一種基于級數反演的機載圓跡環掃SAR成像算法

廖 軼 周 松 邢孟道 保 錚

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

合成孔徑雷達(SAR)由于其全天時、全天候成像的能力，近年來已經廣泛地投入到軍用和民用的實際運用中[1-3]。傳統的SAR成像系統一般采用直線軌跡[4]，并出現了條帶、聚束、掃描等各種模式。相比于經典的條帶模式，聚束模式的觀測區域較小，但是較長的觀測時間使其擁有相比于條帶更高的方位分辨率；掃描模式通過距離向上的掃描觀測增加了測繪帶寬度，但卻因此犧牲了方位向的分辨率。近來曲線軌跡SAR系統越來越受到關注。20世紀90年代，文獻[5]提出了圓跡合成孔徑雷達(Circular SAR, CSAR)的概念，此后逐漸成為雷達成像領域的熱點之一。但是通常意義下的CSAR都只是針對某一特定局部區域進行觀測，這從某種意義上來看類似于曲線軌跡的聚束模式，并且由于其飛行軌跡的特殊性而獲得較高的分辨率或3維高程信息[6-8]。

近年來一種新的廣域觀測圓跡環掃 SAR(Circular Scanning SAR, CSSAR)成像模式作為一個全新的研究熱點逐漸受到了更多的關注[9]。在這種工作模式下，飛行平臺在一個固定的高度處作圓軌跡巡航運動，天線方向固定朝背離圓心方向，因而形成了一個環形的成像區域，在某種意義上類似于圓跡正側視條帶模式，這種模式由于提高了其方位向上的掃描速度因而較之傳統的直線條帶模式擁有更大的成像區域，適合于進行快速的廣域成像。

在SAR成像的處理過程中，回波信號2維頻譜的有效獲取對于設計快速頻域算法是至關重要的，由于 CSSAR圓弧飛行軌跡的特殊性，在其目標的斜距方程中存在根號下三角函數的形式，如果直接使用 POSP(駐相點法)難以推導信號 2維頻譜的精確解析表達式。因而如何獲得信號的2維頻譜成為了CSSAR算法設計的一個難點。針對CSSAR成像，文獻[9]在其2維頻譜的推導過程中對斜距方程進行了二階近似，并以此為基礎設計成像算法，在平臺飛行高度較高，俯仰角較大，積累時間較短使得曲線影響可以忽略的情況下，該方法能夠獲得較好的成像結果；然而該方法采用的二階近似舍棄了高階斜距信息，因此在積累時間較長，分辨率要求較高的成像條件下，這種近似將引入較大的斜距近似誤差，若使用原有的算法所得的2維頻譜會產生較大的誤差，進而導致目標成像質量下降，所以原有算法在使用中存在一定的局限性。

為了得到一種適用性更廣的成像算法，本文將基于級數反演法提出了一種CSSAR成像的新思路。級數反演法是利用多普勒頻率的展開式反演駐相點展開式系數，進而獲得信號的 2維頻譜的一種方法[10-12]，該方法在推導過程中可以通過調整展開式的階數來有效控制2維頻譜表達式的精度。在獲得的2維頻譜的基礎上，設計相應的頻域算法。首先在2維頻域補償于場景中心相對應的頻譜，再在距離多普勒域補償隨距離空變的相位差。

文中首先分析了圓跡運動的幾何模型，探討了通過直接POSP求解所面臨的問題，然后將斜距方程近似到四階，再利用基于級數反演的方法推導得到信號的2維頻譜表達式。接著對2維頻譜進行了分析并且給出了算法流程。最后，通過不同距離處的點目標的仿真及結果對比，驗證了所述算法的有效性。

2 圓跡環掃SAR的信號模型

圓跡環掃SAR的成像幾何如圖1所示。雷達平臺在高度為Hc的平面上以半徑ra做圓形軌跡運動，平臺運動的角速度為ω，平臺旋轉運動的方位向慢時間為η，則飛行平臺轉過的角度為θ,θ∈[0,2π)，雷達平臺運動時，波束的指向始終與飛行速度方向垂直，波束的俯仰角為θr，當雷達平臺旋轉飛行一周時，其波束照射的區域將形成以OB為內徑，OC為外徑的環形區域。設雷達平臺A的坐標為(racosθ,rasinθ,Hc)，而以O點為圓心，半徑為rp，方位角為θp的目標點P，則P點的坐標可以表示為(rpcosθp,rpsinθp, 0)，雷達與目標P之間的瞬時距離為R(η)，利用余弦定理，可以得到以下關系：

