基于改進型蟻群算法的陣列天線綜合

趙小瑩 柯騰龍 丁憶涵

（北京航空航天大學電子信息工程學院，北京100191）

引 言

采用陣列天線可以提高天線增益和輻射效率，控制波束、降低副瓣電平，或是對某個特定方向產生零陷抑制，使系統達到更好的電磁兼容性［1－2］。因此，陣列天線方向圖的綜合技術和相關優化算法越來越受到重視。陣列天線方向圖綜合一般是通過改變陣元激勵的幅度、相位或位置等多個參量使天線陣的遠區方向圖滿足所需要求。

陣列天線綜合的傳統方法有Chebyshev綜合法和Taylor綜合法［2］，但是由于天線優化過程中的目標函數或約束條件呈多參數和非線性的特點，傳統的陣列天線綜合方法無法有效地求得工程上的滿意結果。隨著計算機技術的發展，近幾年來應用仿生優化算法對陣列天線進行綜合已成為研究的熱門課題［15］。 遺傳算法 （GA）［8－10，13］和粒子群算法（PSO）［12，14］已被廣泛地應用到優化陣列天線的方向圖綜合領域。作為另一種智能仿生算法，本文采用蟻群算法［3］（ACO），以天線陣元的激勵為待優化變量，以陣列天線副瓣電平和給定方向產生零陷抑制為設計目標，對陣列天線的方向圖進行優化。

蟻群算法是一種基于蟻群在覓食過程中尋找食物與蟻巢間最短路徑的原理而發展起來的一種智能仿生算法。蟻群算法由Marco Dorigo于1992年在他的博士論文中提出，一直受到廣大學者的研究和關注。蟻群算法收斂速度快，魯棒性強，在解決旅行商問題［4］（TSP）、車業作業調度問題［5－6］（JSP）等問題中都取得了不錯的效果。在優化天線陣列領域，文獻［7］中，將天線陣陣元的激勵置成1或0（即只有‘開’和‘關’兩種狀態），利用蟻群算法，優化了稀布陣問題。由于傳統蟻群算法對離散問題非常有效但難以優化連續函數問題，所以目前將蟻群算法應用到陣列天線綜合領域還極少見文獻報道，而連續函數優化是現代陣列天線綜合技術必需解決的問題。其他智能仿生算法大部分本就適用于連續函數優化，例如文獻［13］［14］通過優化可連續改變陣元的激勵幅度，達到降低副瓣電平并且對某些特定方向產生零陷抑制的天線陣方向圖設計的目的。

為了解決傳統蟻群算法對于構建螞蟻路徑時的離散性和陣列天線函數的連續變量之間的矛盾，本文提出一種改進型的蟻群算法，該算法將函數的連續變量進行不整編碼，并根據連續變量的特點，在變量鄰域內同樣更新信息素。針對于傳統蟻群算法易于收斂到局部最優解的缺點，引入最優點鄰域搜索［11］，在提高算法的收斂速度的同時，也在一定程度上提高了算法的最優解搜索能力。

本文首先對基本蟻群算法進行簡介，然后詳細闡述了改進型蟻群算法的技術要點，最后通過引入4個實例表明采用改進型蟻群算法進行陣列天線綜合是可行且有效的。并在實例中與相關文獻的遺傳算法［13］和粒子群算法［14］進行比較，仿真結果表明本文方法具有一定的優勢。

1.基本蟻群算法介紹

基本的蟻群算法可以用蟻群算法解決TSP問題的例子來予以說明［4］。TSP問題是指：在給定的n個城市，找出一條最短的經過所有城市并且每個城市都只經過一次的封閉路線。假設有m只螞蟻，城市i和城市j之間的距離為dij（i，j＝1，2…，n），在t時刻，城市i和城市j之間的信息素大小為τij（t），螞蟻根據信息素的大小，來確定下一步選擇的城市。在t時刻螞蟻k由原來的城市i向城市j移動的概率表示為（t），概率的計算公式為

