分布作用速調管大信號計算模型的研究

黃傳祿 丁耀根 王 勇 謝興娟②

①(中國科學院電子學研究所中國科學院高功率微波源與技術重點實驗室 北京 100190)

②(中國科學院研究生院 北京 100039)

1 引言

分布作用速調管(EIK)作為一種新型微波器件，與傳統速調管相比，在高頻段具有頻帶寬，效率高的優點。其高頻結構采用多間隙耦合腔，以提高注波互作用效率，并增加了帶寬[1,2]。速調管中電子注與電磁場的相互作用，包括間隙中電子注與高頻場的互作用、以及電子注在自身空間電荷場作用下的群聚等過程是速調管的主要物理過程。這些物理過程對系統的效率和帶寬等工作特性具有直接影響。注波互作用過程的計算機模擬[3-6]，對于速調管快速準確的設計與制造具有重要意義。利用空間電荷波小信號理論[7]，以及微波網絡等效分析的方法，可以得到群聚段小信號下的增益頻寬等特性，但對于輸出腔等非線性段的注波互作用卻無法準確分析[2]。分布作用速調管的注波互作用大信號模擬在目前尚沒有合適的計算模型和軟件工具。現有的大多數速調管注波互作用模擬軟件，無論是基于傳統的一維電子圓盤模型[3]，還是2.5維的圓環模型[5]，乃至利用PIC粒子方法的互作用模型[4,6]都不能有效地模擬分布作用速調管。在實際模擬中需要將多間隙耦合腔等效為單間隙腔，但這種等效掩蓋了很多物理事實，例如多間隙中高頻場的場型模式分布，以及耦合腔的穩定性[8]等。全時域的3D粒子模擬軟件[9]，雖然可以直接由邊界條件模擬任意間隙情況，但由于其使用復雜，計算時間長，計算資源要求高，其應用具有局限性，無法普遍應用。為開展分布作用速調管的研究，需要發展一種能快速，方便計算EIK注波互作用的大信號計算模型。

本文基于一維電子圓盤模型，采用時間積分的方式建立分布作用速調管注波互作用的大信號計算模型，發展了基于這種模型的用于雙間隙耦合腔的計算程序，并與文獻[9]中的EIK實例仿真結果進行了比較驗證。利用程序計算分析了雙間隙耦合腔注波互作用特性，并擴展到更多間隙情形。另外對程序在計算速度、穩定性以及擴展到2維圓環模型等方面進行了分析。

2 物理模型

2.1 電子圓盤運動方程

根據一維電子圓盤模型，電子圓盤在高頻電場和空間電荷場作用下的相對論運動方程[2]為

其中p= [ 1 - (vz/c)2]-1/2為相對論因子，c為光速；η=e/m0為電子荷質比；Esc為電子圓盤受到的空間電荷場；Ecz為作用在電子圓盤上的高頻電場。

進行時間和軸向距離歸一化：τ=ft,y=fz/v0，其中f為工作頻率，v0為電子直流速度。則電子圓盤的運動方程歸一化形式為

該方程離散后化為差分方程，可以用龍格-庫塔法求解。

2.2 空間電荷力的計算

根據電子圓盤模型，采用靜電場格林函數法[7]，可以得到一個電子圓盤受到一個高頻周期內其它所有電子圓盤的空間電荷作用力的總和。

式(3)表示位于zj的電子圓盤受到位于zk(k=1:Nd,k≠j)的電子圓盤的庫侖作用力。其中，Nd為一個高頻周期內劃分的電子圓盤數，ωp為等離子體角頻率，βe為電子縱向傳播常數。b為電子注半徑，a為漂移管半徑，μp0為零階貝塞爾函數的第p個根，J1(x)為一階貝塞爾函數。sign(x)為符號函數，x＞ 0 時，sign(x) = 1;x＜0時，sign(x) = - 1。

2.3 間隙高頻電場的計算

諧振腔單個間隙電場由間隙電壓和場型分布函數得到[3]