圖1 圓跡環掃SAR成像幾何模型

其中

假設發射雷達信號為線性調頻(LFM)信號，脈沖寬度為Tp，調頻率為γ，則點目標P的回波可表示為

其中σp為散射系數，ar(·)和aa(·)分別為雷達(LFM)信號的距離向包絡和方位向包絡，c為光速，λ為中心頻率所對應的波長。

此時，將式(5)所示的回波信號變換到距離頻域-方位時域，得

其中fc為載頻，fτ為距離向頻率，Ar(fτ)代表距離頻率包絡。現在試用駐相點法求解信號2維頻譜，對式(6)作方位FFT，得

那么其傅里葉積分中的相位為

對θ(η)關于η求導得

令該導數為零，

由式(9)可見，在多普勒頻域的表達式中，分子和分母的根號下均存在三角函數形式的表示式，因此由式(9)推導η的表達式十分不易，從而給SAR回波信號的2維頻譜推導帶來了較大的困難。針對該問題，文獻[9]通過對斜距表達式作二階近似使其表達形式與傳統直線條帶式的斜距方程具有類似的形式，并以該二階近似斜距式為基礎給出了相應的成像方法。在飛行高度較高，軌道半徑較小的情況下，飛行軌跡曲率的影響對于斜距的變化可以忽略，即飛行軌跡對于目標點可以近似地認為是直線。因此在這種情況下，文獻[9]的方法是適用的，但是對于某些低空運動平臺如無人機，其圓弧飛行軌跡所引入的斜距變化信息對于頻譜的影響是不可忽略的，如果使用二階近似而忽略高次項將導致聚焦質量的下降，因此需要找到一種新的適合于圓跡環掃SAR的頻譜推導方法。

3 基于MSR的2維頻譜推導

從以上的分析可以看出，CSSAR由于其斜距表示較為復雜，成像處理中不便于方位傅里葉變換中駐相點的求解及信號2維頻譜的推導，而文獻[9]的近似方法所引入的斜距誤差在積累時間較長，分辨率要求較高的情況下對聚焦的影響較大，不能滿足成像質量的要求。因此以下我們利用級數反演的方法對信號回波進行2維頻譜的推導，通過對POSP中多普勒頻譜的展開式系數反演得到駐相點方位時間的級數展開式系數，進而得到精度較高的2維頻譜表達式。在推導過程中，我們可以通過調整展開式中的近似階數來控制2維頻譜表達式的精度，并以該頻譜為基礎，設計有效的CSSAR成像算法。

對于式(9)，令導數為零時，多普勒頻率可以寫成如下形式：

利用級數反演法，我們可以得到方位時間由多普勒頻率展開式表達的形式，即駐相點的表示式，表示如下：

其中

由式(6)和式(12)，可以得到

其中Aa(fη)為信號多普勒譜的包絡，需要指出的是，由于斜距公式中含有三角函數的原因，展開式里奇次項均為0。對于式(14)的表達式，需要對其進行展開并保留一定的階次，而階次的選取就關系到成像精度的問題。在這里我們將相位階次保持到四階，關于擴展階次的選取原則，本文的第5節將對此進一步做定量分析。結合式(12)，式(13)和式(14)，那么此時點目標信號的2維頻譜的相位可以寫成

其中式(15)中的相位項表示如下：

在式(16)中，信號 2維頻譜的表達式保留到了多普勒頻率fη的四階項，式(16)等號右邊的第 3項包含斜距四次項系數k4，這是在二階近似的成像方法中忽略的高次項。在低空運動平臺的成像過程中，其飛行曲線軌跡引入的距離變化信息將帶來明顯的高次相位信息，這時未補償的斜距四次項將會嚴重影響2維頻譜的精度，因此，在成像算法設計時，需要對斜距高階項進行補償。以下將根據獲取的SAR信號回波的 2維頻譜表達式，給出適用于CSSAR的成像算法。

下面利用所得到的 2維頻譜進行成像算法推導。

4 成像算法分析

從之前的推導中可以看出，2維頻譜的表達式含有fτ,fη和R(η)等變量，鑒于回波信號2維頻譜中的距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合，不便于后續處理，因此將式(16)在距離頻率fτ=0 處進行泰勒級數展開，整理后可以得到如下形式：

(1)方位調制項：式(17)中等號右邊的第2個相位項為方位調制項，即

該項包含方位調制，將在距離徙動校正和距離壓縮之后與構造的方位匹配濾波函數相乘完成方位脈壓。

(2)距離徙動(Range Cell Migration, RCM)項：式(17)中等號右邊的第 3個相位項為距離徙動項，即

該項與多普勒頻率的fη有關，體現為距離向和方位向的耦合，需予以補償。通常情況下，在距離測繪帶不是很寬的CSSAR成像中，RCM項隨距離的變化可以忽略；在后續的處理中，可用場景中心處為參考，在 2維頻域構造相應的距離徙動校正(Range Cell Migration Correction, RCMC)函數，實現距離徙動校正。

(3)二次距離脈壓(Secondary Range Compression,SRC)項：式(17)中等號右邊的第4個相位項為SRC項，即

該項體現了由距離頻率fτ和多普勒頻率fη的耦合所引入的距離調頻率的改變。如果不考慮SRC項將影響距離向的聚焦，而SRC隨距離的變化往往可以忽略；因此可以以場景中心作為參考，在2維頻域構造相應的補償項，消除SRC項對成像的影響。

