函數極值法求解三頻GNSS最優載波相位組合觀測量

李金龍，楊元喜，何海波，徐君毅，郭海榮

1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.西安測繪研究所，陜西 西安 710054；3.北京環球信息應用開發中心，北京 100094

1 引 言

利用全球衛星導航系統（GNSS）多頻載波相位觀測量間誤差的相關性，構造多頻載波相位觀測量的線性組合，形成具有長波長、弱電離層延遲影響以及小噪聲等優良特性的載波相位組合觀測量，可以提高整周模糊度解算的成功率和周跳探測與修復的可靠性［1－2］。不同的線性組合系數，對應不同的載波相位組合觀測量波長、電離層延遲影響以及噪聲特性，進而對應不同的整周模糊度解算和周跳修復成功率。文獻［3］系統地研究了雙頻組合觀測量的定義及誤差特性，并利用GPS雙頻相位組合觀測量來提高模糊度函數法的計算效率和可靠性。文獻［4］研究了GALILEO四頻整系數相位組合觀測量的一般定義，并對有關的誤差影響進行分析，然后根據一定的組合標準給出了一些具有特定性能的相位組合觀測量并分析其可能的應用。文獻［5］系統地研究了GPS和GALILEO三頻相位組合觀測量在模糊度解算和提高定位精度方面可能帶來的優勢。此外還有一些學者研究了三頻相位組合觀測量在模糊度解算［2，6－8］、周跳探測與修復和粗差檢測等方面的 應用［9－11］。 然 而 目 前 文 獻 中 主 要 采 用 搜 索法［2－5，8－12］，基于一 定 的 準 則 來 篩 選 最 優 線 性 組 合系數。這樣做雖然簡單可行，卻難以系統分析組合觀測量誤差影響特性隨線性組合系數的變化規律。文獻［13］系統研究了現代化后GPS三頻整系數組合觀測量的選取問題，發現線性組合系數之和與GPS三頻載波相位組合觀測量誤差特性密切相關，并通過解整數線性方程來求解最優相位組合觀測量，然而其最優載波相位組合求解方法無法擴展到北斗系統。本文通過構建三頻載波相位組合觀測量線性組合系數與波長、電離層延遲影響系數以及線性組合系數之和之間的函數關系，提出基于函數極值法求解特定波長和電離層延遲影響條件下的噪聲最優線性組合系數，并利用本文方法求解GPS和北斗三頻最優載波相位組合觀測量，驗證了方法的有效性。

2 GNSS三頻載波相位組合觀測量

假設GNSS 3個載波頻率可分別表示為f1＝n1f0、f2＝n2f0和f3＝n3f0，f0為基準頻率，n1、n2和n3為互質正整數（如GPS：f0＝10.23MHz，n1＝154，n2＝120，n3＝115；北斗［14］：f0＝2.046MHz，n1＝763，n2＝620，n3＝590），則以周為單位的三頻載波相位組合觀測量可表示如下［12－13］

式中，ρ為衛星至接收機的幾何距離（包含衛星鐘差、接收機鐘差和對流層延遲誤差等與頻率無關的誤差）；K1／f21為頻率f1上的一階電離層延遲誤差；λijk、κijk、Nijk和εijk分別為φijk的等效波長、以米為單位的電離層延遲影響系數、組合模糊度和以周為單位的組合觀測噪聲，且λijk＝c／fijk，κijk＝μijkλijk，φijk＝iφ1＋jφ2＋kφ3，Nijk＝iN1＋jN2＋kN3，εijk＝iε1＋jε2＋kε3。其中，c為真空中的光速；φm、Nm和εm分別為fm（m＝1，2，3）上以周為單位的載波相位觀測量、非差模糊度和以周為單位的測量噪聲；fijk和μijk分別為φijk的頻率和以周為單位的電離層延遲影響系數，且fijk和μijk的表達式為［12－13］

式中，λ1＝c／f1為頻率f1對應的波長。假設3個原始載波相位觀測量統計不相關，且以周為單位的測量噪聲標準差均為σε，則φijk的以周為單位的噪聲標準差為［12－13］

