實數中無理數理解與根式的運算

黃健美

上教版把傳統教學中的《二次根式》拆分為兩部分《數的開方》與《二次根式》，先是七年級第一學期系統學習整式分式，在此基礎上第二學期安排學習《數的開方》;再是八年級第一學期學習《二次根式》，然后安排一元二次方程教學。實踐中認同這樣拆分是非常必要，而且是行之有效的。《數的開方》一章的教學中，由于實數中無理數比較抽象，對于無理數的理解或是根式的運算學生都感到比較難學。勾連往復優化教學中，我采用數形結合和類比思想讓學生加深理解，取得了較好的教學效果。

一、圓周率——無理數的初次見面

對策：重視人生第一次接觸，測量計算兩次探求，數形結合兩次拓展畫圖加深理解。

六年級第一學期在圓的學習中，學生實物測量計算探求各組圓的周長與直徑之比，比值接近3.14，學生操作幾何畫板再測，此時圓的直徑有大有小，得比值是個定值，提醒學生直觀觀測，小數位數怎樣？是否有循環節？學生明白了比值后還有省略號，是一個無限小數。

適時布置一個全班師生合作《圓周率之路》趣味畫圖，老師環狀開個頭3.1415926535897932384626…… （諧音記憶：山巔一寺一壺酒二龍舞三舞擺酒吃酒殺爾殺不死樂爾樂），每位學生續寫50位（以不同顏色），通過畫畫進一步明白圓周率是一個無限不循環小數。有學生感嘆：π真是條永無盡頭的小路啊！

畫畫中老師提供資料書籍《說不盡的π》，這是張景中院士主編的《好玩的數學》叢書之一，學生自發去圖書館借閱，由此更喜數學。適時推出有獎作業，單獨或自組合作小組《再畫π》：“你能在數軸上畫出π嗎？怎么畫？”。獎品為借閱給學生圖書館找不到的《好玩的數學》叢書（老師私藏版）。聰明的學生總是有的，受圓中測周長是化曲為直啟發，選取數軸單位長度1，自制1為直徑的圓形硬卡片，得周長π，從原點出發在數軸上滾動一周，完美畫出π。榜樣的力量是無窮的，還沒想到的同學發出“嘎簡單”的驚嘆，不甘落后，依此思路人人仿制一幅，對于π是個比值的理解也盡滲透在一幅幅圖畫中。

二、由于實數中無理數比較抽象，學生對于帶有根號的數有困惑

對策：利用數形結合思想讓學生深刻理解 的含義。

一方面利用學生熟悉的正方形及邊長、正方體及棱長來解釋：

為面積為2的正方形的邊長，邊長的平方=2，因此 ，所以

為體積為5的正方體的棱長，棱長的立方=5，因此 ，所以

另一方面利用數軸表達 的操作，這樣也有利于學生對于抽象無理數的理解。

實數其他計算公式由此一一順次可得理解。

三、由于符號困擾，學生對于平方根、立方根的列式計算是個難點

對策：在理解平方根與立方根意義的基礎上，偶次方根列式符號意義類比平方根，奇次方根列式符號意義類比立方根。（如下表所示）

四、根式的混合運算，班級中中下困難學生學習深感無力

對策：在1、2的基礎的上，利用類比思想進行根式計算教學。

（引入無理數后，學生的數域概念從有理數域升級到實數數域，雖然課堂中認真學習認識無理數，但是生活中無理數實際接觸甚少，幾乎無甚主動接觸，導致計算中常常一籌莫展。）

（1）實數的加減法類比合并同類項

1） ; ? ? ? ? ? ? ? ? ?2） ;

3） ; ? ? ? ? ? ? ? ?4） .

（2）類比運用運算律進行計算

類比運用乘法分配律：1） ; ? ? 2） ; ? ? ?3） ;

類比運用平方差公式：1） ; ? ? ? ?2） ;

類比運用同底數冪相乘或同底數冪相除：

1） ; ? ? ? 2） ; ? ? ? ?3） ;

類比運用完全平方公式：1） ; ? ?2） ; ? ? ?3） .

“書山有路勤為徑，學海無涯思作舟”，在教育教學中有時總會碰到各種困難，作為老師可以通過勤思多慮、精心設計、由簡至繁、層層推進，幫助學生走出困惑，得到成功的喜悅。這不僅解決了教學問題，還可讓學生更加深刻領會數學思想方法，做一個有數學素養的人。