移動立方體算法的地質體三維空間形態模擬

鄒艷紅，何建春

1.中南大學 有色金屬成礦預測教育部重點實驗室，湖南長沙 410083；2.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南長沙 410083

1 引 言

地質體三維空間形態模擬是三維地學研究的一項基礎性工作，它對地質形態構造研究、礦體品位儲量估算、地下礦產勘查與采礦等都具有非常重要的意義，但由于受地質條件以及勘查技術的局限，地質勘查測量不可能獲取到完整且規則的地質體數據。因此，根據勘探測量等方式所采集到的少量且分散的不完備數據建立接近真實的地質體三維空間可視化模型，是目前地學研究中的難點問題。

在地質體三維建模研究方面，早在20世紀90年代初，文獻［1］就首先研究了規則三維格網（regular 3Dgrid）、非規則塊（irregular block）、斷面（sectional）和體（volume）數據結構，系統地建立了三維地質建模理論［1］。此后，許多學者對三維地質建模與可視化技術進行了大量的研究與實際應用工作，如：基于類三棱柱體的三維數據模型［2］、似三棱柱構模方法［3］、復雜地質體三維建模［4－8］、三維地質多體建模方法［9］等的研究以及各種地質體模型的建模與應用［10－14］。隨著三維地質建模理論和技術的成熟，地質體三維建模與可視化技術得到了快速發展并已進入實用化階段，市面上出現了大量的三維地質建模軟件，如澳大利亞Maptek公司的Maptek Vulcan軟件、英國Datamine公司的Datamine Studio軟件、澳大利亞Surpac公司的Surpac Vision軟件、法國Nancy大學開發的GOCAD地質建模軟件、澳大利亞Micromine公司的Micromine軟件；國內三地曼公司的3DMine軟件、迪邁公司的Dimine軟件，以及QuantyView和Titan 3DM等三維地質建模軟件。采用上述三維地質建模技術（3DGM）與軟件能夠實現對各種地質體（如地層、構造、礦體等）的三維可視化模擬，但已有的三維地質建模軟件一般是按照顯式模擬的方法，即首先基于勘探工程數據繪制勘探線剖面，再在三維可視化環境下按剖面人機交互圈定地質界線并生成地質體三維模型，過程較為繁瑣。隨著三維可視化各種算法的發展與成熟，將不完備的樣品數據通過空間插值來生成完備的樣品數據，然后通過三維曲面構建等算法自動生成三維可視化模型的隱式模擬方法［15－17］，在模型自動生成、快速適應新數據以及結果的精確性方面越來越顯示出其優越性，目前已經成為許多領域解決技術問題的不可或缺的重要技術。

移動立方體算法（marching cubes，MC）是一種三維數據場等值面提取的經典算法［18－20］。近年來，移動立方體算法在醫學影像數據的三維重建［21－22］，有限元計算中的標量場分析，分子化學中的分子表面顯示以及地學三維形態模擬［23－24］等方面得到廣泛研究及應用，并取得了大量的研究成果。

本文基于不規則的鉆孔樣品數據，提出了一種基于移動立方體算法實現由網格離散點到地質體三維等值面的模擬方法：首先將離散的不規則數據進行網格化，然后利用移動立方體算法提取出由無數小三角面組成的地質體等值曲面，最后通過OpenGL提供的接口將這些小三角面片在屏幕上進行真三維顯示，并設置相應的參數，構建了具有真實感的地質（礦）體三維空間形態可視化模型。

2 移動立方體算法原理［18，25－28］

移動立方體算法被用于三維重建方面的相關研究，該算法是三維數據場等值面提取的經典算法，也是隱式模擬技術的代表，此算法在三維空間規則數據場的基礎上，對數據場中的每個體元立方體（圖1）逐個進行處理，依次找出每個體元中所包含的等值曲面。等值曲面是指三維空間中的一張曲面，在該曲面上的點的函數值等于一個給定的閾值c。｛（x，y，z）｜f（x，y，z）＝c｝，其中c為設置的閾值大小。

