確定大地水準面的Tikhonov最小二乘配置法

歐陽永忠，鄧凱亮，黃謨濤，暴景陽，陸秀平，吳太旗，劉傳勇

1.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079；2.海軍海洋測繪研究所，天津 300061；3.大連艦艇學院 海測工程系，遼寧大連 116018

大地水準面是定義正高高程系統(tǒng)的高程基準面，也是反映地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)和密度分布特征的物理面。確定高精度高分辨率的大地水準面，已成為21世紀大地測量學科發(fā)展全局性的戰(zhàn)略目標［1－3］。國內(nèi)外學者就大地水準面的確定做了許多有益的研究，提出了Stokes理論、Molodensky理論、Bjerhammar理論和最小二乘配置理論等［4－6］。其中以統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的最小二乘配置理論，由于它具有能對多種類型的重力觀測量進行聯(lián)合處理的特性，在大地水準面確定的應用上受到廣泛關(guān)注［7－16］。利用最小二乘配置法確定大地水準面的關(guān)鍵是協(xié)方差函數(shù)的確定［7－9］，但是即使擬合的協(xié)方差函數(shù)能充分表達研究區(qū)域范圍內(nèi)重力場特性，由于在大地水準面的確定過程中需要對協(xié)方差矩陣進行求逆，而協(xié)方差矩陣的求逆過程是信號放大的非平穩(wěn)過程，協(xié)方差矩陣的小奇異值將放大觀測誤差對配置結(jié)果的影響，導致配置結(jié)果不穩(wěn)定且精度偏低［17］。當已知的重力觀測量存在觀測誤差時，最小二乘配置法難以得到穩(wěn)定精確的大地水準面解。

本文在確定大地水準面的最小二乘配置法中，引入Tikhinov正則化法，對協(xié)方差矩陣進行正則化處理，以抑制協(xié)方差矩陣的小奇異值對觀測誤差的放大影響，得到穩(wěn)定且高精度的大地水準面高。基于EGM2008重力場模型計算了一組重力異常數(shù)據(jù)，以該重力異常作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，聯(lián)合最小二乘配置法和Tikhonov正則化法確定大地水準面，以驗證該方法的有效性。

1 最小二乘配置法

1.1 基本原理

重力場的所有重力場觀測量都可看成空間平穩(wěn)隨機場的隨機量，任意重力場觀測量l可表示為

式中，Li為由擾動位T表示重力場觀測量l的線性泛函算子；e為觀測噪聲，其向量形式為

式中，t＝LT，是l的信號部分。

最小二乘配置公式［4－5］為

依據(jù)式（3），以重力異常Δg作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，基于最小二乘配置法確定大地水準面的公式為

式中，CNΔg為大地水準面與重力異常的互協(xié)方差矩陣；CΔgΔg為重力異常的協(xié)方差矩陣；Cnn是觀測噪聲的協(xié)方差陣。

1.2 協(xié)方差函數(shù)的確定

擾動位T的協(xié)方差函數(shù)可表示為［7］

依據(jù)位理論、邊值理論和協(xié)方差傳播定律，基于移去－恢復思想，重力異常與大地水準面之間協(xié)方差函數(shù)可寫為

球面重力異常經(jīng)驗協(xié)方差C（ψ）的公式［11，18］為

式中，θ為地心余緯；λ為地心經(jīng)度；α為方位角。若記球面上重力異常的格網(wǎng)值為f，面積為B，則式（7）的離散形式為

依據(jù)重力異常經(jīng)驗協(xié)方差C（ψ）擬合式（6）中的第二項，求得常數(shù)a0、A和RB，進而確定重力異常和大地水準面之間的互協(xié)方差函數(shù)。

2 Tikhonov正則化法

依據(jù)式（4），在大地水準面的確定過程中需要對協(xié)方差矩陣CΔgΔg進行求逆，而協(xié)方差矩陣的條件數(shù)較大，其求逆過程是信號放大的非平穩(wěn)過程，小的觀測誤差往往會引起結(jié)果的較大誤差，屬于不適定問題［17］。正則化算法的實質(zhì)就是通過選擇合適的正則化參數(shù)來抑制觀測噪聲對參數(shù)估值的影響，以得到穩(wěn)定、精確的解。在眾多的正則化方法中，以Tikhonov正則化法應用最為廣泛［19－21］。

