跨洋航空網絡的頻譜共享博弈模型*

曾孝平，樊雯雁，陳 禮

（重慶大學通信工程學院，重慶 400030）

0 引言

目前，飛機跨洋飛行主要依靠天基網［1］，但由于衛星通信成本太高、傳播時延大，不能滿足航空通信低時延的要求，所以，在跨洋航空網絡中利用飛機主干網絡作為信息傳輸的載體，通過對主干網絡的頻譜配置，實現飛機與地面基站的通信［1］。主干網絡的頻譜資源有限，有效地對主干網絡上的頻譜資源進行分配是一個急需解決的問題。

認知無線電的頻譜共享技術可以有效地解決頻譜資源分配的問題。基于博弈論的頻譜共享方法是研究的熱點。文獻［2］提出頻譜接入問題是一個非合作的博弈過程，用學習效率分配算法可以獲得相關的均衡;文獻［3］用討價還價的方法來實現頻譜分配;文獻［4］提出頻譜分配可以作為重復博弈來研究;文獻［5］分析了主用戶收益最大時次級用戶的博弈模型，卻沒有證明該模型下納什均衡的公平性;文獻［6］提出了單個主用戶對多個次用戶的頻譜共享模型，但該模型只探討了次級用戶收益最大時的頻譜分配，忽略了主用戶的效用。

本文提出了一種跨洋航空網絡的頻譜共享博弈模型，可以有效地對主干網絡上有限的頻譜資源進行分配。在文獻［6］的基礎上，本文采用Cournot博弈的頻譜共享模型，綜合考慮了主用戶與所有次級用戶的收益，主用戶制定最佳單位帶寬定價保證自身收益最大，各次級用戶根據最佳單位定價改變請求帶寬以獲得最大收益，通過與次級用戶收益的最優化模型進行比較，驗證了該模型的納什均衡具有公平性，能很好地解決跨洋航空網絡的頻譜分配問題。

1 跨洋航空網絡的頻譜共享博弈模型

1.1 系統模型

飛機跨洋飛行在大西洋上空，與地面基站的通信主要是利用主干網絡的頻譜資源來實現。跨洋航空網絡的頻譜分配可看作認知無線電頻譜共享系統，由單個主用戶和N個次級用戶組成，如圖1所示。

圖1 系統模型圖Fig 1 System model

主用戶是主干網中的所有飛機，將其視為一個整體，并能直接和地面網關通信。主用戶愿意分配部分可用的空閑頻譜bi給次級用戶i，主用戶向次級用戶索要每單位最佳帶寬定價P，P與分配給次級用戶總帶寬大小有關。次級用戶訪問主干網，通過頻譜偵聽技術監測主用戶的空閑頻譜，如果次級用戶接受主用戶的最佳單位帶寬定價P，則使用自適應的調制技術在共享的頻譜上進行通信，完成與地面的通信。其數學模型在下面的章節中進行分析。

1.2 次級用戶的靜態博弈

靜態博弈模型中，所有的次級用戶能完全觀察到其他用戶的策略和收益，是一個集中式的理想頻譜共享場景。為保證主用戶收益最大，主系統采用最佳的單位帶寬定價P，則次級用戶的效用函數為

其中，ri為每單位傳輸速率獲得的收益，bi為次級用戶i請求的帶寬，P為主用戶的最佳單位帶寬定價，ki為無線傳輸信道的頻譜利用率，即rikibi為次級用戶的收入，biP為租用頻譜的花費。

根據文獻［5］和文獻［7］，P，k可分別表示為其中，w，m，τ均為常數，w為主用戶每單位服務質量損失，B為次級用戶租借的總的頻譜大小

將式（2）帶入式（1）中，得到次級用戶i的效用函數為

由博弈論知識可知，納什均衡可以由最佳反應函數得到。次級用戶i的反應函數為

1.3 次級用戶的動態博弈

在動態博弈中，次級用戶只知道主用戶的定價信息，不知道其他用戶的策略和收益。因此，可以基于每個次級用戶與主用戶的相互作用，得到每個次級用戶的納什均衡。根據臨界收益函數，為了最大化收益，次級用戶調整所需帶寬bi的大小。所需分配頻譜大小的調整就可看成是一個動態的博弈

式中bi（t）為次級用戶i疊代t次時分配頻譜的大小，αi為次級用戶i的調整速度參數，Q（·）為自身映像函數。通過雅可比矩陣，分析次級用戶分配的頻譜的穩定區間，由上式（6）可得

