基于特征參數的隨機噪聲雷達相關輸出研究

武 昕 李 澍 劉 暢 王巖飛

（1.中國科學院電子學研究所，北京100190；2.中國科學院研究生院，北京100039）

引 言

隨著電磁環境的日益復雜，提高雷達的抗干擾性能成為了必要。隨機噪聲雷達［1］是一種具有強抗干擾性的雷達體制，它以微波噪聲或噪聲調制信號為發射信號。由于發射信號的隨機性，它具有優良的低截獲概率（LPI）、電磁兼容性（EMC）和電子反對抗性（ECCM）［2－4］。隨機噪聲雷達已經形成了較完整的理論體系，南京理工大學電子工程技術研究中心取得了大量研究成果，先后成功研制了隨機調頻連續波雷達系統、正弦加隨機調頻連續波雷達系統、隨機二相碼連續波雷達系統等［1－2］。文獻［1］對隨機噪聲雷達的基本原理、典型的隨機噪聲雷達系統作了深入分析。采用隨機噪聲信號體制可有效提高雷達在戰爭環境下的生存能力，其很強的抗干擾能力可以在多種復雜的干擾環境中體現［3－5］。美國內布拉斯加大學環境遙感實驗室對噪聲雷達的極化和干涉特性進行了研究，并推出了探測掩體目標的新穎超寬帶隨機噪聲連續波雷達系統［6］。噪聲雷達的理論和數學模型在不斷地更新和完善，近期文獻［7－8］提出了信號形式和數字特征會對相關輸出造成影響。針對噪聲雷達時域相關的特點，文獻［9－10］提出了適用于噪聲雷達系統的旁瓣抑制方法。隨機噪聲雷達在成像領域的應用是研究的熱點［11］，將其用于合成孔徑雷達（SAR）和逆合成孔徑雷達（ISAR）成像是重要趨勢。同時，與超寬帶技術的結合使得噪聲雷達具有很強的探測力和穿透力，對障礙物、圍墻之后的目標進行檢測和成像取得了最新研究成果［12］。

隨機噪聲雷達通過時域相關完成距離向脈沖壓縮，相關輸出是脈沖壓縮結果。因此，需要建立發射信號的數字特征參數與相關輸出之間的聯系。隨機噪聲雷達中同樣存在脈沖體制雷達的問題，強目標的旁瓣容易使附近弱目標的主瓣發生畸變，因此降低旁瓣對提高距離向分辨率有重要意義。通過分析隨機噪聲信號源的相關系數和方差建立了發射信號特征參數與相關輸出之間的聯系。在相關輸出的一般性數學模型基礎上，得到了以相關系數和方差為參數的相關輸出數學模型，并通過分析和推導得到了重要結論。該結論為隨機波形的設計提供了依據，同時為解決旁瓣抑制問題提供了新思路，驗證了特征參數的改變能夠很好地抑制旁瓣，使分辨率得到很大程度的提高。

1.隨機噪聲雷達系統與信號處理模型

隨機噪聲雷達系統通過時域相關來完成脈沖壓縮，圖1為系統的基本框圖。發射信號X（t）經目標反射后產生時延T0（反射系數設為1），由接收天線接收反射信號X（t－T0）；同時，發射信號的另一路分支通過信號延遲線提供變化的時延Tr來產生變化的參考信號X（t－Tr）.將X（t－T0）和X（t－Tr）兩路信號進行相關積分，可測得目標的距離和速度信息［7］。

圖1 隨機信號雷達系統框圖

隨機噪聲信號的復數形式可表示為

式中：ω0為傳輸信號的中心角頻率；XI（t）與XQ（t）是均值為零，帶寬為B的高斯過程。目標帶有速度信息時，反射信號延時為t的函數，記作T，如式（2）所示。

R0是目標與雷達的最初距離，c為電磁波傳播速度。將式（2）代入式（1），則反射信號可表示為

式中α＝1－2ν/c帶有目標的速度信息，稱作速度因子。參考信號通過延遲線提供變化的時延Tr和變化的速度因子αr與反射信號X（t－T）作相關積分，積分輸出的峰值處滿足T＝Tr且α＝αr，從而根據R0＝cTr/2和ν＝c（1－αr）/2得到目標的位置和速度。相關積分的數學表達如式（4）所示。