式(4)中Vm是間隙電壓幅值，θm為相位。Mr為徑向耦合系數，是間隙電場對電子注截面取平均的結果。f(z)是高頻場型函數，在本模型中使用高斯分布函數[3]。

其中k= (a2-b2+δd2)-1/2,δ的取值反映了漂移頭形狀對場型的影響，一般取1/4～1/6。

利用上面單間隙場型分布形式，雙間隙耦合腔的間隙電場可描述為

式(6)中E1m為耦合腔間隙 1電場幅值；R,θ分別為間隙2電場與間隙1電場的幅度之比與相位差。對于2π模式，R=1,θ=0；對于π模式，R=1,θ=π。 (z1,z0)為間隙1電場區域， (z0,z2)為間隙2電場區域。

2.4 雙間隙耦合腔等效電路模型

雙間隙耦合腔間隙的電子注與高頻電場的互作用過程，是通過如圖1的等效電路[2]實現的。電子注(電子圓盤)由于運動而在間隙上產生感應電流，通過等效電路網絡產生間隙電壓,從而形成間隙電場，并反作用于電子注，影響其運動狀態。這樣相互作用經過迭代達到穩定狀態，便是注波互作用模擬的主要過程。

圖1中元件參數由耦合腔的冷測參數，如諧振頻率f、特征阻抗R/Q、品質因數Q等得到，其中G1,G2分別為兩個耦合腔的損耗電導，包括腔體損耗電導與電子電導。由圖1可以得到電路的阻抗矩陣。電路的感應電壓由感應電流基波分量與阻抗矩陣相乘得到：

式(7)中的間隙感應電流根據拉姆定律由式(8)求得[2]。

圖1 基于TM010模式的雙間隙耦合腔等效電路

qj為電子圓盤的電量，Ez為間隙電場，V為間隙電壓幅值，v為電子圓盤的運動速度。將感應電流進行傅里葉級數展開，即得到各次諧波的感應電流分量。

2.5 雙間隙阻抗矩陣中電子電導計算

式中 |F(x) |2= 1 + 2 cos(θ+Px) /R。P為兩間隙中心距離。R,θ的意義同式(6)定義。M(βe-βq),M(βe+βq)分別是對應快波與慢波的單間隙耦合系數。βe為電子傳播常數，βp為對應的等離子傳播常數。βq=Fβp,F為等離子體頻率縮減因子。

2.6 計算程序流程

依據上面物理模型編寫了模擬程序，程序采用超松弛迭代法[2]，比較前后兩次得到的間隙電壓是否收斂。由于前面群聚段屬于小信號，相比較后面的非線性段容易收斂，所以程序設計采用從輸入腔到輸出腔依次判別收斂，對于已經收斂的諧振腔，不再進行迭代計算。這樣可以有效的節省計算時間，提高計算速度。圖2是程序的架構流程圖。

3 計算結果

利用編寫的大信號計算程序，以文獻[9]中的EIK實例做了相應的計算模擬，與文獻的仿真結果進行了對比。文獻中給出了利用粒子仿真軟件MAGIC3D得到的模擬結果。該實例為 Ka波段EIK，中心頻率35 GHz。其高頻結構共7個諧振腔，除末前腔外，其余均采用雙間隙耦合腔。其設計輸出功率為1 kW，增益為35 dB，效率為17.8%, 3 dB帶寬為200 MHz。電子注電壓14 kV，電流0.4 A。

圖2 計算程序流程

雙間隙耦合腔的電場通過耦合槽和漂移管相互耦合[2,9]，目前并沒有準確的解析模型描述其電場分布。式(6)的場型分布中用到的高斯函數(式(5))是依照于單間隙情況，無法考慮到由于相互耦合而造成的場型變化。除了解析場型外，還可以利用高頻軟件計算出場型分布，然后以文件格式導入程序中，但這樣做非常繁瑣，不符合程序設計的初衷。對于1維程序，由于僅考慮軸向電場，兩間隙相互耦合對其影響相對不大，所以在程序中采用高斯函數合成(式(6))來模擬耦合腔間隙場型分布。圖3為采用式(6)的雙間隙場型分布與高頻軟件仿真的場型分布的比較。模型采用2π模式，場型為距離歸一化形式。從圖中可以看出，對于軸線上的軸向電場分布，在兩間隙中心左右，解析場型和仿真場型非常接近，而在兩間隙之間的漂移段，仿真結果有電場的分布，而解析場型由于沒有考慮耦合的情況，所以沒有電場分布。但這方面的差別，對1維情況來說影響很小，可以不考慮。