圖1 體元立方體的定義Fig.1 The definition of cube

每個體元中并非都存在等值面，當體元的8個頂點值都大于或都小于閾值c時，體元的內部不存在等值面。只有在既包含大于c的頂點也包含小于c的頂點的體元內部才存在等值面。

移動立方體算法過程如下：

（1）每次讀出兩張切片，形成一層Layer；

（2）兩張切片上下相對應的4個點構成一個立方體；

（3）依次從左至右，從前到后，順序處理每一層中的立方體，抽取出各個立方體的等值面，并從下到上逐步處理（n－1）層。

對于每個立方體來說，8個頂點的灰度值可以直接從輸入數據中得到，并設定抽取的等值面的閾值。如果一個頂點的灰度值大于閾值，則將它標記為“1”，小于閾值標記為“0”。等值面的分布總共可能有28＝256種。由于立方體有旋轉對稱性而不影響等值面的拓撲關系，可以總結出15種基本的立方體（圖2），它們可覆蓋所有256種可能的拓撲關系。根據這15種基本立方體，可構造出一個表的長度為256的查找表，記錄所有拓撲關系下的等值面連接方式，分別比較一個立方體的8個頂點值與閾值之間的大小關系，可得到一個0～255之間的索引值，通過查找表即可得到體元各個邊上是否存在等值點。獲取等值點的連接方式，將等值點連接起來形成逼近等值面的邊界多邊形，并進行三角化可得到最終的逼近等值面片。

傳統的移動立方體算法將等值面與立方體邊的交點連接生成等值面時，在立方體的一個面上如果值為“1”的頂點和值為“0”的頂點分別位于對角線的兩端，就會有兩種可能的連接方式，存在著二義性。同時，設定閾值后，該算法需檢查每個立方體是否與等值面相交，許多時間花費在檢查空立方體上，即與等值面沒有相交的立方體，這將會大大降低重建的效率。

圖2 基本立方體的15種拓撲關系［27］Fig.2 Fifteen topological types of the basic cube［27］

隨著移動立方體算法的廣泛應用，針對算法存在的二義性與計算量大的問題，出現了各種各樣的改進算法，如消除二義性的雙曲線判別方法、立體單元剖分法［29］；提高算法效率的不同線性插值方法和基于區域分割的快速查找法等［30］。

考慮到本文采用的是研究區地質空間網格化的規則立體單元，且立體單元的礦化屬性值通過估算確定，本文采用了剖分法［25］消除算法的二義性。如圖3所示，針對歧義面上等值線的兩種不同連接方式direct型和reverse型，利用線性插值求出歧義面上4條邊的中點以及中心點的坐標和函數值，將原來的正方形剖分為4個小的正方形。計算每個正方形各邊上的等值點。當小正方形的4條邊上只有兩個等值點時，連接這兩個等值點形成等值線；當仍有4個等值點時，繼續剖分該小正方形，直到所有的小正方形都只有兩個等值點時結束。將各個小正方形中的兩個等值點用直線連接起來，自動生成立方體面上的等值線，從而消除了二義性問題。

由于三維地質空間中每個三維立方體信息網格實質上可看做是拓撲立方體網格，而每個三維立方體中心點坐標及屬性數據保存在數據庫中，采用這種剖分方式實現容易，本文試驗中僅剖分一次就基本上消除了二義性。

同時在程序中通過單元屬性值與所設閾值的比較，首先判別出非空的立方體，即與等值面相交的立方體，并設置一個隊列進行保存，使得與等值面相交的非空立方體能被快速有效地檢查到，大大減少了檢查空立方體的時間。實際上，對于地質曲面模擬，先基于閾值，逐個判斷立方體是否為空，記錄非空立方體的同時在表中保存其相鄰的立方體，如果某個立方體被確認為非空，那么與它相鄰的立方體中的三角形面片會沿著一定方向擴展，而與它相鄰的立方體在表中將會被快速地找到，從而可以提高地質曲面三維重建的效率。

圖3 消除等值面連接二義性的立體單元剖分Fig.3 The cube subdivision for eliminating the isosurface ambiguity

3 地質體三維空間形態隱式模擬方法

3.1 基于移動立方體算法的三維地質體模擬流程

本研究中，基于少量離散且不規則地質體數據的三維空間形態模擬是結合移動立方體算法和OpenGL三維可視化技術來實現的。首先需要對離散的地質體數據進行內插計算和處理，將分散的不規則分布的鉆孔數據轉換成規則分布的網格數據，構建三維空間規則數據場。詳細的模擬技術流程如圖4所示。

圖4 三維空間形態隱式模擬技術流程Fig.4 The process of three－dimensional spatial shape simulation

從研究區地質資料數據庫中提取與地質體有關的原始數據，這些實測資料和數據包括地質剖面圖、勘探工程數據和各種樣品化驗表格數據等。數據預處理是指通過對這些資料和表格進行分析和處理，獲取研究區域地質體已知的空間數據和屬性數據，為利用空間插值方法實現數據網格化，推斷并預測研究區未知區域地質體信息的分布趨勢作準備。然后依據移動立方體算法，從三維規則數據場中提取出由無數小三角面組成的等值面。最后結合OpenGL可視化技術為虛擬場景中的地質體構建三維幾何模型。

