梯形渠道恒定漸變流水面線計算的新解析法

黃朝煊

（浙江省水利水電勘測設計院，杭州 310002）

梯形渠道恒定漸變流水面線計算的新解析法

黃朝煊

（浙江省水利水電勘測設計院，杭州 310002）

對棱柱體明渠梯形斷面下的恒定非均勻流沿程水面線進行深入研究，基于恒定漸變流基本微分方程，通過對該微分方程無量綱化，采用數值分析理論，得到由簡單雙曲函數組成的新等效恒定漸變流基本微分方程；通過變量分離，直接積分得到流程S與始、末段水深h1，h2的解析函數；通過該解析函數可直接計算出沿程水面線。該方法比《溢洪道設計規范》中推薦的分段求和試算法更簡單、便捷，特別對水深較敏感段，規范推薦試算法誤差較大，并且逐段試算推求水深將導致末端斷面水深誤差逐步累積，導致誤差增大，精度下降。最后通過工程實例計算比較得出：新解析法計算成果與規范推薦法（程序）計算成果基本一致，對于渠長較長時新解析法成果甚至優于規范推薦的分段試算法，完全滿足工程實踐要求。

恒定漸變流基本微分方程；相對水深；數值擬合

梯形斷面是溢洪道及河道中最常見的斷面型式，由于其水面線計算較復雜，需借助計算機進行迭代試算求解，到目前作者暫未見有解析法求解?；诤愣u變流基本微分方程，可用分段求和差分試算法［1－2］，張建民［3－4］提出了收斂迭代法，國內外學者還提出龍格－庫塔、牛頓迭代法等多種方法求解。但以上方法均是基于分段分別計算各段水深的方法，這將導致各段水深成果誤差會逐步積累，越到末端，水深誤差就越大。并且以上計算方法均需借助計算機編程求解，工作量大，也不便于手算。鑒于此，本文以恒定漸變流基本微分方程為基礎，采用數值分析方法，得到了流程S與始、末段水深h0，h1的解析函數，通過此解析函數可直接計算出沿程水面線。

1 梯形斷面恒定漸變流基本微分方程

1.1 恒定漸變流基本微分方程

文獻［1］中給出了棱柱體明渠恒定漸變流基本微分方程為

對于梯形斷面：

其中：b為梯形渠道底寬（m）；h為渠道水深（m）；m＝（m左＋m右）／2為渠道兩岸平均坡比；B為渠道水面寬（m）；A為過水斷面面積（m2）；R為過水斷面水力半徑（m）；J為斷面水力坡降；i0為渠道坡降；n為渠道糙率；Q為渠道流量（m3／s）；v為斷面平均流速（m／s）；Fr為斷面弗氏數。

引入相對水深無量綱量：ˉh＝h／b，將梯形斷面水力參數關系公式（2）代入微分方程（1）得

其中：

1.2 無綱量積分函數的數值擬合分析

無綱量積分函數f（ˉh），g（ˉh），是相對水深ˉh＝h／b和渠道邊坡m之間的函數，分別取m＝0，0.5，1.0，2.0，分析函數f（ˉh），g（ˉh）的變化關系，見圖1、圖2。

圖1 無量綱函數f（ˉh），g（ˉh）與相對水深ˉh＝h／b（ˉh＜0.2）及坡比之間的關系圖Fig.1 Relationship between the dimensionless function（f（ˉh），g（ˉh））and relative water depth（ˉh＜0.2）under different slope ratios

圖2 無量綱函數f（ˉh），g（ˉh）與相對水深ˉh＝h／b（0.2＜ˉh＜1.0）及坡比之間的關系圖Fig.2 Relationship between the dimensionless function（f（ˉh），g（ˉh））and relative water depth（0.2＜ˉh＜1.0）under different slope ratios

通過數值分析，當相對水深在ˉh∈（0.06，0.17），ˉh∈（0.17，0.35）區段時，可分別采用雙曲函數分段擬合以上無量綱函數f（ˉh），g（ˉh），其擬合誤差小于5%，相關系數大于0.97，擬合函數見公式（5），平均邊坡m＝0，0.5，1.0，2.0時的相應擬合參數見表1。