對于整周模糊度解算和周跳探測與修復等問題，一般要求載波相位組合觀測量滿足如下4個條件［15］：① 組合模糊度具有整周特性，即i、j、k均在整數域取值；② 具有較長波長，即fijk較??；③ 以周為單位的電離層延遲影響系數較小，即μijk較??；④ 以周為單位的組合觀測噪聲較小，即Tijk較小。根據式（2）和式（3），上述4個條件等價于如下表達式

式中，Z為整數集；α、β和γ為特定閾值。根據實際應用需求具體設定式（4）中α、β和γ值，則由條件④可得i、j、k取值范圍為［－γ，γ］［9］。在此范圍內根據條件（2）和（3）進行搜索即可得到滿足條件的線性組合系數i、j、k。這種方法雖然簡單可行，但不能揭示組合觀測量誤差特性隨線性組合系數變化的規律性，不利于對線性組合系數進行系統分類。

3 構建線性組合系數集

三頻載波相位觀測量可組成無窮多的線性組合，為了搜索噪聲放大系數最小的最優線性組合系數，首先需要構建具有特定波長和電離層延遲影響系數的線性組合系數集。由于i、j、k在整數域取值，根據式（4）中條件（b）和（c），由整系數線性方程解存在理論可知［16］

式中，gcd（·）為最大公約數算子；Lijk和Iijk為由線性組合系數決定的特定整數，隨著線性組合系數取值在整數域變化，Lijk和Iijk可取到任意整數值。由式（5）可知，Lijk和Iijk均為線性組合系數i、j、k的整數線性變換值，可定義Lijk和Iijk分別為φijk的巷數和電離層數［13，17］。由于n1、n2和n3為互質 正 整 數，即 有gcd（n1，n2，n3）＝1，從 而 由式（2）和式（5）可得

式中，λ0＝c／f0為基準頻率f0對應的波長；Qijk為以周為單位的電離層延遲放大系數。從式（6）可知，Lijk和Iijk表征了φijk波長和電離層延遲影響系數的大小，當Lijk＝1時，可得GNSS三頻整系數載波相位組合觀測量的最大有效波長為基準頻率f0對應的波長λ0，如GPS為29.3m，北斗為146.5m；而Iijk＝0則表示無電離層延遲載波相位組合觀測量。

不過對于特定的Lijk和Iijk，線性組合系數i、j、k有無窮多組，即僅以Lijk和Iijk不足以唯一確定線性組合系數?？紤]到線性組合系數之和Sijk與載波相位組合觀測量的誤差特性密切相關［13，17］，于是定義線性組合系數i、j、k的第3個整數線性變換為

從而由式（5）和式（7）可得

式中，Z為整數變換矩陣；c＝［ijk］T。若矩陣Z的行列式detZ≠0，由式（8）可得

式中，Z＊為矩陣Z的伴隨矩陣，列向量l、i、s分別表示矩陣Z＊的第1、第2、第3列。從式（9）可知，若detZ＝±1，由于Z＊為整數矩陣，則c與cz存在一一對應關系，即任意給定Sijk值，由式（9）均可直接解得具有特定Lijk和Iijk的線性組合系數；若detZ≠±1，則對于特定Lijk和Iijk，Sijk取值應確保根據式（9）解得的線性組合系數為整數。由此，隨著線性組合系數之和Sijk取值在整數域變化，由式（9）可獲得具有特定Lijk和Iijk的線性組合系數集。

4 基于函數極值法求解最優線性組合系數

基于具有特定波長（Lijk）和電離層延遲影響系數（Iijk）的線性組合系數集，可通過函數極值法求解噪聲放大系數Tijk最優的線性組合系數。令h＝lLijk＋iIijk，由式（9）可得

將上式對Sijk求導，并令導數值等于零可得

設定round（）為就近取整算子，則round）即為在特定Lijk和Iijk下使噪聲放大系數Tijk最小的Sijk。如果detZ≠±1，則round）應為滿足由式（9）解得的線性組合系數為整數且與最接近的整數值Sijk。將所得Sijk代入式（9）即可獲得特定波長和電離層延遲影響系數下的噪聲最優線性組合系數。由式（11），根據GPS和北斗相應的載波頻率值有