式中：ηij為啟發因子；這里ηij＝1/ddij；Tabuk表示螞蟻k已經走過的城市；α和β表示用于調節信息素強度和啟發式信息強度的系數。當每只螞蟻都完成一次遍歷之后，需要對信息素進行更新。信息素的更新公式為

式中，ρ為信息素殘留因子，范圍為0到1之間。

基本蟻群算法優化的變量都是離散的，而陣列天線方向圖綜合問題的待優化變量如天線陣元的激勵，均是連續性的變量，所以基本蟻群算法并不適用于陣列天線方向圖綜合問題。

2.改進型蟻群算法

2.1 目標函數分析

本天線陣方向圖綜合的問題，考慮為一個由2n個各向同性天線陣元組成的等間距直線陣列天線，其陣元的激勵電流幅度為對稱的，通過調整每個陣元的激勵電流的幅度使得天線陣列的方向圖達到預期的特性指標。天線陣的陣因子可以表示為

式中：Is為在天線陣列中的第s個陣元的激勵幅度；d為陣元間的距離；α＝kdcosφ0，當且僅當φ＝φ0時F（φ）最大，即主瓣指向的方向為φ0方向。

對于本天線陣方向圖綜合，考慮的方向圖的特性指標為最大副瓣電平和指定位置上的零陷深度，所以將優化的目標函數定義為

式中：SLVL為最大旁瓣電平的期望值；MSLL為計算得到的實際方向圖的最大旁瓣電平；NLVL為零陷深度的期望值，并且期望在φi角度上獲得零陷，其中當MSLL＜SLVL時令γ｜MSLL－SLVL｜項為0，當（φi）＜NLVL時令項為0.

2.2 不整編碼尋優

針對陣列天線綜合這個多變量連續函數優化問題，將每個天線陣元的激勵幅度In都限定在0到1之間，在精度允許的情況下，將每個激勵變量都分成m等分，于是構成了m×n個離散點，從而將n個變量的連續函數優化問題轉換為在m×n個離散點選擇出n個點的離散優化問題。

每個螞蟻都從把第一個陣元作為起點，將最后一個陣元作為終點，當螞蟻從第一個陣元走到最后一個陣元的時候，每個螞蟻構成一個解。這里將信息素定義在每個離散的點上，而不是定義在路徑上。第k只螞蟻，在第i個陣元上，在m個點中選擇第j個點的概率為

式中：α用于調節信息素強度；τij表示為在第i個陣元的第j個等分點上的信息素，如果在第i個陣元上選擇了第j個等分點，就代表螞蟻k在第i個陣元上選擇的激勵為j/m.當每個螞蟻都完成各自遍歷之后，將每個螞蟻的路徑都轉換為相應的激勵，并計算天線陣的遠場方向圖，最后計算目標函數的值。

2.3 鄰域優化

盡管將天線陣列方向圖綜合問題進行了離散化處理，但其本質上仍是連續性問題。在這里，根據該問題連續性的特點，通過引入了最優解鄰域尋優和鄰域信息素更新，來進一步提高算法的尋優能力。

在所有的螞蟻都完成一次遍歷后，進行最優解的鄰域尋優［11］。最優解的鄰域尋優主要是在該次迭代最優解的路徑上的一個鄰域范圍內，隨機選出若干條新的路徑，并計算這些新路徑的目標函數值，如果在這些新路徑中尋找到了比原來的最優路徑更好的路徑，則用該新路徑替換掉原來的最優路徑。最優解的鄰域尋優可以加快算法的收斂速度和尋優能力，但是在鄰域范圍內搜索過多的路徑也會大大增加算法的復雜度。在這里，假設一共有ant只螞蟻，則鄰域內的搜索路徑條數應該控制在ant/4以內。

螞蟻完成遍歷并且完成鄰域尋優后，最后進行信息素的更新。信息素的更新分兩個步驟進行。首先進行的是信息素的全局更新。假設共有ant只螞蟻，在第t次迭代中，信息素的全局更新按照如下規則進行

