用優化擬合的方法，取標準剩余差最小為目標函數，在工程適用參數范圍內，經逐次逼近擬合計算，得到了表達形式簡單、計算過程簡捷、實用范圍廣、便于工程設計人員實際應用的近似計算公式。誤差分析及算例計算表明：擬合公式的最大相對誤差僅為0.261%，完全滿足實際工程的設計精度要求。該近似計算公式為半立方拋物線形斷面渠道正常水深計算提供了更加有效的計算方法，具有應用推廣價值。

拋物線形渠道；均勻流水深；優化擬合；水力計算

由于拋物線形渠道斷面曲線連續，便于機械化施工作業，且有水流條件好、力學性能優越等優點，因此正越來越廣泛地被應用于水利水電灌排及城市供排水工程，而半立方拋物線形渠道就是該種斷面的主要形式之一。由于半立方拋物線形渠道斷面的水力計算涉及高次方程的求解，采用常規的試算法及圖解法不但計算過程繁復而且成果精度不高，因此相關的水力計算問題也逐漸引起了有關學者的重視，并開展了相關的研究工作［1－2］。由于渠道正常水深是渠道工程設計以及渠道水量實行自動控制的重要參數依據，因此開展半立方拋物線形渠道正常水深計算方面的研究具有一定的實際意義。就目前有關研究成果看，該項工作已經獲得了較大進展。文獻［3］提出了半立方拋物線正常水深的迭代計算法，但因無合理初值，反復計算工作量較大；文獻［4］通過優化擬合法給出了半立方拋物線正常水深的直接計算式，但公式形式不夠簡單，適用范圍較小，且擬合誤差較大（在原文給定范圍內，均勻流水深最大計算誤差達0.91%）；文獻［5］通過引入斷面特征水深，經對求解半立方拋物線形斷面渠道正常水深基本方程的變形整理，得到其求解正常水深的迭代公式，再根據優化計算獲得了迭代初值函數，通過初值函數與迭代公式聯合運用，給出了半立方拋物線形斷面渠道正常水深的計算公式，雖然公式適用范圍較廣，但因初值函數及迭代公式均較繁瑣，不便實際應用。為了進一步簡化半立方拋物線形斷面渠道正常水深的計算過程，本文采用優化擬合的方法，以標準剩余差最小為目標函數，獲得了一種表達形式簡捷、實用范圍廣、計算精度高的近似公式。

1 均勻流水深基本計算公式

以曼寧公式表示的明渠正常水深計算基本方程為［6］

式中：Q為過水流量（m3／s）；n為渠床糙率；i為渠底坡降；A為過水斷面面積（m2）；X為過水濕周（m）。

半立方拋物線形斷面曲線方程為

式中：p為半立方拋物線形狀參數（m－1／2）；b為過水斷面的水面寬度（m）；h為過水斷面的正常水深（m）。

半立方拋物線形過水斷面面積及濕周分別為：

將式（3）、式（4）代入式（1），經整理可得

式中：x為無量綱水深；k為特征參數。

將式（6）、式（7）代入式（5），經進一步整理即可獲得計算半立方拋物線形斷面正常水深的計算公式為

2 近似計算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（8）為高次函數的超越方程，無法直接獲解。為避免利用式（8）求解超越方程問題，現假設

并且式（9）擬合函數的值域在工程實用范圍內（即0.001 6≤x≤4.20，7.3×10－11≤k≤38.6）可以替代式（8），以標準剩余差最?。?］為目標函數即

式中n為擬合計算的數組數。

經逐次逼近擬合［8］，即可獲得如下替代函數

2.2 精度分析及比較

為比較式（10）與式（8）的擬合精度，考慮在工程實用范圍內并適當外延（即0.001 6≤x≤4.2，7.3×10－11≤k≤38.6），取不同的xi值，即可由式（8）分別計算出與之相對應的ki，再將ki代入式（10）求得與之相對應的x′i，并由下式完成式（10）替代式（8）的擬合相對誤差計算：計算結果如表1所示。

表1 式（10）替代式（8）相對誤差計算結果Table 1 Calculated relative errors by rep lacing equation（8）w ith equation（10）

由表1可見，在工程實用范圍內（即0.001 6≤x≤4.2），用式（10）替代式（8）的最大擬合相對誤差為0.261%，而當文獻［4］和文獻［5］公式的應用范圍取與本文相同時，其最大擬合相對誤差分別為23.159%和0.482%，分別是本文最大擬合相對誤差的88倍和1.85倍，本文式（10）具有更好的擬合替代精度。

通過對公式形式及通用性比較可見，本文公式較文獻［4］和文獻［5］公式更加簡單，計算過程也更加簡捷；本文公式的實用范圍為7.3×10－11≤k≤38.6，較文獻［4］公式具有更好的實用性。具體比較結果見表2所示。

表2 半立方拋物線正常水深公式形式、最大相對誤差比較Table 2 Comparison of equations and maximum relative errors for the normal depth of sem i-cubic parabolic channel

