基于量化壓縮感知的IR-UWB接收信號重構研究

張巧玲 吳紹華 張欽宇 劉 良

(哈爾濱工業大學深圳研究生院 深圳 518055)

1 引言

脈沖超寬帶(Impulse Radio Ultra-WideBand,IR-UWB)技術由于具有系統容量大，發射功率低，抗干擾性強，多徑分辨能力強等諸多優點而備受關注。但由于帶寬極寬，接收機中高速高精度 ADC(Analog-to-Digital Converter)難以低成本低功耗實現成為當前制約IR-UWB技術實用化的主要技術難題之一。壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[1,2]是一種以遠低于Nyquist速率采樣來精確地恢復原始稀疏信號的技術，正好為這一問題的解決提供了契機。在CS框架下，通過對IR-UWB發射信號、傳播信道稀疏特性的挖掘，可以實現對IR-UWB接收信號的低速率壓縮采樣。基于此思想，壓縮感知框架下IR-UWB的研究紛紛展開[3,4]，相關成果驗證了在CS框架下處理IR-UWB信號的可行性。

已有研究中，IR-UWB信號的壓縮采樣多使用隨機解調器[5]或隨機濾波器架構，但這些研究對采樣架構中量化噪聲的影響考慮不足。一些研究將量化過程考慮為理想情況，即量化精度無窮高[6]；還有些研究將壓縮測量值中的混合噪聲(熱噪聲+量化噪聲)的特性簡單考慮為服從高斯分布[7]，將信號重構問題確立為l2約束的l1最小化模型，具體求解方法為BPDN(Basis Pursuit De-Noising)[8]或貪婪算法[9-11]。

顯然，量化精度有限時，混合噪聲不滿足高斯噪聲特性，已有架構中對量化噪聲的特性挖掘不充分，無法達到信號重構的最優性能。針對上述問題，考慮量化噪聲實際影響的信號重構研究陸續展開，文獻[12]引入量化一致性約束，提出 BPDQp(Basis Pursuit De-Quantizer of moment p)模型，更實際地處理量化噪聲和高斯噪聲混合的情況。文獻[13]將傳統模型轉化為可導凸函數與l1范數之和的優化模型，提出l1正則化最大似然法和l1正則化最小二乘法求解。雖然這些研究都取得了比BPDN模型更好的重構效果，但復雜度都比較高，難以直接應用到實用化IR-UWB系統中。

為了滿足IR-UWB系統實用化的要求，本文對信號重構模型進行了修正，根據定義的量噪比信息，提出了一種在DS(Dantzig Selector)和SP(Subspace Pursuit)算法中自適應選擇的聯合 DS-SP信號重構法。此方法相比傳統算法，在不同噪聲環境下均能獲得最優性能，且運算復雜度處于DS法和SP法之間，為CS框架下的IR-UWB接收機數字后端提供了一種新的信號重構方式。

文章第 2節介紹了壓縮感知的背景知識以及IR-UWB信號模型和壓縮采樣過程；第3節為量化重構模型的建立和求解，并與常規算法進行對比；第 4節定義量噪比，并提出自適應選擇的聯合DS-SP信號重構法；第5節仿真驗證了聯合DS-SP法的性能；最后是結束語。

2 壓縮感知簡介及IR-UWB信號模型

2.1 壓縮感知理論簡介

若存在信號x∈RN×1在某個空間ΨN×N上是稀疏的，則信號可表示為

其中y為M×1維向量，T=ΦΨ是M×N的感知矩陣。

從測量值y中恢復出信號x的過程稱為稀疏重構，即求解

直接求解式(3)是復雜度很高的組合優化問題。Donoho等人[6]證明，如果感知矩陣ΦΨ滿足約束等距性特性(Restricted Isometry Property, RIP)，則式(3)可等價于求解如下的線性規劃問題：

特別地，隨機生成的測量矩陣Φ與任意表達矩陣Ψ之間不相關，可使得感知矩陣ΦΨ高概率滿足 RIP特性，所以現有研究中常用的測量矩陣多為隨機測量陣，如高斯隨機陣，二值隨機陣(Bernoulli矩陣)和傅里葉隨機陣等。