式中：F（k）代表的是第k只螞蟻的目標函數值；ρ為信息素蒸發系數。在這里μ可以取10～15之間，另外Q1和Q2為信息素增強系數，一般取Q1＝3Q2，從而在最優的路徑上增加更多的信息素，大大提高算法的收斂速度。在完成信息素的全局更新之后，進行信息素的鄰域更新，即在每個螞蟻的遍歷路徑上經過點的附近，也同樣增加一定的信息素，用來表示第k只螞蟻鄰域上的信息素增加量

式中χ一般可以取2到5之間。

3.應用舉例

優化對象選取為線性對稱天線陣列，陣元為理想點源，忽略了陣元互耦、陣元通道幅相誤差等因素的影響。算法中權系數γ和δ分別取1和0.15，螞蟻數ant取為60，不整編碼等分數m＝600，調節信息素強度系數α取為1，信息素增強系數Q1取為1.5.

［例1］設計指標：n＝10，即天線的陣元個數為20個，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對準90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在經過1 000次迭代后，優化結果如下：其陣元的 電 流 激 勵 幅 度 依 次 為 0.94，0.908 33，0.82，0.731 67，0.595，0.48，0.348 33，0.236 67，0.158 33，0.093 33，其方向圖如圖1所示，最大副瓣電平為－40.077dB，零陷深度為－97.776dB，滿足了設計指標，比基于雙種群遺傳算法的文獻［13］的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了3.421 1dB和6.496 6dB.其迭代過程圖如圖2所示，在大約150次迭代時，目標函數f就已經收斂到5附近，收斂速度較快。

［例2］設計指標：n＝10，即天線的陣元個數為20個，陣元間距d＝0.4λ，主瓣對準90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在這里不整編碼等分數m＝1 000，其他參數保持不變。在經過1 000次迭代后，在經過1 000次迭代后，優化結果如下：其陣元的電流激勵幅度依次為0.964，0.96，0.811，0.812，0.551，0.572，0.296，0.312，0.114，0.134，其方向圖如圖3所示，最大副瓣電平為－41.36dB，零陷深度為－95.672dB，比文獻［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了5.821 8dB和3.737 7dB，方向圖如圖3所示。

［例3］設計指標：n＝10，即天線的陣元個數為20個，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對準90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，在64°、70°和76°三個位置形成零陷。

在這里不整編碼等分數m＝1 000，其他參數保持不變。在經過1 000次迭代后，優化結果如下：其陣元的電流激勵幅度依次為0.923，0.870，0.789，0.691，0.557，0.442，0.322，0.216，0.104，0.70，得到的最大副瓣電平為－39.457dB，3處零陷中絕對值最小的零陷深度為－91.519dB，比文獻［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了2.800 2dB和2.308 3dB，方向圖如圖4所示。

［例4］設計指標：n＝10，即天線的陣元個數為20個，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對準90°方向，SLVL＝－15dB，NLVL＝－95dB，在30°、40°、50°、60°和70°位置形成零陷。

由于需要優化的零陷個數較多，優化問題的復雜度較高。為了提高算法的搜索精度，令m＝10 000，ant＝100.在經過100次迭代后，優化結果如下：其陣元的激勵幅度依次為0.737 7，0.733 6，0.728，0.595 9，0.652 1，0.615 8，0.472 4，0.235 2，0.398 5，0.069 6，得到的各個角度的零陷深度均在－95dB以下，而且其最大副瓣電平為－20.044 dB，比文獻［14］中同樣采用100個粒子100次迭代的粒子群優化（PPSO）算法優化的最大副瓣電平降低了2.213dB.其方向圖如圖5所示。

4.結 論

采用改進型蟻群算法，通過優化天線陣元的電流激勵幅度，完成天線陣方向圖綜合，效果良好，計算結果表明其優化結果優于遺傳算法和粒子群算法。改進型蟻群算法，通過加入不整編碼和鄰域優化，比傳統的蟻群算法更適合于連續函數的優化，并且不容易陷入局部最優，收斂速度較快，為解決多變量連續函數優化問題提供了一種新思路新方法。

圖5 0.5λ間距30°、40°、50°、60°和70°方向形成零陷的優化方向圖

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