式中TN為相關積分時間。由于XI（·）和XQ（·）服從同一分布，它們的方差和均值相等，從而其自相關函數RI（·）和RQ（·）相等，記作RI（·）＝RQ（·）＝R（·）.相關輸出可近似為相關積分的均值，表示為

式中：Δα＝α－αr；ΔT＝T0－Tr；RIQ（·）是XI（·）和XQ（·）的互相關函數，且RIQ（·）＝（·）.由于互相關函數值很小可以忽略，因此，相關輸出可簡化為

2.基于相關系數和方差的相關輸出數學模型

實際中以噪聲調制信號作為發射信號的情況更為廣泛，并且其相關輸出特征更為復雜。以噪聲相位調制和頻率調制信號為對象進行分析，在式（6）基礎上建立依賴于噪聲源信號相關系數和方差的相關輸出數學模型。

2.1 相位調制信號的相關輸出數學模型

經過隨機噪聲相位調制后的信號復數表達式［7］為

式中，θ（t）是均值為零，方差為的高斯分布隨機噪聲信號。不失一般性A＝1，其相關輸出可表示為

對比式（8）和式（6），R（Δαt－ΔT）即為噪聲相位調制信號的自相關函數，其表達式為

依據隨機過程理論，均值為零時二維高斯分布的特征函數［13］為

將式（11）代入式（8）即可得到以噪聲源信號的相關系數和方差為參數的相關輸出表達式，如式（12）所示。

2.2 頻率調制信號的相關輸出數學模型經過隨機噪聲頻率調制后的信號可表達為［7］

式中，f（x）是均值為零，方差為的高斯分布隨機噪聲信號。設則式（8）和（9）同樣適用于頻率調制信號。令Δαt－ΔT＝τ，重寫式（9）為

式（14）即為噪聲頻率調制信號的自相關函數，式中Δθ為 （t′＝αrt－Tr）

由隨機過程理論可知，均值為零、方差為σ2的一維高斯分布ξ的特征函數［13］為

對比式（14）與式（16），R（τ）可看作t＝1時一維高斯隨機變量Δθ的特征函數，則R（τ）可表示為

式中ρf（τ）是f（x）和f（x－τ）的相關系數。根據方差的定義，并將式（18）代入后用可表示為

將式（19）代入式（17）可得

將式（20）代入式（8），可得到以噪聲源信號的相關系數和方差所表達的相關輸出表達式，如式（21）所示。

3.相關系數和方差對相關輸出和帶寬的影響

自相關函數R（τ）決定了相關輸出，噪聲源信號的相關系數和方差是R（τ）的決定性參數。依據所建立的數學模型分析噪聲源信號的相關系數和方差對相關輸出及帶寬的影響。

3.1 相關系數和方差對相關輸出的影響

根據相關系數的定義，ρp（τ）和ρf（τ）可記作

式中Rθ（τ）和Rf（τ）分別為噪聲源信號θ（t）和f（x）的自相關函數。

根據式（22）和（23）可知，ρp（τ）和ρf（τ）實質上取決于θ（t）和f（x）的自相關函數。由于信號的方差為常數，相關系數與噪聲源信號的自相關函數具有相同的形式。由維納—辛欽定理［13］可知自相關函數和功率譜函數是傅里葉變換對，隨機噪聲信號的功率譜函數直接影響相關系數，通過功率譜來分析相關系數對輸出的影響。從實用性和普遍性考慮，選擇矩形、高斯形和類鐘形三種形式的功率譜函數，對應的Rθ（τ）和Rf（τ）分別為sinc函數、高斯函數和雙邊指數函數。相關系數也具有這三種函數形式。將具體的相關系數代入式（11）和（20），可得到自相關函數R（τ）的表達式，如表1所示。