2.1 Tikhonov正則化法

Tikhonov正則化法的實質(zhì)是用相鄰的適定解去逼近源問題的解［22］。取觀測值Δg的個數(shù)為q，令

則，x是一個q向量，式（4）可寫為

由式（10）可看出，是q個CNi的線性組合，由于CNi可由協(xié)方差函數(shù)計算得到，故只要得到穩(wěn)定精確的x，就能確定穩(wěn)定精確的。

將式（9）寫為

式中，A＝CΔgΔg＋Cnn，l＝Δg

則式（11）的正則化函數(shù)為

式中，α＞0是正則化參數(shù)；‖x‖表示x的范數(shù)。

根據(jù)式（12）的約束條件，可得Tikhonov正則化解

在正則化解的兩邊乘以CNΔg，則得到

所以求得穩(wěn)定精確的大地水準面高的關(guān)鍵是得到穩(wěn)定精確的

式（11）在頻域內(nèi)的形式為

為了分析正則化參數(shù)的影響，引入均方誤差MSE

由式（16）可知，Tikhonov正則化法的估值誤差包括兩部分：前者是測量誤差引起的估值誤差，隨著正則化參數(shù)α的增大而減小；后者是正則化引起的估值誤差，隨著正則化參數(shù)α的增大而增大。如何選擇正則化參數(shù)α是整個正則化算法的關(guān)鍵。

2.2 正則化參數(shù)的選取

近年來，統(tǒng)計學界和大地測量學界提出了多種方法選擇正則化參數(shù)，比如L曲線法［19－20］和廣義交互確認法（generalized cross－validation，GCV）［21－26］等。這里選擇GCV法選擇正則化參數(shù)。

該函數(shù)定義為

式中，Qα是所謂的影響矩陣，由Axα＝QαL定義；n為觀測值個數(shù)；tr為矩陣的跡。

最佳的正則化參數(shù)α對應于GCV函數(shù)的最小值。

本文的試驗取q為100［19］，以選取的正則化參數(shù)的示意圖見圖1。

3 仿真試驗及精度分析

為了驗證聯(lián)合最小二乘配置法和Tikhonov正則化法確定大地水準面的有效性，設(shè)計了以重力異常作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)確定大地水準面的仿真試驗。

3.1 數(shù)據(jù)準備

基于EGM2008重力場模型計算的重力異常作為仿真試驗的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。EGM2008重力場模型［27］是由 NGA（National Geospatial－intelligence Agency）釋放的全球超高階地球重力場模型，由衛(wèi)星重力測量、衛(wèi)星測高和地面重力觀測等資料聯(lián)合解算得到，模型階數(shù)達到2160。EGM2008重力場模型導出的重力異常在我國大陸的總體精度為10.5mGal（1mGal＝10－5m／s2）［28］。

基于EGM2008重力場模型分別計算山區(qū)、丘陵和海域2160的重力異常Δg山、Δg丘和Δg海（見圖1），大地水準面高N山、N丘和N海（見圖2）。區(qū)域范圍都為1°×1°，格網(wǎng)間距都為2′×2′。考慮移去－恢復技術(shù)的應用，取EGM2008重力場模型的360階作為參考模型，得到參考重力異常Δg′山、Δg′丘和 Δg′海和參考大地水準面高N′山、N′丘和N′海。重力異常和大地水準面的統(tǒng)計特性見表1和表2。

表1 仿真區(qū)域重力異常特性的統(tǒng)計Tab.1 Characteristics of gravity anomalies at simulation area mGal

表2 仿真區(qū)域大地水準面特性的統(tǒng)計Tab.2 Characteristics of Geoids at simulation area mGal

3.2 試驗步驟

為了模擬重力異常的觀測誤差，在仿真的重力異常Δg山、Δg丘和Δg海引入3種觀測誤差分別是零均值的白噪聲：e1（σ＝±1mGal）、e2（σ＝±3mGal）、e3（σ＝±5mGal）。以山區(qū)重力異常為例，試驗步驟如下：

圖1 仿真的重力異常Fig.1 Simulative gravity anomalies

圖2 仿真的大地水準面Fig.2 Simulative geoids

表3 各誤差條件下協(xié)方差函數(shù)的參數(shù)Tab.3 Parameters of the covariance function in three kinds of errors