(4)距離調制項：式(17)中等號右邊的第5個相位項為距離調制項，即

(5)殘余相位項：式(17)中等號右邊的第6個相位項為殘余相位項，即

該項為展開后的殘余相位項，可在2維頻域對其進行補償。

根據以上的分析，并結合式(15)和式(16)的SAR回波信號的2維頻譜表達式，在2維頻域中補償與場景中心相對應的頻譜，再在距離-多普勒域補償隨距離空變的相位項。

具體的算法流程如下：

(1)首先對式(5)的回波信號做2維FFT得到如式(15)所示2維頻譜。

(2)這時對距離徙動項φrcm(fη)，距離調制項φrg(fη)，殘余相位項φres(fη,fτ)和距離調制項φrg(fτ)進行補償，乘以其相位的共軛，

(3)作距離IFFT將信號變換至距離多普勒域并乘以方位匹配濾波函數完成方位脈沖壓縮方位匹配濾波函數為

(4)最后對信號做方位IFFT就可以得到聚焦后的SAR圖像，完整的算法流程圖如圖2所示。

5 仿真實驗結果對比

在SAR成像中，對于斜距的近似誤差而言，忽略斜距中的高次項而引起的雙程最大相位誤差應小于π/4。針對上述分析，斜距展開到了四次，以下我們分析近似擴展階次的問題。

圖2 算法流程圖

選取一組典型參數，假設飛行平臺的參數為Hc=2 000 m,ra=4 000 m,rp=5 154.7 m ，飛行速度v=100 m/s，雷達波長λ=0.3 m，現在分別計算在一個合成孔徑時間內目標斜距二次的近似誤差和四次的近似誤差，如圖 3，圖 4所示，其中虛線所指示的是相位誤差為π/4的位置，實線表示的是合成孔徑積累時間內由不同斜距階次近似所引入的相位誤差。另外由于奇次項為零，故這里不再考慮三次的近似誤差。從圖中可以看出，二次近似相位誤差在邊緣最大處為1.7左右，大于虛線所表示的π/4位置，進而說明了由二階近似引入的近似誤差不能夠被忽略，否則將導致成像質量的下降；而四次近似相位誤差的最大值約為 3×10-3，遠小于π/4，故而在圖中不再畫出表示π/4的虛線，同時這也說明對斜距的四階近似已經足夠滿足成像的要求，無需再提高近似階次。因此，對圓跡環掃SAR而言，式(15)所表示的頻譜表達式具有更廣的適用性。

為了驗證本文方法的有效性，下面分別采用本文推導的方法與文獻[9]中所述的斜距二階近似條件下的成像算法進行點目標全孔徑成像仿真對比。仿真參數如表1所示，場景中有遠、中、近3個點目標，點目標的坐標分別為Pn(0,4854.7,0),Pm(0,5154.7,0),Pf(0,5454.7,0)。

同樣針對場景中心點，運用兩種算法對場景中心點Pm進行成像并對結果作對比，如圖5，圖6所示。其中(a)為點目標等高線圖，(b)為方位向脈沖響應，(c)為距離向脈沖響應。從圖中可以看出，由于圓跡飛行軌跡曲率的影響，斜距的二階次近似已經無法表征足夠的相位變化信息，進而造成點目標的聚焦效果下降，難以滿足成像的要求。然而本文所提的算法通過級數反演將斜距近似到四階，其推導得到的 2維頻譜中能夠體現出更多的斜距變化信息，因而提高成像質量，獲得更高的圖像精確度，使點目標的聚焦效果滿足成像要求。圖7和圖8分別為使用本文所述方法得到的近距點和遠距點的成像效果，從圖中可以看出，不僅是場景中心點，近距點和遠距點也均得到了良好的聚焦，進一步證明本文算法的有效性。

表1 雷達參數

表2為本文所提算法對遠、中、近3個目標的成像質量參數評價結果。其中，理論的距離分辨率和方位分辨率分別為0.443 m和0.125 m，從表2可以看出，成像各項性能指標均與理論值較為接近，取得了較好的成像結果，進一步驗證了本文所提算法的有效性。

6 結束語

本文首先通過建立圓跡環掃 SAR成像信號模型，展示了 CSSAR的成像特點和難點，然后針對難點給出了點目標的斜距方程和基于級數反演法的信號2維頻譜表達式，并通過近似相位誤差分析，解決了近似階數的選取問題；同時與二階近似的成像方法進行了對比，論證了本文方法的優越性；然后在2維頻譜的基礎上推導了相應的成像算法。文章最后通過不同距離處的點目標仿真對比，驗證了所提算法的有效性。

圖3 斜距二階近似相位誤差

圖4 斜距四階近似相位誤差

圖5 采用對斜距二階近似的算法，中心點成像結果

圖6 采用本文方法，中心點成像結果

圖7 采用本文方法，近距點成像結果

圖8 采用本文方法，遠距點成像結果

表2 本文成像算法成像質量評價

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