頻率選擇表面電磁特性的多元自適應采樣分析

馬 鑫 萬國賓 王 威 萬 偉

（西北工業大學電子信息學院，陜西 西安710129）

引 言

頻率選擇表面（FSS）結構由沿二維方向上周期排列的單層或多層級聯導體單元組成，具有較強的空間濾波特性，在雷達天線罩、副反射面等方面有著廣泛應用。因此，近年來國內外學者對FSS的分析理論和工程應用方面進行了深入研究［1］。文獻中有多種FSS電磁特性的分析方法，其中譜域矩量法（MoM）因其較好的通用性和精度而被普遍采用［2］。但是當FSS單元形狀復雜或電尺寸較大時，直接矩量法求解大型矩陣方程非常耗時，需要尋求高速的算法。從加速算法本身著手，可采用共軛梯度法［3］，快速多極子［4］等方法，但是這些方法僅對單個點的計算非常有效。在FSS的分析與設計中，常常需要在較寬的頻帶或是入射角范圍內獲得散射特性［5］，如果逐點重復求解矩陣方程，必將導致巨大的計算工作量。因此，研究一種逼近方法快速分析FSS散射特性具有重要的現實意義。

目前，參數模型逼近的求解方法已被廣泛用于電磁散射的計算中。其中，漸近波形估計法通過采樣點的導數信息構建多項式模型，快速分析FSS的寬帶電磁散射特性［6］。但計算的準確性受到了級數收斂半徑的限制，并占用了大量的內存空間。Maehly逼近法依據Chebyshev節點變換關系選擇采樣點，基于Chebyshev級數展開的有理函數模型擬合未知電流［7－8］。由于參數模型的系數通過線性方程組求解，當采樣點數較多時，可能導致病態矩陣的產生，影響數值計算的穩定性。自適應頻率采樣（AFS）法基于Neville迭代算法在寬頻范圍內建立任意階數的有理多項式，用于分析微波電路的散射特性［9］和FSS的電磁特性［10］，大大縮減了整個頻率響應的計算時間。但AFS法局限于對頻率參數的自適應采樣，在FSS分析中還需要考察入射方向、結構參數等對FSS電磁特性的影響。

本文旨在將一維的AFS法擴展為可計算多元函數的自適應采樣法（ASM），并應用于FSS的電磁特性分析。文中首先建立FSS電磁特性分析模型以及散射參數的多元函數模型，其次基于Neville型拓撲關系分別給出一維和多維的自適應采樣方法，最后通過算例分析，考察頻率、入射方向等參數對FSS散射特性的影響，驗證方法的有效性。

1 模型與方法

1.1 FSS電磁特性分析模型

具有L層介質襯底的平面FSS結構如圖1所示 ，其中FSS位于第l與l＋1（l＝0，1，…，L）層介質界面。若頻率為f的平面波沿方向（θi，φi）照射，則其導體表面的電場積分方程為

圖1 平面波照射FSS

式中：Tx、Ty為FSS單元沿x、y方向排布的周期；分別為入射場和FSS結構的并矢格林函數；為導體未知感應電流。

采用矩量法求解未知電流可得到FSS的散射場，進而求得FSS的散射參數［11］。以TE極化傳輸系數為例，散射參數可表示為

式中：E＋為介質襯底的透射場與FSS結構散射場之和。

由式（1）～（4）可以看出，FSS的散射參數與（θi，φi）、 f 和 FSS結構參數（周期，介質參數、厚度）等多個變量有關。因此，可定義n維變量空間Π＝（x1，x2，…，xn）并建立相應的散射參數函數S（x1，x2，…xn）.若令x1為f，建立一維函數S（x1）可獲得FSS的頻帶響應 .若令x1、x2分別為θi、φi建立二維函數S（x1，x2），則可考察入射方向對散射特性的影響。為了獲得多個變量在較寬范圍內變化的FSS散射參數，需要采用矩量法反復計算電場積分方程，非常耗時。為此，引入ASM法來快速分析FSS的散射特性。

1.2 一維ASM法

對一維變量S（x0）建立有理函數模型

式中：μ、v分別為分子和分母多項式的階數；a，b為未知系數。為了避免求解系數矩陣，采用遞推拓撲技術Neville型算法［12］，如圖2所示。

圖2 Neville算法遞推表

在遞推關系中采用矩量法求解采樣點x0i處的散射參數Si0（x0i）作為第一列初始值，遞推關系從第二列開始，可選用以下三式建立

1.3 多維ASM法

對多元函數S（x1，x2，…，xn）建立有理函數模型

查找出現誤差最大的點作為下一個可能的采樣點，直至滿足誤差限ε，查找結束。選用不同遞推關系可構造不同函數模型，當采樣點足夠多時，函數模型均能達到誤差限范圍。詳細的遞推關系選擇方法參見文獻［9］。為方便ε的選擇，本文定義誤差為目標函數模型的結果與電磁計算的結果之差為

其中，μi（j）和vi（j）為整數函數，分別表示分子和分母中參數xi的次數，a、b為未知系數。為避免直接求解系數，將一維ASM法拓展為多維技術。定義為第i維空間的計算范圍，ψi為第i維空間的測試點集合，Φi為第i維空間采樣點集合，Ki為Φi內采樣點個數，xik為Φi內采樣點（k＝0，1，…，Ki－1）。初始化令各維空間的采樣點不需要等間距分布，但必須完全填充空間網格，如圖3所示。1）采樣點查找