由于上式中Lijk的系數較小，當Lijk取值較?。úㄩL較大）時有

根據式（14）可知，對于波長較長且以周為單位噪聲放大系數較小的載波相位組合觀測量，其以周為單位的電離層延遲放大系數隨線性組合系數之和的增大而增大，約為線性組合系數之和的2.3倍。此外，式（11）可變換為如下形式

式（15）即為線性組合系數之和Sijk取特定值時，噪聲放大系數Tijk最小的線性組合系數其相應巷數Lijk與電離層數Iijk之間應滿足的關系式。根據式（15）可以在Lijk、Iijk（Qijk）平面內繪出對應于不同Sijk值的最小噪聲軸。對于GPS和北斗，Lijk、Iijk（Qijk）平面內Sijk＝0、±1、2時的最小噪聲軸見圖1和圖2（由于GPS和北斗基準頻率為5倍關系，故圖1和圖2中橫坐標取值范圍不同，并綜合考慮波長和電離層延遲放大系數大小確定橫縱坐標取值范圍）。

圖1 GPS最小噪聲軸分布圖Fig.1 Location of GPS minimal noise axes

圖2 北斗最小噪聲軸分布圖Fig.2 Location of BeiDou minimal noise axes

從圖1和圖2同樣可以看出：GPS和北斗三頻載波相位組合觀測量中，具有長波長（Lijk取值較?。┣以肼曒^小的超寬巷組合（GPS：1≤Lijk≤10，北斗：1≤Lijk≤50），其以周為單位的電離層延遲放大系數隨線性組合系數之和的增大而增大；而具有弱電離層影響（Qijk取值較小）且噪聲較小的載波相位組合觀測量，其波長隨線性組合系數之和的增大而減小。因此，噪聲較小和以周為單位的電離層延遲放大系數較小的最優（波長盡量大）窄巷組合（GPS：Lijk＞154，北斗：Lijk＞763），其線性組合系數之和宜為1。

5 計算與分析

為驗證本文方法的正確性，利用GPS和北斗3個載波頻率值，基于本文方法搜索相應的載波相位組合。由于篇幅限制，此處只給出北斗最優載波相位組合的搜索結果：以1≤Lijk≤50，｜Qijk｜＜5，Tijk≤15為條件，根據式（11）和式（9）搜索得到的北斗超寬巷（λ≥2.93m）見表1；以1200≤Lijk≤1500，｜Qijk｜＜0.3，Tijk≤10為條件，根據式（11）和式（9）搜索得到北斗窄巷組合（λ＜0.19m）見表2（為方便對比，將f1上的原始載波相位觀測量也列于表2中）。

分析比較以上計算結果可知：

（1）表1中列出的超寬巷組合以周為單位的電離層延遲放大系數均為線性組合系數之和的2.3倍左右，驗證了前文分析結論。對于線性組合系數之和等于0的超寬巷組合，其以周為單位的電離層延遲影響系數和噪聲放大系數均較小，適合于解算中長基線模糊度和探測與修復低采樣率數據的周跳，如北斗組合（－1，6，－5）、（1，－5，4）、（0，1，－1）和（－1，7，－6），分米級的電離層延遲誤差對其模糊度解算的影響均小于0.1周。而對于線性組合系數之和不等于0的超寬巷組合，厘米級的電離層延遲誤差對其模糊度解算的影響就大于0.1周，因此只適合于解算短基線模糊度和探測與修復高采樣率數據的周跳。

表1 北斗的超寬巷組合Tab.1 The extra－wide－lane combinations for BeiDou

續表1

表2 北斗Sijk＝1時的窄巷組合Tab.2 The narrow－lane combinations for BeiDou（Compass）when Sijk＝1

（2）表2中北斗窄巷組合（4，2，－5）和（5，－3，－1）的電離層延遲影響系數非常小，米級的電離層延遲誤差對其模糊度解算的影響小于0.1周，對其定位解算影響也小于1cm，且波長大于10cm，故適用于中長基線幾何模式模糊度解算和精密定位。