表1 取三種相關系數時調制信號的自相關函數R（τ）

相關系數決定了R（τ）的函數形式，從而決定了相關輸出的主瓣能量分布和旁瓣水平。當噪聲源信號為矩形功率譜時，相關系數為sinc函數，輸出有明顯的旁瓣，并且具有一定周期性。當相關系數為高斯函數時，沒有明顯的旁瓣，但主峰不尖銳，主瓣較寬。當相關系數為雙邊指數時，沒有明顯的旁瓣，且主峰尖銳，能量集中。仿真實驗可以對該結論進行驗證。

分析方差對相關輸出的影響。衡量脈沖壓縮性能的兩個重要指標是峰值旁瓣比 （PSLR）和積分旁瓣比 （ISLR），它們的定義為

式中：Rside和Rmain分別為旁瓣高度和主瓣高度；Ptotal為總功率；Pmain為主瓣功率。

以ρp（τ）取sinc（πBτ）的相位調制信號為例進行分析，B為噪聲信號θ（t）的帶寬。式（11）決定了相位調制信號的相關輸出，對式（11）求一階導數可得

B為帶寬是定值，根據式（26）可知式（11）的極值點是固定點，不隨方差而變化。旁瓣高度為R（τ）某一極值點的函數值，它只隨方差的變化而變化。根據式（11），R（τ）是關于方差的減函數，因此隨著方差的增大旁瓣高度會減小。在不同的方差下式（11）具有相同的極限最大值，如式（27）所示。

max｛R（τ）｝可看作主瓣高度，因此，PSLR是方差的減函數，隨著方差的增大PSLR減小，指標性能得到提高。方差的增大同樣使ISLR減小，在仿真結果中可得到驗證，在此不作出數學分析。

表2為不同方差下，ρp（τ）為sinc（πBτ）時R（τ）的PSLR和ISLR，反映出隨著方差的增大，兩項指標值大幅減小，指標性能得到提高。同樣，該結論適用于相關系數為其它形式的情況及頻率調制信號。

表2 不同方差下R（τ）的兩項指標/dB

圖2所示為不同方差下R（τ）的輸出。圖2（a）和圖2（b）分別為ρp（τ）＝sinc（πBτ）和ρp（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時相位調制信號的R（τ）輸出。圖2（c）為ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時頻率調制信號的R（τ）輸出。圖2（c）中取方差與時間常數τ0乘積的變化。因為時間常數為定值，方差與時間常數乘積的變化等價于方差的變化。從圖2（a）和（b）可以看出，隨著方差的增大，旁瓣水平明顯降低，主瓣變窄變尖銳。圖2（c）同樣可反映出方差的增大使主瓣變尖銳，分辨率得到很大程度的提高。主峰和旁瓣的形式取決于相關系數的形式，同時與調制方式有關。方差對相關輸出的影響主要表現在對R（τ）的影響上。

噪聲源信號的相關系數決定了相關輸出的形式和旁瓣水平，方差對分辨率的提高和旁瓣的抑制起到重要作用。

3.2 相關系數和方差對帶寬的影響

隨機信號的方差反映了信號偏離總體均值的程度，方差越大說明信號的波動和起伏越大，因此所需的帶寬越大。下面利用數學推導證明該觀點。

發射信號的帶寬定義為［7］

式中S（f）為發射信號的功率譜。自相關函數R（τ）為S（f）的傅里葉逆變換，如式（29）所示。

對式（29）求二階導數為

綜合式（28）～（30）可得

分別對式（11）和（20）求二階導數，可得到相位調制信號和頻率調制信號自相關函數R（τ）的二階導數，如式（32）和（33）所示。

當賦予相關系數ρp（τ）和ρf（τ）具體的函數形式時，可以建立調制信號帶寬BX與噪聲信號方差的關系。

對于相位調制信號，當相關系數ρp（τ）分別為sinc函數、高斯函數和雙邊指數函數時：

對于頻率調制信號，由式（33）得到R″（0）/R（0），因此，對于不同形式的相關系數，來決定。

4.實驗仿真

為了驗證結論的有效性，針對相關系數和方差對相關輸出的影響進行了仿真實驗。仿真的基本參數如表3所示，其中ΔR為目標距離與延遲線時延對應的距離之差，與ΔT的對應關系為ΔT＝2ΔR/c；ΔV為目標速度與延遲線提供的速度之差。在仿真結果圖示中，橫坐標軸的距離均對應于ΔR，縱坐標軸的速度均對應于ΔV.