A：初始化多維空間的Φi和ψi，令i＝1；

B：固定第s維（s≠i）空間參數xs，選擇Φs中各采樣點，分別沿平行于xi方向進行一維ASM法查找最大誤差εmax，如果εmax（）＜ε跳轉到步驟4，否則，出現最大誤差的測試點作為Φi的新采樣點，令Ki加1，矩量法計算在Φs中各采樣點的值以填充網格并作為下一步的初始值，i加1；

C：如果i≤n，重復步驟2，否則，令i＝1重復步驟2；

D：采樣點查找結束，采樣點網格已被完全填充，進行遞推內插。2）遞推內插

A：待求點為Q（x＊1，x＊2，…，x＊n），采樣點的散射參數作為遞推初始值，令i＝1；

B：固定第s維（s＝i＋1）空間參數xs，選擇Φs中各采樣點，分別沿平行于xi方向在x＊i點進行一維遞推內插得到過度點（x＊1，x2，…，xn）的內插值，其中x2，…，xn分別為Φ2，…，Φn中的采樣點，如圖3所示，令i加1；

C：前一步過度點集合作為下一步計算的初始值，固定第s維（s＝i＋1）空間參數xs為Φs中各采樣點，分別沿平行于xi方向在x＊i點進行一維遞推內插得到過度點（x＊1，x＊2，…，xn），令i加1；

D：重復步驟3，直至i＝n，得到待求點Q（x＊1，x＊2，…，x＊n）.

圖3 二維自適應采樣內插法

2 數值結果

基于上述ASM法，分別對十字形貼片和方形孔徑單元FSS的散射特性以及口徑天線－FSS罩系統方向圖進行計算，以驗證算法的有效性。

2.1 十字形貼片單元FSS

十字形貼片單元如圖4（a）示，單元尺寸為Ld＝6mm，Lw＝1mm，Tx＝Ty＝8mm .介質層結構如圖1示，選擇L＝3，l＝0，εr1＝εr3＝3，εr2＝1，h1＝h3＝0.2mm，h2＝10mm.圖5給出了平面波垂直入射時，1～30GHz寬頻內的頻率響應。ε設置為10－5，頻率采樣點為21個。圖6給出了以21GHz TE模式入射時，反射系數隨θi從1°～80°，φi從0°～45°的變化規律，圖中給出了φi分別為6°，16°和36°的三條曲線。ε設置為10－5，θi和φi方向的采樣點分別為33、32個。由結果可以看出，采用ASM法可采集到特曲線上突變的點，計算的結果與直接MoM計算的結果完全吻合，計算量明顯降低。

圖6 十字形FSS的入射角度響應

2.2 方形孔徑單元FSS

方形孔徑單元如圖4（b）示，單元尺寸Tx＝Ty＝16mm，W＝12mm.介質層結構如圖1示，選擇L＝2，l＝1，εr1＝εr2＝2.2，tanδ＝0.01，h1＝h2＝3.8 mm.ε設置為10－4，通過θi和φi方向21、20個采樣點，可得到TE極化10GHz平面波照射下θi從1°～80°，φi同時從0°～45°變化的FSS傳輸系數幅度3D曲線圖，如圖7示。若θi和φi方向分別以1°為步長，采用直接MoM求解得到同樣結果需要34個小時，但是采用多維ASM法僅用3.4個小時，計算效率明顯提高。

2.3 FSS天線罩

以拋物柱面FSS天線罩為例，橫截面外形方程為拋物線x2＝－a（z－hz），a為拋物線的焦距，hz為z向天線罩頂距原點的距離，柱面沿y方向長度為Ly，如圖8所示。選擇與圖7相同的方形孔徑FSS結構，單元分別沿y方向和橫截面的母線方向周期均勻排布。天線罩外形參數為：a＝12λ，hz＝12λ，Ly＝36λ.

圖9給出了坐標原點位置上工作頻率為10 GHz的矩形口徑面天線經過FSS罩的遠區輻射方向圖。其中FSS罩壁傳輸特性分別采用了直接MoM和ASM法計算，計算所需時間分別為90.4h、3.4h.圖10（見845頁）給出了罩面剖分單元位置上，采用ASM法計算FSS罩壁傳輸特性的誤差分布。其中，TE、TM極化傳輸特性的均方誤差分別為0.0943%，0.0347%，相對誤差大于1%的天線罩剖分單元個數占總剖分單元個數的比例分別為0.2229%，0%.由結果可以看出，ASM法的計算精度滿足工程要求，計算效率與直接MoM法相比提高了30倍。ASM法的計算時間與各維空間采樣點數有關，正比于與剖分單元數無關；MoM法的計算時間與單元數成正比。通常情況下，工程FSS天線罩分析時罩面剖分單元上萬個，計算中需要考慮不同頻率、掃描角和極化因素，采用MoM法計算需要半年以上的時間，若采用ASM法進行整罩分析只需要1～2天的時間，計算效率顯著提高。

3 結 論

提出了一種可快速分析多個變量對FSS散射特性影響的多維ASM法。對不同結構FSS單元及FSS罩的電磁特性進行了計算分析。計算結果表明：多維ASM法的計算結果與直接MoM法結果吻合，計算效率得到了明顯改善。

文中主要針對FSS電磁特性隨入射波頻率、入射角變化的曲線進行計算分析，ASM法還可以應用于隨介質厚度、介電常數、周期等參數改變FSS特性曲線的計算。

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