2.2 IR-UWB信號模型和壓縮采樣過程

在IR-UWB系統的發射端，發射信號s(t)可表示為

考慮接收機熱噪聲的影響，則接收端的信號可以表示為

由d(t)和h(t)的形式可以看到，IR-UWB發射信號和多徑信道具有天然稀疏特性，故其接收信號適合在 CS框架下處理。本文的討論中，為簡單起見且不失一般性，以IR-UWB測距或通信過程的導頻階段為例進行討論，此時在符號周期Ts內只使用單個脈沖激勵信號，即d(t)=δ(t)，式(6)變為

其中稀疏表達矩陣Ψ是卷積作用“p(t)?”的等價循環矩陣；h是h(t)的虛擬采樣序列[3]，僅在多徑分量位置所對應的虛擬采樣時刻處不為零。

在接收端，實際系統只能有限精度量化，本文中不回避量化環節引入的量化噪聲， IR-UWB接收信號的壓縮采樣采用如圖 1所示的隨機解調器架構。接收信號經過帶限濾噪后，進入M個并行通道進行線性投影(此投影過程即為壓縮采樣過程)，投影波形φm(t)(m=1,2,…,M)是碼片速率為 Nyquist速率的偽隨機波形，對應隨機測量矩陣Φ中的各行。

圖1 IR-UWB接收信號的壓縮采樣架構示意圖

3 基于“l∞約束的l1最小化”的重構

3.1 l∞約束的l1最小化

現有研究中大都將混合噪聲(量化噪聲+熱噪聲)的統計特性簡單考慮為服從高斯分布，故一般將信號重構問題確立為l2約束的l1最小化的二階錐規劃問題，即經典的BPDN模型。

BPDN模型常用凸優化的對數障礙(Log-Barrier, LB)法求解，重構速度快的貪婪算法 SP(Subspace Pursuit)亦是一種很好的求解算法。然而考慮到量化噪聲并不滿足高斯特性，將其與熱噪聲區別對待時，壓縮測量值為

其中nq代表量化噪聲。若采用量化間隔為Δ的均勻量化器，易知||nq||∞≤Δ/2,l∞范數可以精確表示出量化噪聲的特性，建立帶l∞范數約束的重構模型是利于對抗量化噪聲的。

文獻[14]給出了針對高斯噪聲的求解l∞范數約束的Dantzig selector法，在分開考慮噪聲影響時，可以將模型調整為

3.2 Dantzig-Selector算法與BPDN(LB)和SP的性能對比

仿真對比求解l∞-l1模型的DS法與求解BPDN模型的LB法以及子空間追蹤SP法的重構性能，結果如圖2和圖3。其中熱噪聲電平Eb/N0從5 dB到45 dB變化，,量化精度為1 bit, 2 bit, 4 bit, 6 bit, 8 bit，蒙特卡羅仿真次數為1000次。信號長度N=2 000，測量次數M=6 00, SP法中信號稀疏度K=100。

從圖2可看出，在量化精度很低(1 bit, 2 bit)時，LB法的重構SNR基本在3 dB以下。同時在不同量化精度下，LB法重構SNR整體比DS法小4-8 dB左右。這充分驗證了l∞范數約束的模型更能精確反應量化噪聲的特性，加上噪聲門限系數的優化設置，可以實現 DS法在高量化噪聲環境下精確重構出信號。從圖3中看出量化精度nb=1 bit, 2 bit時，DS法重構精度遠高于SP法；但是當nb=6 bit,8 bit且Eb/N0值較大時，SP法更有優勢。

4 DS與SP自適應選擇的組合算法

通過 3.2節中對不同算法的重構性能對比，我們發現盡管 DS法有良好的抗量化噪聲效果，卻并未獲得全局最優性能。同時在熱噪聲和量化噪聲均較小時，重構速度快的SP算法能達到較DS法更優的重構效果。為了達到全局最優性能，本文采用組合優化重構(聯合 DS-SP)的策略，在不同噪聲環境下，自適應選擇不同算法對IR-UWB信號重構。

4.1 自適應選擇依據——量噪比的定義

要實現組合優化重構策略，首先要能直接判斷出測量值所處環境。本文定義一個量噪比系數：

其中nq=ybq-yq,ybq為量化前的測量值，yq為量化后的測量值。ng表示接收機的熱噪聲。QNR不僅可以評估在不同重構環境下量化噪聲和熱噪聲的相對大小，也為混合優化的重構算法選取提供了一個定量的參考依據。