為驗證上述結論，將表1中所有的相位組合應用于偽距相位組合法探測三頻非差觀測數據周跳。由于偽距相位組合周跳探測對數據采樣間隔的敏感程度主要取決于相應相位組合的電離層延遲影響［10］，因此通過對比不同相位組合與同一偽距觀測量構造的偽距相位組合的周跳探測性能，即可驗證相應相位組合是否適合于低采樣率數據的周跳探測。試驗數據為2010年6月28日于北京收集的一組北斗衛星的三頻靜態數據，采樣間隔為1s，觀測時段為4h。原始觀測數據中不包含周跳，試驗中每600s模擬一個組合周跳值僅為1周的小周跳，并通過刪除數據的方法分別進行了1s、30s、60s、120s、300s及600s共6種采樣間隔的周跳探測與修復試驗。圖3和圖4分別是采樣間隔為1s和600s時表1中各相位組合的周跳估值序列（圖中藍色、綠色和紅色分別對應于組合系數之和的絕對值為0、1和2的相位組合），表3為根據組合系數之和進行分組的各相位組合周跳探測與修復試驗的統計結果（包括周跳估值的最小值、最大值以及探測到周跳并正確修復的成功率）。

圖3 周跳估值序列（1s）Fig.3 The series of cycle－slip estimate（1s）

圖4 周跳估值序列（600s）Fig.4 The series of cycle－slip estimate（600s）

表3 周跳探測與修復結果Tab.3 The result of cycle－slip detection and repair

從圖3可知，當采樣間隔為1s時，表1中所有相位組合在未加周跳歷元的周跳估值均小于0.3周，而在加周跳歷元所有相位組合的周跳估值與周跳真值1周的偏差都在0.2周內，即所有相位組合均可探測并修復組合周跳值僅為1周的周跳。然而，由圖4可知，當采樣間隔為600s時，周跳估值序列根據組合系數之和的不同而出現明顯的分群現象：組合系數之和不為0的相位組合的周跳估值序列出現了大于0.5周的波動，且組合系數之和絕對值越大，波動越大，從而導致周跳誤探情況且相應周跳估值嚴重偏離周跳真值；而組合系數之和為0的相位組合的周跳估值均小于0.5周，且加周跳歷元的周跳估值仍然接近于周跳真值1周，進而可以準確探測并正確修復所有周跳。此外，從表3的統計結果也可以看出，周跳探測并正確修復的成功率隨著組合系數之和的增大而降低，而組合系數之和為0的相位組合即使數據采樣間隔達到600s，仍然可以探測并正確修復組合周跳值僅為1周的小周跳，這驗證了前面分析結論的正確性。

6 結 論

本文通過構建具有特定波長和電離層延遲影響系數的線性組合系數集，提出了求解三頻載波相位組合觀測量最優線性組合系數的函數極值法，并得出如下結論：

（1）線性組合系數取整數的GNSS三頻載波相位組合觀測量，其有效波長最大值為基準頻率對應的波長，如GPS為29.3m，北斗為146.5m。

（2）波長較長且以周為單位噪聲放大系數較小的GPS和北斗三頻載波相位組合觀測量，其以周為單位的電離層延遲放大系數隨組合系數之和的增大而增大，約為其線性組合系數之和的2.3倍；而具有弱電離層延遲影響且以周為單位噪聲放大系數較小的GPS和北斗三頻載波相位組合觀測量，其波長隨線性組合系數之和的增大而減小。

（3）對于GPS和北斗三頻載波相位組合觀測量，具有長波長和弱電離層延遲影響的噪聲最優超寬巷組合，其線性組合系數之和宜等于0，而具有弱電離層延遲影響的最優窄巷組合，其線性組合系數之和宜等于1。

（4）線性組合系數之和等于0的超寬巷組合適合于中長基線模糊度解算和低采樣率數據的周跳探測與修復，而線性組合系數之和不等于0的超寬巷組合僅適用于解算短基線模糊度和探測與修復高采樣率數據周跳。

［1］ YANG Yuanxi.Progress，Contribution and Challenges of Compass／Beidou Satellite Navigation System ［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（1）：1－6.（楊元喜.北斗衛星導航系統的進展、貢獻與挑戰［J］.測繪學報，2010，39（1）：1－6.）

［2］ FENG Y.GNSS Three Carrier Ambiguity Resolution Using Ionosphere－reduced Virtual Signals［J］.Journal of Geodesy，2008，82（12）：847－862.