將上式（7）帶入雅可比矩陣J

可求得該博弈模型的納什均衡的不動點，令雅可比矩陣J的所有特征值|λi|＜1，得到各αi的相互關系，從而得到該動態博弈的穩定區間，該穩定區間可用于分析動態博弈的收斂性。

2 次級用戶的最優化頻譜共享模型

為了研究納什均衡的公平性，提出次級用戶收益的最優化模型［8］。次級用戶的最優化問題可以表述為

采用全局最優化技術，得到所有次級用戶的邊緣利潤函數，由式（1）估計邊緣利潤的值，由文獻［8］得

比較該方程的最優化解B={b1，b2，…bN}和納什均衡的解B*={，…}，可以驗證納什均衡的公平性。

3 仿真結果與分析

本節分析了航空自組網頻譜共享博弈模型的納什均衡、動態博弈收斂結果，驗證了納什均衡的公平性。參數設置:航空自組網系統中有1個主用戶和2個次級用戶，主用戶和次級用戶共享的總帶寬為20MHz，ri=10dB，w=2，τ=0.5，初始策略bi（0）=2。

3.1 最佳請求帶寬與納什均衡

圖2表示不同的信道質量下，2個次級用戶的最佳請求帶寬與納什均衡點。從圖中可以發現:1）當只有2個次級用戶時，納什均衡點位于2個次級用戶反應函數的交點;2）納什均衡點的位置取決于信道的質量，信道信噪比越大，納什均衡點上移，次級用戶分得更多的頻譜。該結果可推廣至多個次級用戶的情況，納什均衡點將是所有最佳反應函數的交點。

圖2 最佳請求帶寬與納什均衡Fig 2 The best requested bandwidth and Nash equilibrium

3.2 動態平衡收斂到納什均衡

設動態博弈初始策略，bi（0）=2，次級用戶請求帶寬變化如圖3所示。從圖中可以得到:1）當γ1=15dB，γ2=15dB，動態博弈穩定時，次級用戶1和次級用戶2請求的帶寬分別收斂到大約為7.8MHz和5MHz。當γ1=10dB，γ2=11dB，動態博弈穩定時，次級用戶1和次級用戶2請求的帶寬分別收斂到大約為3MHz和4MHz。2）信道質量越好，信噪比越大，請求的帶寬數量越多。3）對于該不完全信息動態博弈，次級用戶請求帶寬的收斂速度取決于學習速率α。對次級用戶1，αi=0.4時，請求帶寬的收斂速度大于αi=0.7時的收斂速度，因此，學習速率αi越大，收斂得越慢。

3.3 納什均衡的公平性分析

圖3 動態平衡的收斂性Fig 3 The convergence of dynamic equilibrium

為了驗證納什均衡解決頻譜共享具有公平性，將其與最優化模型進行比較，其結果如圖4所示。從圖中可以得到:1）在最優化模型收斂到穩定狀態時，當r1=15dB，r2=14dB，只有次級用戶1分享到頻譜b1=9.6MHz;當r1=10dB，r2=11dB，只有次級用戶2分享到頻譜b2=7.5MHz。2）在競爭式模型收斂到納什均衡時，當r1=15dB，r2=14dB，（，）≈（7.8，5）;當r1=10dB，r2=11dB，（，）≈（3，4）。3）最優化模型收斂到穩定狀態時，只有信道質量好的一個次級用戶能分享到頻譜，其它次級用戶沒有分享到頻譜。而在競爭式模型納什均衡收斂點處各次級用戶都能共享到頻譜，兩次級用戶收斂點處的請求帶寬乘積最大，所以，納什均衡為競爭式頻譜共享問題提供了公平的方法，適用于跨洋航空網絡中主干網絡的頻譜共享問題。

圖4 最優化和競爭式模型中次級用戶收斂軌跡Fig 4 Optimization and competitive convergence trajectory of secondary users

4 結束語

本文提出了一種跨洋航空網絡中主干網絡的頻譜共享Cournot博弈模型，該模型綜合考慮了主用戶和所有次級用戶的收益，主用戶選擇最佳單位帶寬定價保證自身收益達到最大，各次級用戶根據主用戶的最佳單位定價改變請求帶寬以獲得最大收益。該博弈模型的靜態博弈與動態博弈的仿真結果和納什均衡的公平性驗證，說明了用該模型解決跨洋航空網絡中主干網絡的頻譜分配問題是一種行之有效的途徑。

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