3.2 三維空間規則數據場構建方法

由于實際應用中獲取到的鉆孔數據基本都是采樣稀疏的不規則數據，需通過插值算法估計出一系列點缺失的觀測數據，以提高鉆孔數據的密度。數據網格化是對連續量或連續體按一定精度進行抽樣的過程，一般采用三維柵格的方法對地質空間進行分割抽樣，分割后得到的各個柵格稱為立體單元。地質空間分割的精度決定立體網格單元的大小，與礦床勘探程度等因素相關。地質空間經過抽樣分割網格化后，對地質體屬性按網格單元進行數據量化取值與編碼，從而構建地質體三維空間規則數據場。

基于離散且不規則的地質體屬性數據的網格化過程需要利用空間插值方法來實現。由于地質數據有其特殊的特點，在進行空間數據插值時，不能簡單地套用現成的自動插值方法，必須考慮許多制約因素及相關的地質學原理，目前以幾何方法和空間統計方法在地學領域最為常用。如克里金（Kriging）法、徑向基人工神經網絡（radial basis function，RBF）法等作為插值方法在地學建模和礦產資源儲量估算中都有廣泛的應用。對于連續的三維礦化空間，能夠基于離散的數據直接選用合適的方法實現網格數據的插值；對于帶斷層的地層等不連續地質體空間的插值則可以先通過斷層線確定包絡范圍，進行局部插值。

本文使用的數據主要來自于鉆孔勘探數據，首先通過鉆孔測斜計算，計算出鉆孔拐點的坐標，再采用線性插值的方法計算出落在任意兩個拐點間的鉆孔采樣點空間坐標，最后按照劃分的網格立體單元中心坐標，判斷有采樣點落入的網格單元作為已知單元，取落入的采樣點品位數據平均值作為其品位值。在多個不同鉆孔采樣數據點覆蓋的深度范圍，考慮方法和模型的適應性，采用克里金插值方法完全可以實現未知網格單元（無采樣點落入）的品位推估，建立三維礦化空間規則數據場。但由于本文中的網格化實例數據來自于礦山深邊部隱伏礦體預測項目（見本文實例），需要對沒有鉆孔控制和采樣點數據的深部（－1000m以上）、邊部立體單元礦化值進行推估，而克里金法并不適應。因此考慮到成礦地質條件的復雜性，實例三維數據場中未知網格單元含礦性的推估經過了從成礦信息定量提取到控礦因素與礦化分布的定量分析，以及隱伏礦體立體定量預測建模的過程［14］。最后將三維空間網格單元的位置與礦化信息保存在數據庫中。

3.3 基于OpenGL的三維地質體可視化

OpenGL是一種開放的圖形程序接口，適合于各種計算機操作系統下的三維圖形應用程序編程，是一個功能強大，方便調用的底層3D圖形庫。三維地質體可視化研究可基于OpenGL圖形接口將大量數據以圖形或圖像的方式表達出來，使抽象的數據內容變得形象、直觀。OpenGL提供了大量圖形變換函數，能夠在虛擬場景中構建三維地質體幾何模型，然后根據觀察點的位置及觀察方式進行變換和投影，最后實時繪制場景，方便地將地質體三維空間形態模型展示出來。對三維地質體的曲面進行光照、著色以及融合處理等細化加工，使礦體呈現一種透明或半透明的狀態，還可通過增加縮放、旋轉等圖像增強效果功能，使地質體更加逼真地呈現出來。由于在地質（礦）體渲染過程中產生大量的三角片，且在交互式觀察地質體過程中需實時渲染場景，因此對計算機性能要求較高。要想提高模型的精度并且作到快速實時渲染，就要求有大容量的內存和高效的CPU，對大量網格數據的三維規則數據場顯示和地質曲面重建還需要研究相應算法的改進。

4 實 例

4.1 實例數據

以安徽銅陵鳳凰山礦田銅礦床地質空間中的銅礦體為研究對象，以鉆孔勘探數據為原始數據，建立Access數據庫，采用移動立方體算法與OpenGL可視化技術編程實現銅礦體的三維空間形態模擬。本文的研究區范圍來自于鳳凰山礦田深邊部隱伏礦體預測的研究項目，考慮到礦田已有的地質工作程度、研究工作的目標及范圍，項目定義了一個巨大的立方體空間作為地質空間的包集。試驗中為了與顯示模擬的礦體三維可視化模型進行比較，選取了鉆孔深度范圍－475～275m的地質空間作為研究區數據網格化區域，對研究區按50m×50m×50m劃分地質空間，總共分成159 030個立方體單元。