為了簡化，記函數：

其中記號參數f1（m），f2（m），f3（m），g1（m），g2（m），g3（m）分別根據表1對應確定，擬合相關系數均大于0.97。

1.3 恒定漸變流水面線變化趨勢的判斷

為了合理確定水面線推算的起始斷面位置、起始斷面水深以及水面線推算方向，本文對水面線分區及變化趨勢進行了定性分析，以便合理選取下文解析解相關參數。

文獻［1］中通過斷面的起始水深與正常水深h0、臨界水深hk之間的關系，對恒定漸變流水面線的變換趨勢進行了定性分析，根據明槽各特征水深的相互關系分為3種情況：

（1）第①區，h＞hk且h＞h0，水面線位于正常水深和臨界水深之上，i－J＞0，1－Fr2＞0，d h／d s＞0，該區水面線為壅水線。

（2）第②區，hk＜h＜h0或h0＜h＜hk，水面線位于正常水深和臨界水深之間，i－J＜0，1－Fr2＞0或i－J＞0，1－Fr2＜0，d h／d s＜0，該區水面線為降水線。

（3）第③區，h＜hk且h＜h0，水面線位于正常水深和臨界水深之下，i－J＜0，1－Fr2＜0，d h／d s＞0，該區水面線為壅水線。

對梯形斷面的臨界水深hk（Fr＝1，即d h／d s＝＋∞）的計算，至今已有多種方法，王正中在文獻［5］中給出了幾種基于數值擬合下的直接算法，其精度較高。

式中：b為梯形渠道底寬（m）；hk為渠道臨界水深（m）；m＝（m左＋m右）／2為渠道兩岸平均坡比；α為流速不均勻系數取1.0；Q為渠道流量（m3／s）。王正中給出的高精度擬合下的相對臨界水深求解公式：

表1 無量綱函數雙曲擬合成果表Table 1 Hyperbolic fitting results of dimensionless functions

可見臨界水深與渠道斷面尺寸有關，與縱坡、糙率無關。

對于梯形斷面的正常水深h0（即d h／d s＝0）計算，王正中在文獻［6］中給出了基于數值擬合和迭代相結合的直接算法公式，本文對其進行適當修正：

式中：ˉh0擬合＝AKB0，其中A＝1.8×0.47m0.333，B＝0.72×0.75m0.4。

由上式可知，梯形斷面渠道正常水深不僅與渠道斷面尺寸、流量有關，還與渠道與縱坡、糙率有關。

圖3 梯形明渠相對正常水深與無量綱量K0、臨界水深與無量綱量（k／m）的關系曲線Fig.3 Curves of the relative normal depth vs.dimensionless parameter K0，and curves of critical depth vs.dimensionless parameter of trapezoidal open channel

根據起始水深與臨界水深、正常水深之間關系可定性判斷水面線的變換趨勢，更有利于水面線的計算。

1.4 恒定漸變流水面線解析解

將上文分析得到的無量綱函數f（ˉh），g（ˉh）代入基本微分方程（3）得

變化以上微分方程為簡單函數積分形式：

對方程（9）積分得

其中常參數：

最后，得恒定漸變流沿程水面線應滿足以下解析函數為

式中：參數S為流程（m）；b為渠道底寬；常數參數a1，a2由公式（9）中常數給出；ˉh1＝h1／b，ˉh2＝h2／b為相對水深（m）；常數參數ξ，由公式（10）中常數給出；常數參數f3（m），g3（m）由表1中常數給出。參數a1，a2，a3，ξ，與過流流量Q，渠道底寬b，渠道縱坡坡比i0，渠道糙率n，渠道邊坡m有關；參數f3（m），g3（m）只與渠道邊坡m有關，其直接計算公式如下：

記號參數f1（m），f2（m），f3（m），g1（m），g2（m），g3（m）取值分別根據表1對應確定。

本文提出的恒定漸變流水面線解析求解公式（11）是通過高精度數值分析理論得到的，比分段試算法更直觀，也能避免由分段逐推而導致的誤差累積效應。

本文提出的解析法無需逐推各段水深就可直接求出末端水深，而《溢洪道設計規范》中推薦的分段求和法需試算推求各段水深才可求出末端水深，過程復雜繁瑣。且逐段試算推求水深將導致末端斷面水深誤差逐步累積，導致誤差增大，精度下降。

最后通過工程實例計算比較得出：本文新解析法計算成果與規范推薦法（程序）計算成果基本一致，渠長較長時本文解析法成果甚至優于規范推薦的分段試算法，完全滿足工程實踐要求。

致謝：感謝浙江省水利水電勘測設計院沈貴華總工對本論文提出的寶貴意見！

2 算例分析

為了驗證本文理論，通過算例分析本文基于數值分析理論成果，與文獻［1］中分段求和法程序水面線成果進行比較。

算例1：某梯形渠道底寬b＝6 m，邊坡系數m＝2，底坡為0.001 6，粗糙率為0.025，流量為10 m3／s，渠道末端水深h2＝1.5 m，渠道長1 000 m，試計算其沿程水面線。

