基于多普勒頻率與距離數(shù)據(jù)融合的脫靶量參數(shù)估計(jì)

馮定偉 吳嗣亮 魏國(guó)華 王 旭

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

1 引言

在導(dǎo)彈靶場(chǎng)試驗(yàn)中，脫靶量的測(cè)量對(duì)于檢驗(yàn)和評(píng)估導(dǎo)彈的性能起著關(guān)鍵性的作用[1,2]。在導(dǎo)彈與靶標(biāo)交會(huì)過程段，導(dǎo)彈與靶標(biāo)天線之間的多普勒頻率和距離這兩個(gè)觀測(cè)量隨時(shí)間變化的規(guī)律都由二者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度、初始切向距離、標(biāo)量脫靶量這三個(gè)脫靶量參數(shù)決定。測(cè)量系統(tǒng)只需要得到二者任意一個(gè)觀測(cè)量的測(cè)量數(shù)據(jù)，并依據(jù)給定的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型通過方程組求解或最小二乘方法就能估計(jì)出對(duì)應(yīng)的脫靶量[1,3-7]。但是當(dāng)由于導(dǎo)彈提前脫靶，距離盲區(qū)等因素導(dǎo)致測(cè)量數(shù)據(jù)較少，以及信號(hào)雜波、環(huán)境噪聲等因素導(dǎo)致觀測(cè)量測(cè)量誤差較大時(shí)，利用單一觀測(cè)量往往不能得到滿意的結(jié)果。

數(shù)據(jù)融合技術(shù)是指對(duì)獲得的若干多源觀測(cè)信息，在一定準(zhǔn)則下加以分析、綜合，以完成所需的決策和評(píng)估任務(wù)而進(jìn)行的信息處理技術(shù)，其在目標(biāo)檢測(cè)、跟蹤、定位及參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[8-10]。從信息論的角度來說，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)距離及多普勒頻率都包含了脫靶量參數(shù)的有效信息，將這兩種觀測(cè)量的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，將會(huì)帶來參數(shù)估計(jì)性能的提高。脈沖多普勒、調(diào)頻連續(xù)波等多種體制的雷達(dá)都有條件得到目標(biāo)的普勒頻率及距離信息[1,11-14]，這使得同時(shí)利用多普勒頻率與距離信息進(jìn)行脫靶量參數(shù)估計(jì)成為可能。

本文將多普勒頻率與距離測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)數(shù)據(jù)融合處理，在目標(biāo)作勻速直線假設(shè)下，采用非線性尋優(yōu)處理進(jìn)行脫靶量參數(shù)估計(jì)，并利用參數(shù)估計(jì)CRLB的理論推導(dǎo)及數(shù)值計(jì)算方法對(duì)此方法相對(duì)于單一觀測(cè)量方法在參數(shù)估計(jì)性能上的改善進(jìn)行證明。數(shù)據(jù)融合中加權(quán)參數(shù)依據(jù)多普勒頻率及距離數(shù)據(jù)的誤差協(xié)方差估計(jì)值進(jìn)行選取，并通過蒙特卡羅仿真對(duì)所提方法進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真。

2 基于數(shù)據(jù)融合的脫靶量參數(shù)估計(jì)

2.1 基本原理

設(shè)無線電脫靶量設(shè)備固聯(lián)于靶標(biāo)上，導(dǎo)彈相對(duì)靶標(biāo)作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)。圖 1給出了設(shè)備與導(dǎo)彈之間的相對(duì)位置關(guān)系。其中，P0為起始觀測(cè)時(shí)刻t0導(dǎo)彈位置點(diǎn)，Ri,i=0,1,…,N-1為觀測(cè)時(shí)刻ti導(dǎo)彈與接收天線的距離，N為觀測(cè)點(diǎn)數(shù)，Ppca為導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡所在直線與接收天線中心點(diǎn)O的最近距離點(diǎn)(即脫靶點(diǎn))，|P0Ppca|為初始切向距離L,|OPpca|為標(biāo)量脫靶量r，脫靶量參數(shù)即指參數(shù)矢量ξ=[r,v,L]T。

圖1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡與雷達(dá)接收天線的位置關(guān)系

在勻速直線運(yùn)動(dòng)模型下，導(dǎo)彈到接收天線的距離及反射回波所產(chǎn)生的多普勒頻率可以分別表示為

其中λ為發(fā)射載波波長(zhǎng)。假定距離及多普勒頻率測(cè)量誤差分別服從均方根誤差不同的零均值獨(dú)立高斯分布，則ti時(shí)刻對(duì)應(yīng)測(cè)量值可分別表示為