表3 仿真參數

圖3為直接發射隨機噪聲信號時噪聲雷達系統的相關輸出。圖3（a）與圖3（b）分別顯示了發射信號的功率譜函數為矩形和高斯形時的相關輸出。當噪聲信號為矩形功率譜時，相關輸出有明顯的旁瓣產生，這是由sinc函數造成的，并使旁瓣具有一定的周期性。當功率譜函數為高斯形時，相關輸出的主瓣相比矩形功率譜時較寬。對于能量一定的兩種函數，高斯函數的能量主要集中在主瓣，而sinc函數的旁瓣分散了部分能量，從而造成了高斯形功率譜所輸出的主瓣相對較寬。

圖4所示為發射噪聲相位調制信號，且相關系數ρp（τ）＝sinc（πBτ）時雷達系統的相關輸出。圖4（a）和圖4（b）分別為σθ＝1和σθ＝1.5時的相關輸出。對比圖4（a）與圖4（b），在大方差情況下，相關輸出的旁瓣得到了有效抑制，主瓣變窄變尖銳，分辨率顯著提高。

綜合以上的推導，相位調制信號不適合采用類鐘形功率譜函數，即相關系數為雙邊指數函數的情況。對于其他情況，結果可統一表示為＝，其中σ2為噪聲源信號的方差，相位調制信號為，頻率調制信號為；C為大于零的常數，不同情況下的取值不同。調制信號的帶寬BX是方差σ2的單調增函數，因此BX隨著方差σ2的增大而增大。

圖5所示為發射噪聲頻率調制信號，且相關系數ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）時相應的相關輸出。圖5（a）和圖5（b）為σfτ0＝0.1和σfτ0＝0.15時對應的相關輸出。雙邊指數形式的相關系數決定了其相關輸出沒有明顯的旁瓣。因此，在方差較小時也沒有旁瓣產生，但方差的增大使相關輸出的主瓣能量更集中，使主峰變尖銳，分辨率得到提高。為了對仿真結果作定量分析，表4列出了不同方差下相關輸出的主瓣寬度，同樣反映出方差的增大能夠使主瓣寬度變窄。

表4 不同方差下輸出的主瓣寬度

實際中方差的選擇要以主瓣寬度的要求為依據。以圖4和圖5的仿真為例，如果要保證相關輸出的主瓣寬度小于1.5m，對于ρp（τ）＝sinc（πBτ）的相位調制信號，噪聲源信號的方差應大于1；對于ρf（τ）＝exp（－｜τ｜/τ0）的頻率調制信號，相應的方差選擇應大于（0.2/τ0）2.

5.結 論

立足于分析隨機噪聲信號的數學特性，以相關系數和方差兩項特征參數為基礎深入分析了隨機噪聲雷達的相關輸出特性。依據隨機噪聲雷達的基本工作原理得到了一般性的相關輸出數學模型，在此基礎上進一步建立了調制信號的相關輸出數學模型，該模型依賴于噪聲源信號的相關系數和方差。依據該模型分析了噪聲源信號的相關系數和方差對相關輸出和帶寬的影響。

相關系數決定了相關輸出的整體形式，當相關系數為sinc函數時，相關輸出有明顯的旁瓣；相關系數為高斯函數和雙邊指數函數時，均沒有旁瓣產生，但相關系數為高斯函數時輸出的主瓣較寬。方差直接影響相關輸出的主瓣和旁瓣水平，方差的增大能夠有效地抑制旁瓣，并使主瓣能量更集中，主峰變尖銳，分辨率得到顯著提高。仿真結果有效地驗證了結論，為波形的選擇提供了依據。此外，通過取不同形式的相關系數得到了噪聲源信號方差與調制信號帶寬的關系，帶寬可以表示為方差的單調增函數，因此方差的增大會導致帶寬增大。

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