［3］ HAN Shaowei.Theory and Applications of the Combinations of GPS Dual Frequency Carrier Phase Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1995，24（2）：8－13.（韓紹偉.GPS組合觀測值理論及應用［J］.測繪學報，1995，24（2）：8－13.）

［4］ WANG Zemin，LIU Jingbin.Model of Inter－Frequency Combinations of Galileo GNSS ［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2003，28（6）：723－727.（王澤民，柳景斌.Galileo衛星定位系統相位組合觀測值的模型研究［J］.武漢大學學報：信息科學版，2003，28（6）：723－727.）

［5］ URQUHART L.An Analysis of Multi－frequency Carrier Phase Linear Combinations for GNSS：Technical Report No.263［R］.Fredericton：University of New Brunswick，2009.

［6］ RICHERT T，EL－SHEIMY N.Optimal Linear Combinations of Triple Frequency Carrier Phase Data from Future Global Navigation Satellite Systems［J］.GPS Solutions，2007，11（1）：11－19.

［7］ FAN Jianjun，WANG Feixue.A Method for GNSS Three Frequency Ambiguity Resolution Based on Short Baselines［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（1）：43－49.（范建軍，王飛雪.一種短基線GNSS的三頻模糊度解算（TCAR）方法［J］.測繪學報，2007，36（1）：43－49.）

［8］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong，ZHOU Zebo.A New Method for Medium and Long Range Three Frequency GNSS Rapid Ambiguity Resolution［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（4）：296－301.（李博峰，沈云中，周澤波.中長基線三頻GNSS模糊度的快速算法［J］.測繪學報，2009，38（4）：296－301.）

［9］ CHANG Zhiqiao，LIU Li，HE Haibo.Detecting and Repairing Cycle Slip Using Triple－frequency Data Based on the Optimal Combination Observations［C］∥CSNC2010.Beijing：［s.n.］，2010：1－6.（常志巧，劉利，何海波.基于最優觀測組合的三頻周跳探測與修復［C］∥第一屆中國衛星導航學術年會（CSNC2010）.北京：［s.n.］，2010：1－6.）

［10］ LI Jinlong，YANG Yuanxi，XU Junyi，et al.Real－time Cycle－slip Detection and Repair Based on Code－phase Combinations for GNSS Triple－frequency Un－differenced Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（6）：717－722.（李金龍，楊元喜，徐君毅，等.基于偽距相位組合實時探測與修復GNSS三頻非差觀測數據周跳［J］.測繪學報，2011，40（6）：717－722.）

［11］ LIU Xuchun，WU Yue，HUANG Xuebin，et al.Application of GPS Multi－frequency Carrier Phase Combinations for Preprocessing of Original Carrier Phase Observations［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2007（2）：14－17.（劉旭春，伍岳，黃學斌，等.多頻組合數據在原始載波觀測值預處理中的應用［J］.測繪通報，2007（2）：14－17.）

［12］ HAN S W，RIZOS C.The Impact of Two Additional Civilian GPS Frequencies on Ambiguity Resolution Strategies［C］∥Proceedings of ION Annual Technical Meeting.Cambridge：ION，1999：315－321.

［13］ COCARD M，BOURGON S，KAMALI O，et al.A Systematic Investigation of Optimal Carrier－phase Combinations for Modernized Triple－frequency GPS［J］.Journal of Geodesy，2008，82（9）：555－564.

［14］ China Satellite Navigation Office.Beidou （COMPASS）Navigation Satellite System Development［R］.Munich：Munich Satellite Navigation Summit 2010，2010.

［15］ WU Yue.The Theory and Application on Multi－frequency Data Processing of GNSS 2［D］.Wuhan：Wuhan University，2005.（伍岳.第二代導航衛星系統多頻數據處理理論及應用［D］.武漢：武漢大學，2005.）

［16］ NATHANSON M B.Elementary Methods in Number Theory［M］.New York：Springer－Verlag，2000.

［17］ LI Jinlong.Researches on the Algorithms of GNSS Triple Frequency Precise Positioning［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2011.（李金龍.GNSS三頻精密定位數據處理方法研究［D］.鄭州：信息工程大學，2011.）