（4）在已知協(xié)方差函數(shù)的系數(shù)A和RB的基礎(chǔ)上，依據(jù)式（6）中計算重力異常與大地水準面的協(xié)方差矩陣CNΔg和階方差矩陣CΔgΔg。

（5）依據(jù)Tikhonov正則化原理，利用GCV法計算階方差矩陣CΔgΔg求逆時的正則化參數(shù)（見圖3）。

丘陵區(qū)域和海洋區(qū)域的仿真試驗和山區(qū)區(qū)域的仿真試驗類似。

3.3 結(jié)果比較和分析

圖3 各誤差條件下協(xié)方差矩陣CΔgΔg用GCV法確定正則化參數(shù)示意圖Fig.3 Regularization parameters chosen by the GCV method in three kinds of errors

為了驗證本方法的效果，設(shè)計了3種計算方法。

方法1：Stokes法（積分半徑取1度）；

方法2：直接的最小二乘配置法；

方法3：聯(lián)合最小二乘配置法和Tikhonov正則化法的算法。

比較結(jié)果見表4。

由表4可以看出：

（1）在設(shè)計的3種誤差條件下，方法2計算的大地水準面出現(xiàn)千米級誤差，表明選擇取全區(qū)域觀測值擬合協(xié)方差系數(shù)將增大協(xié)方差矩陣之間的相關(guān)性，使得矩陣嚴重病態(tài)。

（2）在設(shè)計的3種誤差條件下，方法3計算的大地水準面的標準差，在山區(qū)區(qū)域分別為9.19cm、9.14cm和8.98cm；在丘陵區(qū)域分別為3.69cm、3.80cm和3.36cm；在海洋區(qū)域分別為2.14cm、1.98cm和1.96cm，遠優(yōu)于方法2計算的大地水準面，表明方法3能有效抑制觀測誤差對結(jié)果的影響，得到穩(wěn)定精確的大地水準面高。

（3）方法1計算的大地水準面的標準差，在山區(qū)區(qū)域分別為15.01cm、15.06cm和15.09cm；在丘陵區(qū)域分別為5.36cm、5.51cm和5.51cm；在海洋區(qū)域分別為2.93cm、3.14cm和3.19cm，與方法3比較，二者精度相當。

（4）在誤差增大的情況下，方法3的正則化參數(shù)顯著增大，在山區(qū)區(qū)域分別為495.50、10 796.80和41 125.74；在丘陵區(qū)域分別為90.54、953.37和2 577.74；在海洋區(qū)域分別為1 867.72、7 219.84和38 015.51。對應的CΔgΔg條件數(shù)依次減小，在山區(qū)區(qū)域分別為8 724.81、1 922.93和981.87；在丘陵區(qū)域分別為981.87、302.84和182.93；在海洋區(qū)域分別為302.84、154.63和66.75，同時大地水準面的標準差也相應減小，表明正則化參數(shù)嚴重影響方法3的穩(wěn)定性和精度。

表4 與大地水準面N0的比較Tab.4 Comparison Results of Geoids Differences between calculated results and Simulative Geoid N0 cm

4 結(jié)束語

最小二乘配置法由于能融合不同種類重力觀測數(shù)據(jù)確定大地水準面的特性而受到廣泛關(guān)注。但由于協(xié)方差矩陣存在病態(tài)性，微小的觀測誤差將被觀測數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的小奇異值放大，導致計算的配置結(jié)果不穩(wěn)定且精確偏低。

在最小二乘配置法中引入Tikhonov正則化法，利用正則化參數(shù)修正協(xié)方差矩陣的小奇異值，能抑制其對觀測誤差的放大影響。基于Tikhonov－LSC法計算大地水準面，能有效提高穩(wěn)定性和精度。通過以EGM2008重力場模型分別計算的山區(qū)、丘陵和海域重力異常作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)確定相應區(qū)域大地水準面的試驗，驗證了該方法的有效性。

Tikhonov正則化法能有效改進基于重力異常利用最小二乘配置理論計算大地水準面的精度和穩(wěn)定性。但Tikhonov正則化法是否適用于最小二乘配置理論的最優(yōu)正則化法，還有待進一步研究。

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