圖4為量化精度為1 bit, 2 bit, 3 bit, 4 bit, 6 bit, 8 bit時的量化噪聲與接收機熱噪聲電平Eb/N0值從0-36 dB時的量噪比情況。

4.2 組合算法(聯合DS-SP)的自適應選擇策略

通過量化精度和定義的 QNR系數，我們能簡單準確地判斷出信號重構的噪聲環境，并根據這些信息，自適應的選取算法重構信號。組合優化重構算法的具體流程如表1。

5 仿真及討論

本文使用 matlab7.0仿真聯合 DS-SP算法對IR-UWB信號的重構性能，分別與DS法和SP法進行比較。同時，為了體現聯合DS-SP算法的優越性，從當前 CS兩大類重構算法中各選取一種經典算法與其進行性能對比。仿真中的具體參數設置見表2。

組合算法的自適應選擇策略仿真結果如圖 5。圖6，圖7分別為聯合DS-SP法與DS法、SP法的重構性能對比結果。圖5中，組合算法利用定義的QNR值和量化精度信息，判斷出混合噪聲小的環境(帶方框的點)，自適應選用SP算法重構；未帶方框的點代表混合噪聲較大，包括圖4中的量化噪聲主導區、熱噪聲主導區以及兩種噪聲都較大的區域，此時選用抗噪聲性能強的DS法重構。圖6的對比結果顯示，在6 bit, 8 bit量化時, 聯合DS-SP法的重構 SNR較 DS法有一定的提升，且此時聯合DS-SP法的重構速度是遠快于DS法的。從圖7可看出，在量化精度僅為1 bit, 2 bit時，組合算法的重構SNR在所有熱噪聲電平下都比SP法有3-5 dB的提升，4 bit量化時也有明顯的重構優勢；而當量化精度較高時，組合算法在大熱噪聲(Eb/N0＜15 dB)下也有重構精度的改善。可見，聯合DS-SP法通過簡單的策略，在不同噪聲環境下自適應選擇算法重構信號，不僅獲得了全局范圍內的最優性能，還實現了運算復雜度折中于DS法和SP法，達到了算法設計的期望。

圖2 DS法與LB法重構性能對比

圖3 DS法與SP法重構性能對比

圖4 不同噪聲環境下QNR圖

表1 聯合 DS-SP算法流程

圖5 自適應選擇策略

圖6 組合算法與DS法對比

圖7 組合算法與SP法對比

表2 仿真參數設置

常規的CS重構過程中，BPDN[8]具有一定的抗噪性能，是一種常用的凸優化類重構方法，這里仍用上文提及的LB算法求解，圖8給出了聯合DS-SP法與其性能對比情況。圖9則給出了聯合DS-SP與經典的貪婪重構算法OMP[9]的性能對比結果。不論是相對常規的凸優化類算法還是貪婪算法，本文提出的組合優化算法在不同噪聲環境下基本都取得了全局的性能提升。相對于BPDN，組合算法整體都有較大(5～10 dB)的性能提升；相對于OMP，聯合DS-SP法在大量化噪聲情況下的性能提升可達 10 dB以上。可見，聯合 DS-SP算法是一種在不同噪聲環境都有優異重構性能的算法。

圖8 組合算法與BPDN法對比

圖9 組合算法與OMP法對比

6 結束語

本文考慮IR-UWB信號的壓縮采樣，在CS框架下對IR-UWB信號進行精確重構。重構過程考慮接收端信號實際受到的量化噪聲和熱噪聲的影響，采用不同算法重構。在量化噪聲較大時，DS法獲得了很高的重構精度；而在混合噪聲較小時，有重構速度優勢的SP法可獲得比DS法更好的重構性能。本文提出的組合優化重構算法聯合DS-SP，可通過量化精度和定義的QNR系數精確分析出噪聲環境，自適應選擇重構算法。聯合DS-SP算法不僅能獲得全局最優性能，算法復雜度也在DS法和SP法之間，且相對常規重構算法有較大的性能提升，為基于壓縮感知的IR-UWB接收機數字后端的信號重構提供了新的策略。盡管本文的研究是以IR-UWB信號的壓縮采樣為背景，但事實上研究成果的應用不局限于此背景，可同理擴展到其他任何模擬信號的壓縮采樣研究中。后續工作將致力于建立和求解更精確反應混合噪聲特性的模型，進一步提升重構精度。

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