鉆孔數據包括開孔數據表（collar），測斜數據表（survey），采樣品位數據表（sample），這些數據表結構如表1至表3所示［27］。

表1 開孔數據表Tab.1 Collar table

表2 測斜數據表Tab.2 Survey table

表3 采樣品位數據表Tab.3 Sample table

鳳凰山礦田銅礦床原始鉆孔取樣數據是由提取的鉆孔巖芯取樣化驗結果組成，為了定量評價礦體的分布和產狀，必須通過實現這些化驗結果的空間化得到各取樣點的坐標。根據銅陵鳳凰山鉆孔測斜計算，計算出每個測斜點所控制的邊界點（拐點）的坐標與孔深，按表3中樣品起始深度與終止深度，求取中點井深作為采樣點井深，判斷其落在哪兩個拐點之間，通過線性插值求出采樣點坐標，最后得出鉆孔采樣點位表，表結構如表4所示。按采樣點坐標找出落在相應網格立方體單元中的采樣點，對落在每個單元的所有采樣點的銅品位取平均值，共獲得6317個含礦立方體已知單元數據［27］。

表4 鉆孔采樣點位表結構Tab.4 The structure of sample point table

未知單元含礦值的推估根據項目中礦化分布的預測模型［14］獲得。圖5為項目中開發的網格立體單元水平分層三維可視化查詢界面，從數據庫中讀取每一層的三維立體信息網格數據，包括其中心點坐標和屬性信息，通過坐標中隱含的三維立體信息網格拓撲關系，連接數據庫時將三維網格依次編號，將帶有編號ID的網格信息推入鏈表，再根據鏈表信息，對三維地質空間進行柵格繪制。每隔50m水平可進行分層查詢網格立體單元的銅品位值，紅色代表已知單元礦化信息區域，綠色代表未知單元但單元銅品位預測值已達工業品位的預測含礦區域，藍色則代表未知單元但銅品位預測值小于工業品位的預測不含礦區域。

圖5 網格化立體單元礦化值可視化水平分層查詢Fig.5 Raster model showing the three－dimensional visualization mineral results for any cube in a layer

4.2 實例結果

基于研究區網格立體單元數據，結合移動立方體算法和OpenGL可視化技術采用C＋＋編程實現了三維銅礦體的模擬。設置等值面閾值的銅含量為0.3%（銅的工業品位值），在程序中首先對非空立方體單元進行了判斷，三維銅礦體等值面生成所耗費的時間大約為7.560s，經過三角化后生成的三角片數量為350 300個（機器配置：AMD Athlon（tm）II X2B24Processor 2.99GHz，2.00GB內存，320GB硬盤）。圖6為鳳凰山銅礦體的三維可視化效果。

圖6 銅礦體隱式模擬結果圖Fig.6 The implicit simulation result of isosurface extraction for Cu

從圖6隱式模擬的結果看，基本反映礦體的三維空間分布規律，參考手工勾繪的勘探剖面圖資料，3個主要的曲面群對應礦山3個主要礦體的位置，與在Datamine軟件中人工交互式圈定的礦體顯式模擬結果（如圖7所示）相比，形狀和大小相近。但從細節上看有些差異，隱式模擬的礦體邊界相對光滑，同時模擬結果中有一些零星的小曲面。這主要是因為通過推估模型獲得的某些空間網格礦化值存在偏差，同時，基于移動立方體算法在自動構建鄰近數據點的等值面時總是以圓滑曲面生成。但相對顯式模擬，隱式模擬省卻了繁瑣的人工圈定過程。

圖7 顯式模擬柵格化結果Fig.7 The result of explicit simulation

5 結 論

在地質體數據不足的情況下，利用空間插值方法對數據進行網格化，推斷并預測未知區域及研究較少區域的地質體信息的分布趨勢，結合移動立方體算法與OpenGL可視化技術編程，能有效對不規則勘查數據自動實現地質要素數據場的三維形態模擬。這種方法在礦業開發前期能夠快速得到地下要素信息的三維可視化表達，幫助地質工作者形象直觀地分析地質特征并處理大量的野外測量和樣品分析數據，有效地指導礦業開發。但針對不同的地質條件和地質體數據，如何選擇合適的空間插值方法與模型，還有待進一步研究和驗證，另外，基于改進的移動立方體算法對不同地質體模擬的適應性以及斷層等線性不連續層位面片的構造也將在后續工作中作進一步研究。

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