利用公式（10）算得其臨界水深為hk＝0.612 m，正常水深采用公式（11）、（12）計算得h0＝0.963 m，由于屬于緩坡，采用本文公式（8）反推計算其壅水水面線，相關參數由公式（9）計算，記號參數fi（m），gi（m）根據m＝2，由表1相應取值，通過計算得水面線成果見圖4。

圖4 算例水面線計算成果圖Fig.4 Result of water surface curve for the calculation examp le

3 結 語

本文對棱柱體明渠梯形斷面下的恒定非均勻流沿程水面線計算進行了深入研究，基于恒定漸變流基本微分方程，通過采用數值分析方法，得到流程S與始、末段水深h1，h2的解析函數，通過該水面線解析解可直接計算出沿程水面線。該方法比《溢洪道設計規范》中推薦的分段求和試算法更簡單、便捷，特別對水深較敏感段，規范推薦試算法誤差較大，并

［1］ 武漢大學水利水電學院.水力計算手冊［M］.北京：中國水利水電出版社，2006：63－69.（School of Water Resources and Hydropower ofWuhan University.Hydraulic Calculation Manual［M］.Beijing：ChinaWater Power Press，2006：63－69.（in Chinese））

［2］ SL253—2000，溢洪道設計規范［S］.北京：中國水利水電出版社，2000：54－56.（SL253—2000，Design Code for Spillway［S］.Beijing：China Water Power Press，2000：54－56.（in Chinese））

［3］ 張建民，王玉蓉，許唯臨，等.恒定漸變流水面線計算的一種迭代方法［J］.水利學報，2005，36（4）：501－504.（ZHANG Jian-min，WANG Yu-rong，XU Wei-lin，etal.New Iteration Method for CalculatingWater Level of Gradually Varied Steady Flow［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2005，36（4）：501－504.（in Chinese））

［4］ 萬五一，江春波，李玉柱.變步長法在天然河道水面線計算中的應用［J］.哈爾濱工業大學學報，2007，39（4）：648－650.（WANWu-yi，JIANG Chun-bo，LIYuzhu.Application of Varies Increment Iteration to Simulation of Water-Surface Profile in Natural Channels［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2007，39（4）：648－650.（in Chinese））

［5］ 王正中，袁 駟，武成烈.再論梯形明渠臨界水深計算法［J］.水利學報，1999，（4）：14－17.（WANG Zhengzhong，YUAN Si，WU Cheng-lie.A Final Inquiry on a Formula for Calculating Critical Depth of Open Channel with Trapezoidal Cross Section［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1999，（4）：14－17.（in Chinese））

［6］ 王正中，席跟戰，宋松柏，等.梯形明渠正常水深直接計算公式［J］.長江科學院院報，1998，15（6）：1－4.（WANG Zheng-zhong，XIGen-zhan，SONG Song-bai，et al.A Direct Calculation Formula for Normal Depth in Open Trapezoidal Channel［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，1998，15（6）：1－4.（in Chinese） ）

（編輯：劉運飛）

A New Analytical M ethod of Computing Water Surface Curve of
Constant and Gradually Varied Flow in Trapezoidal Channel

HUANG Chao-xuan
（Zhejiang ProvincialWater Conservancy and Hydropower Survey and Design Institute，Zhejiang 310002，China）

A new method to calculate the water surface curve along constant nonuniform flow in trapezoidal cross section of prismoidal open channel is presented.Through numerical analysis and the dimensionless basic differential equation of constant and gradually varied flow，a new equivalent basic differential equation which comprises the simple hyperbolic function is obtained.By variable separation and direct integral，the analytic functions between the flow path S and water depth h1and h2respectively in the beginning and final part are obtained，through which the water surface profile is computed.Thismethod is simpler and more convenient than the trial-and-error procedure by partition and summation recommended in Spillway Design Standard，Especially for sectionsmore sensitive to water depth，the error of the trial-and-error procedure is bigger owing to the accumulation of errors section by section.Computation example shows that results of this new method is generally consistent with that of the procedure in the Standard，and evenmore superior for long channels.Thismethod meets the requirements of the project practices.

basic differential equation of constant and gradually varied flow；relative water depth；value fitting

TV131

A

1001－5485（2012）11－0046－04

2011－10－23；

2012－01－13

黃朝煊（1983－），男，湖北黃石人，碩士研究生，主要從事水工結構工程研究，（電話）13819483276（電子信箱）516227811＠qq.com。