對(duì)應(yīng)觀測(cè)值為，給定加權(quán)系數(shù)矩陣W，即可建立代價(jià)函數(shù)：

根據(jù)式(4)，可通過求解如下非線性最小二乘估計(jì)問題，得到脫靶量參數(shù)估計(jì)值：

式(5)一般可以用非線性優(yōu)化算法來求解。鑒于該優(yōu)化函數(shù)的解析式已知，其梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣很容易求取，故可選用具有二次收斂速度的變步長(zhǎng)Newton法。同時(shí)，一個(gè)良好的優(yōu)化初值不但能保證此優(yōu)化迭代過程的全局收斂性，還能大大減少迭代次數(shù)，提高優(yōu)化速度及準(zhǔn)確性。系統(tǒng)觀測(cè)量的測(cè)量誤差協(xié)方差可以由具體的系統(tǒng)指標(biāo)及使用環(huán)境給出，也可以通過參數(shù)估計(jì)方法得到，該文利用單一觀測(cè)量測(cè)量數(shù)據(jù)的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)此觀測(cè)量進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì)得出。

2.2 參數(shù)估計(jì)優(yōu)化初值的求解

對(duì)多普勒頻率進(jìn)行積分并離散化處理，通過整理[7]可得

將式(7)，式(8)聯(lián)合構(gòu)成新的方程

式中

利用最小二乘算法求解式(9)即可得到參數(shù)θ的估計(jì)值：

2.3 測(cè)量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差估計(jì)

由單一觀測(cè)量分別構(gòu)建代價(jià)函數(shù)J1,J2：

并分別建立與式(5)類似的非線性最小二乘問題：

3 參數(shù)估計(jì)的CRLB

當(dāng)距離與多普勒頻率提取誤差均服從零均值高斯分布時(shí)，非線性最小二乘優(yōu)化估計(jì)方法得到的脫靶量參數(shù)估計(jì)值是無偏的，本文給出在無偏估計(jì)情況下參數(shù)估計(jì)的CRLB作為評(píng)價(jià)所提方法估計(jì)性能的理論依據(jù)。將兩組測(cè)量數(shù)據(jù)作誤差歸一化處理，得到聯(lián)合條件概率密度函數(shù)

參數(shù)ξ的Fisher信息矩陣I(ξ)可由下式給出：

其中 ?ξ(·)為函數(shù)·關(guān)于量ξ的梯度。于是得到參數(shù)估計(jì)CRLB的矩陣表示形式：

接下來進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)融合對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的改善，即數(shù)據(jù)融合后能否使得如下表達(dá)式成立：

式(18)中兩個(gè)不等式具有對(duì)等性，不妨將第 1個(gè)不等式作為分析對(duì)象，此式等價(jià)于

式(16)中第1個(gè)信息矩陣公式可以寫為如下形式

參數(shù)估計(jì)CRLB是關(guān)于參數(shù)的較復(fù)雜非線性函數(shù)，很難從直觀上給出對(duì)應(yīng)的估計(jì)性能，對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的進(jìn)一步分析主要從CRLB的數(shù)值計(jì)算方法入手。設(shè)載波波長(zhǎng)λ為0.1 m，觀測(cè)數(shù)據(jù)提取時(shí)間間隔Δ為1.6 ms，導(dǎo)彈軌跡提取段取到使多普勒頻率約等于零處。設(shè)多普勒頻率及距離提取值滿足式(2)所示分布，圖2顯示了為160 Hz,σR為3 m條件下不同脫靶量參數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)融合后的 CRLB分布。從圖示可以看出：

(1)總體來看，在給定參數(shù)條件下標(biāo)量脫靶量r的估計(jì)誤差較小，都在0.25 m的范圍內(nèi)，且隨著參數(shù)L的增大而逐漸減小。同時(shí)，參數(shù)r的估計(jì)誤差在小脫靶量(r小于30 m左右)時(shí)隨著參數(shù)v的增大而減小，而在大脫靶量時(shí)隨著參數(shù)v的增大而增大。

(2)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度v的估計(jì)誤差浮動(dòng)較大，但都在1 m/s的范圍內(nèi)，精度也較高。同時(shí)看出，速度v的估計(jì)誤差隨著參數(shù)r及自身的增大都逐漸增大，而隨參數(shù)L增大逐漸減小。

(3)初始切向距離L的估計(jì)誤差總體較小，都在0.2 m范圍內(nèi)。同時(shí)可以看出，L估計(jì)誤差隨3個(gè)參數(shù)的增大都是先增大再減小，但在較大參數(shù)范圍內(nèi)這種變化幅度較小，相對(duì)穩(wěn)定。