應該說明的是，上述擬合誤差分析是針對無量綱水深x進行的，因

而正常水深h的相對誤差計算應為

將式（12）、式（13）代入式（14），經整理可得

本文公式無量綱水深x的最大擬合誤差為0.261%，則由式（16）可求得正常水深h的最大計算誤差為0.391%。而當文獻［4］和文獻［5］的應用范圍取與本文相同時，水深h的最大計算誤差分別為32.642%和0.722%，本文公式正常水深h的最大計算誤差較文獻［4］和文獻［5］中公式計算的最大誤差分別減小了98.8%和45.8%。

3 算 例

采用文獻［4］算例：某半立方拋物線形渠道橫斷面的曲線方程為y＝0.4x3／2，渠道糙率n＝0.025，坡降i＝5.2×10－4，求當過水流量Q＝20 m3／s時渠道的正常水深h。

由式（6），可求得

將k＝0.086 131代入式（10）即可求得

經計算機編程計算得本例正常水深精確解為h＝3.341 m，本文公式計算相對誤差為0.15%。

4 結 論

半立方拋物線形渠道斷面正常水深計算涉及高次方程求解，為避免求解高次方程之繁，本文依據優化擬合理論，獲得了可直接完成該斷面正常水深求解的近似計算公式，與目前已有研究成果所提出的計算公式比較具有以下特點：

（1）公式表達形式更加簡潔直觀，更便于記憶，實際工作僅借助計算器即可實現快速完成解算，適于廣大基層工程技術人員實際應用。

（2）通過精度比較及算例計算分析表明，在實用參數范圍內，本文公式具有較高的計算精度，正常水深h的最大計算誤差僅為0.391%。完全可以滿足實際工程的設計精度要求。

［1］ 魏文禮，楊國麗.立方拋物線渠道水力最優斷面的計算［J］.武漢大學學報：工學版，2006，（3）：49－51.（WEIWen-li，YANG Guo-li.Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section of Cubic Parabola Channel［J］.Engineering Journal of Wuhan University，2006，（3）：49－51.（in Chinese））

［2］ 張志昌，劉亞菲，劉松艦.拋物線形渠道水力最優斷面的計算［J］.西安理工大學學報，2002，18（3）：235－237.（ZHANG Zhi-chang，LIU Ya-fei，LIU Song-jian.Parabola-Shaped Channel Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section［J］.Xi’an University of Technology，2002，18（3）：235－237.（in Chinese））

［3］ 明萬才，黃開路，張曉蓮.立方拋物線形斷面明渠水力計算探討［J］.水利科技與經濟，2002，8（2）：74.（MING Wan-cai，HUANG Kai-lu，ZHANG Xiao-lian.Cubic Parabolic Cross-Section of Open Channel Hydraulic Calculation［J］.Water Science and Technology and the Economy，2002，8（2）：74.（in Chinese））

［4］ 文 輝，李鳳玲.立方拋物線形渠道水力計算的顯式計算式［J］.人民黃河，2010，（1）：75－76.（WEN Hui，LIFeng-ling.Explicit Calculation of the Hydraulic Calculation of Cubic Parabolic Channel［J］.Yellow River，2010，（1）：75－76.（in Chinese））

［5］ 趙延風，王中正，方 興，等.半立方拋物線形渠道正常水深算法［J］.排灌機械工程學報，2011，2（3）：241－245.（ZHAO Yan-feng，WANG Zhong-zheng，FANG Xing，et al.Calculation Method for Normal Depth of Semi-Cubic Parabolic Channels［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2011，2（3）：241－245.（in Chinese））

［6］ 清華大學.水力學（修訂本）上冊［M］.北京：清華大學出版社，1990.（Tsinghua University.Hydraulics（Revised）the First Volume［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1990.（in Chinese））

［7］ 王慧文.偏最小二乘回歸法及其應用［M］.北京：北京國防工業出版社，1999.（WANG Hui-wen.Partial Least Squares Regression Method and Its Application［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1999.（in Chinese））

［8］ 閻鳳文.測量數據處理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.（YAN Feng-wen.Method of Measurement Data Processing［M］.Beijing：Atomic Energy Press，1988.（in Chinese） ）

（編輯：劉運飛）

The Approximate Formula for NormalWater Depth of Sem i-Cubic Parabolic Channels

TENG Kai
（Qiqihar MunicipalWater Affairs Bureau，Qiqihar 161006，China）

The current calculation of the normalwater depth of semi-cubic parabola-shaped channel has such shortcomings as complex process and inadequate precision.Through transforming the basic equation of normal water depth and by introducing the dimensionless water depth and the characteristic parameter，we present an approximate formula which is obtained through successive approximation and fitting equation of normal water depth，with theminimum standard residual difference as the objective function.The formula is simple，convenient，applicable and practical.Error analysis and calculation example show that themaximum relative error is only 0.261%，which meets the requirements of engineering accuracy.This research provides amore effective approach of calculating the normal depth of semi-cubic parabolic channel.

parabolic channel；uniform flow depth；optimization and fitting；hydraulic calculation

TV131.4

A

1001－5485（2012）12－0030－04

10.3969／j.issn.1001－5485.2012.12.007 2012，29（12）：30－33

2011－10－17；

2012－01－15

滕 凱（1957－），男，黑龍江齊齊哈爾人，高級工程師，主要從事水利防災減災及工程優化設計研究，（電話）13704618836（電子信箱）tengkai007＠163.com。