PDE模型在聲納圖像去噪中的應(yīng)用研究*

劉光宇，卞紅雨，沈鄭燕，石 紅

（1.哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.總裝備部，北京 100000）

0 引言

聲納圖像處理包含了光學(xué)圖像處理領(lǐng)域中的去噪、融合、分割、分類(lèi)、識(shí)別、檢索等各個(gè)方面。聲納圖像與光學(xué)圖像在成像原理與機(jī)制上有著本質(zhì)的區(qū)別，雖然數(shù)字圖像處理、模式識(shí)別與人工智能等學(xué)科已經(jīng)發(fā)展比較成熟，但是很多可以用于光學(xué)圖像處理的技術(shù)并不見(jiàn)得對(duì)聲納圖像可行，并且有一些前沿的圖像處理技術(shù)并沒(méi)有在聲納圖像處理中得到應(yīng)用，因此，對(duì)聲納圖像處理的研究工作是迫切需要的。圖像去噪又是圖像識(shí)別定位等后期處理的基礎(chǔ)和前提，偏微分方程（partial differential equation，PDE）方法［1～7］在光學(xué)圖像去噪中已有很多成功的應(yīng)用，本文嘗試將PDE模型用于聲納圖像去噪處理，驗(yàn)證其有效性。

1 ROF模型

ROF 模型［8］是由 Fatemi，Osher和 Rudin 于 1992 年提出的一類(lèi)典型的去噪方法，該模型是經(jīng)典的變分偏微分方程針對(duì)“加性噪聲”的去噪模型。

經(jīng)典的TV模型［9］認(rèn)為有噪聲圖像的全變分比無(wú)噪聲圖像的全變分大很多，因此，最小化全變分可以消除噪聲。而在圖像恢復(fù)中，為了在去噪的同時(shí)能夠更有效地保留邊緣，Rudin，Osher和Fatemi提出通過(guò)引入拉格朗日乘子，用BV空間的半范數(shù)——全變差來(lái)作為正則項(xiàng)來(lái)正則化TV模型，即ROF模型。

由此可得，ROF去噪模型可歸結(jié)為如下能量泛函最小值問(wèn)題

其中，第一項(xiàng)為保真項(xiàng)，它是根據(jù)噪聲方差而定的逼近項(xiàng)，它使迭代后恢復(fù)的圖像u盡可能保存原圖像u0的特征;第二項(xiàng)為正則化項(xiàng)（regularized），它使得該模型在去噪的同時(shí)盡可能地保留圖像的邊緣特征信息;λ＞0為規(guī)整參數(shù)，在保真項(xiàng)和正則項(xiàng)之間起著平衡作用，對(duì)圖像平滑意義重大。該模型的解是存在且唯一的，其能量泛函導(dǎo)出的Euler-Lagrange方程為

即

結(jié)合邊界條件和初始條件由Euler-Lagrange方程得到的變分問(wèn)題對(duì)應(yīng)的梯度下降流方程為

該模型在去噪的同時(shí)，能夠很好地保持圖像邊緣，它的出現(xiàn)極大地推動(dòng)了基于變分方法圖像去噪的研究，但在去噪的同時(shí)會(huì)造成對(duì)比度丟失和階梯效應(yīng)等問(wèn)題。

2 四階擴(kuò)散模型

ROF模型所對(duì)應(yīng)的是二階偏微分方程，而二階偏微分方程處理圖像時(shí)容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，而You-Kaveh模型應(yīng)用四階偏微分方程［10］，避免了二階偏微分方程的階梯效應(yīng)問(wèn)題。模型中，圖像的正則能量為

其對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程為

梯度下降流為

1）計(jì)算u二階差分

2）求函數(shù)g（s）

3）計(jì)算g（s）的二階差分

4）離散格式

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

選取如圖1所示的大小為256×256的一幅側(cè)掃聲納圖像，分別加入均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為σn=0.1～0.6的高斯白噪聲，利用ROF模型和四階算子（FOD）模型進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.3時(shí)的去噪結(jié)果如圖2所示。

圖1 原始聲納圖像Fig 1 Original sonar images

從圖中可以明顯看出:當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差比較大時(shí)，ROF模型去噪后的圖像具有階梯效應(yīng)，圖像細(xì)節(jié)非常模糊。四階算子則避免了階梯效應(yīng)，圖像細(xì)節(jié)更為清晰，但當(dāng)受噪聲污染嚴(yán)重時(shí)，四階擴(kuò)散模型的抗噪聲能力明顯下降，噪聲去除的效果不很理想。

同樣從客觀角度對(duì)ROF和四階算子的去噪性能進(jìn)行比較，分別統(tǒng)計(jì)以上圖像去噪前后的信噪比（SNR），峰值信噪比（PSNR），均方誤差（MSE），得到的結(jié)果如表1所示，表中，NI為噪聲圖像，ROF_DI為ROF模型去噪圖像，YK_DI為四階擴(kuò)散模型去噪圖像。

圖2 去噪效果比較Fig 2 Comparison of denoising effect

表1 SNR，PSNR及MSE比較Tab 1 Comparison of SNR，PSNR and MSE

從表中數(shù)據(jù)可以看出:ROF模型去噪后圖像較四階算子去噪后圖像具有較高信噪比、峰值信噪比和較小的均方誤差。所以，雖然四階擴(kuò)散模型有效避免了ROF模型的階梯效應(yīng)，一定程度上保持了邊緣細(xì)節(jié)，但是該模型的抗噪聲能力沒(méi)有二階的ROF模型好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了兩種偏微分方程去噪模型—ROF模型和四階擴(kuò)散模型，并將這兩種模型用于聲納圖像去噪處理。ROF模型與四階擴(kuò)散模型的不同之處在于:ROF模型以二階偏微分方程為基礎(chǔ)，因此，不可避免地在去噪后產(chǎn)生明顯的階梯效應(yīng)，圖像出現(xiàn)模糊;實(shí)驗(yàn)中四階擴(kuò)散模型一定程度上改善了這種階梯效應(yīng)，但隨著噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的增大，去噪效果急劇降低，當(dāng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.6時(shí)，四階擴(kuò)散去噪后的SNR比ROF模型去噪低了近10 dB，已經(jīng)不能滿足聲納圖像的去噪需要。綜合來(lái)看，實(shí)際中的聲納圖像去噪需要根據(jù)具體情況選擇合適的模型進(jìn)行處理。

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