4 計(jì)算機(jī)仿真

本部分利用計(jì)算機(jī)仿真對(duì)所提出的參數(shù)優(yōu)化初值估計(jì)方法的性能，測(cè)量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差估計(jì)方法的性能，數(shù)據(jù)融合方法相對(duì)單一觀測(cè)量方法的性能以及相對(duì)參數(shù)估計(jì)CRLB的逼近程度這三個(gè)方面按照蒙特卡洛方法進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)定載波波長(zhǎng)，數(shù)據(jù)提取時(shí)間間隔和提取截止位置都與CRLB數(shù)值計(jì)算的設(shè)置一致。仿真在理想的多普勒頻率及距離中加入滿足式(2)對(duì)應(yīng)分布的噪聲作為相應(yīng)的測(cè)量值，且每次仿真產(chǎn)生 500組獨(dú)立的相應(yīng)觀測(cè)量提取序列樣本。

圖2 給定測(cè)量誤差對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)加權(quán)融合后參數(shù)的CRLB

表1給出了σR,分別為3 m, 160 Hz條件下不同脫靶量真值對(duì)應(yīng)的優(yōu)化初值計(jì)算結(jié)果。參數(shù)L主要與系統(tǒng)的測(cè)量距離有關(guān)，此處給定其為固定值300 m。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：優(yōu)化初值具有較高的估計(jì)精度，存在一定的系統(tǒng)誤差，但都較小，均方誤差(Mean Square Error, MSE)隨速度的增大呈一定的增大趨勢(shì)。進(jìn)一步仿真得出，利用該優(yōu)化初值進(jìn)行后續(xù)的非線性迭代尋優(yōu)可快速得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

表1 優(yōu)化初值的估計(jì)性能統(tǒng)計(jì)

表 2給出了脫靶量真值ξ為[30 m,300 m/s,300 m]T條件下不同及對(duì)應(yīng)的估計(jì)結(jié)果。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：觀測(cè)量噪聲均方誤差的估計(jì)性能較高，且均方誤差與對(duì)應(yīng)真值的比值都在 0.029左右，具有較高的相對(duì)誤差精度，這表明將此方法所得的估計(jì)結(jié)果用于后續(xù)的數(shù)據(jù)融合參數(shù)估計(jì)方法是可信的。

下面在脫靶量真值ξ為 [30 m,300 m/s,300 m]T條件下，對(duì)數(shù)據(jù)融合方法的性能分析從兩個(gè)方面進(jìn)行仿真：一是固定σR考查參數(shù)估計(jì)性能隨的變化；二是固定考查參數(shù)估計(jì)性能隨σR的變化。圖3給出了參數(shù)估計(jì)在不同估計(jì)方法下的性能對(duì)比結(jié)果，其中，圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)中固定σR為3 m，圖3(d)，圖3(e)，圖3(f)中固定為200Hz。圖3給出了對(duì)應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差的參數(shù)估計(jì)性能。圖示結(jié)果顯示：數(shù)據(jù)融合方法的參數(shù)估計(jì)性能接近或達(dá)到了參數(shù)估計(jì)的 CRLB；單一距離和多普勒頻率方法參數(shù)估計(jì)誤差曲線交叉處附近表示單一方法在此處達(dá)到了近似的參數(shù)估計(jì)性能，此范圍內(nèi)融合方法的估計(jì)誤差相對(duì)單一方法而言具有較大的提高，在此基礎(chǔ)上數(shù)據(jù)融合方法的參數(shù)估計(jì)性能隨著某一觀測(cè)量測(cè)量誤差的增大而趨向于另一單一觀測(cè)量方法的參數(shù)估計(jì)性能。進(jìn)一步仿真得出，當(dāng)兩種單一觀測(cè)量參數(shù)估計(jì)精度差別達(dá)到 10倍左右時(shí)，估計(jì)性能較差的觀測(cè)量對(duì)數(shù)據(jù)融合的估計(jì)性能幾乎沒有改善。

表2 觀測(cè)量均方誤差的估計(jì)性能統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)束語

本文針對(duì)脫靶量參數(shù)估計(jì)問題提出了一種基于多普勒頻率與距離加權(quán)數(shù)據(jù)融合的方法。建立了非線性加權(quán)最小二乘過程的代價(jià)函數(shù)，推導(dǎo)了所提方法參數(shù)估計(jì)的 CRLB，證明了該方法相對(duì)單一觀測(cè)量方法的性能改善，并從數(shù)值計(jì)算角度給出一定參數(shù)條件下該方法的參數(shù)估計(jì)性能。對(duì)該非線性加權(quán)最小二乘問題，給出了迭代優(yōu)化估計(jì)初值及觀測(cè)量測(cè)量誤差協(xié)方差的估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，本文方法達(dá)到了參數(shù)估計(jì)的 CRLB，且估計(jì)精度較單一觀測(cè)量方法有較大的改善。

圖3 數(shù)據(jù)融合方法與單一觀測(cè)量方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較

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