圖4是在中心頻點(35 GHz)上的輸出功率隨輸入功率的變化趨勢圖。可以看出，1維模型計算結果與文獻中MAGIC3D結果變化趨勢一致。兩仿真結果的飽和激勵點比較一致，都在0.3 W左右。圖5 是在固定激勵(0.25 W)點上輸出增益隨頻率變化趨勢圖，圖中兩者的增益-頻率特性比較符合一致。兩仿真結果的3 dB增益帶寬也比較符合，從圖中可以看出3 dB帶寬能達到200 MHz左右。

從圖 4，圖 5兩圖還可以看出，利用模型仿真得到的功率或增益明顯高于用粒子仿真軟件MAGIC3D得到的結果。這是由于本文模型是基于1維理論，假設磁場無限大，不考慮徑向分量變化，忽略了電子注的徑向波動，截獲等不利影響[2,5,9]，所以結果普遍高于2維乃至3維仿真結果。

圖3 雙間隙耦合腔間隙場型分布

圖4 輸出功率仿真結果圖

圖5 增益-頻率特性

利用本文模型編寫的程序，計算時間短，計算資源要求少，可以快速地給出輸出功率、效率、增益等特性參數。用本文的EIK實例，進行單頻單激勵點計算，經過對比驗證，得到本模型程序計算時間小于10 s，等效成單間隙腔后利用其他2.5D程序，大概需要十幾分鐘，而利用MAGIC3D則需要將近35個小時。在內存等資源消耗方面，本文程序也遠遠小于其它計算程序。盡管本文1維程序計算結果普遍高于2維乃至3維結果，但其反映的特性曲線變化趨勢正確，并且計算速度快，對于速調管初始參數的設計、確定諧振腔的位置、頻率偏諧等仍具有重要的參考意義。本文模型還可以采用 2.5維圓環模型，便能考慮徑向分量變化，電子截獲等物理事實，從而可以得到更加準確的模擬結果。

根據速調管群聚理論[7]，電子注在線性段群聚電流很小，群聚相位變化也很小，在非線性段群聚電流迅速增加，相位變化劇烈，不再滿足穩相條件。在輸出間隙應使群聚電流達到最大值，以保證最大的輸出效率。從群聚電流分布，以及電子的群聚相空間圖可以看出互作用情況的好壞，檢驗參數設計的合理性。圖6 是在中心頻點處電子注的歸一化群聚電流(Ib/I0)的軸向分布圖，在群聚段，運動電流很小，在后面增益區，群聚電流，尤其是基波分量，隨距離迅速增大，在輸出間隙位置達到最大值。圖7 是對應的歸一化相空間群聚圖，由此圖也可以看出輸出腔電子群聚明顯，能量交換劇烈。這說明該模型能正確反映注波互作用中電子群聚的物理過程[7]。

4 結束語

本文基于1維圓盤模型發展了一種可用于模擬分布作用速調管注波互作用的大信號計算模型，并編制了相應的計算機程序。通過對文獻相關數據的驗證，可以看出這個模型能有效地反映注波互作用的基本物理過程。但1維模型沒有考慮徑向電場分量和磁場，不能完全反映物理事實，如電子注徑向波動和截獲等情況，得到的計算結果普遍高于2維與3維仿真結果。對于雙間隙高頻電場分布的解析方法也沒有考慮到其存在的耦合情況，這不可避免的帶來計算誤差。盡管如此，該模型及計算程序執行效率高，計算速度快，計算結果對器件設計的初步參數具有重要意義。本文模型還可以采用更加精確的2維圓盤模型，同時對進一步發展其他EIK注波互作用計算模型也具有參考意義。

圖6 群聚電流軸向分布

圖7 群聚相空間圖

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