非耗散耦合復雜網絡受控同步能力分析

劉歌群 許曉鳴

(上海理工大學光電信息與計算機工程學院 上海 200093)

1 引言

復雜網絡[1,2]因刻畫了復雜系統的本質特征而成為研究熱點，同步[3,4]作為復雜網絡重要的動力學行為而備受關注。目前多數研究工作采用了耗散耦合網絡模型[3-11]，耗散耦合是網絡節點通過狀態變量之差耦合的一種情況[5]，當節點通過狀態變量直接耦合時，網絡就不再是耗散耦合的，如產品價格網絡，甲產品的價格直接進入乙產品的成本，又如交通網絡，A路口的車輛直接行駛進入B路口。鑒于非耗散耦合網絡巨大的應用意義[6-10]，其同步問題需要研究。

網絡在兩種情況下可能取得同步，一是自同步，二是通過控制同步，因此網絡有兩種同步能力，即自同步能力和受控同步能力。文獻[11]提出了研究復雜網絡同步問題的主穩定函數法[11,12]，對于耗散耦合網絡，文獻[13,14]發現，當同步化區域為 (- ∞,a1)形無限區間時，外耦合矩陣第二大特征值越小網絡同步能力越強，文獻[15]指出，當同步化區域為有限區間時，外耦合矩陣最小特征值與第二大特征值之比越小，網絡同步能力越強。這些結論指的都是耗散耦合網絡的自同步能力[16]，而對于非耗散耦合網絡，因為網絡不可能自同步，所以只能分析它的受控同步[6,7,17]能力。與耗散耦合網絡的自同步能力相對應，非耗散耦合網絡的耦合強度及外耦合矩陣特征值對網絡受控同步能力會有什么影響，目前很少看到相關結果，為此本文對這一問題進行專門研究。

2 非耗散耦合網絡模型及預備知識

考慮如下的線性時不變非耗散耦合復雜動態網絡：

當外耦合矩陣對角線元素非零且滿足矩陣行和為0時，網絡為耗散耦合網絡。耗散耦合網絡外耦合矩陣有且僅有一個重數為1的0特征根，對應的右特征向量為 (1 /) [1,1,… , 1 ]T, 0為最大特征值，對應同步流形[3,11,16]。非耗散耦合網絡與耗散耦合網絡在結構上的主要區別在于外耦合矩陣主對角線元素，為了對非耗散耦合網絡的受控同步能力進行分析，先給出非耗散耦合網絡外耦合矩陣特征值的分布規律。設lmin=lN≤…≤l2≤l1=lmax為H的N個特征值，由矩陣理論，有以下結論。

引理1

利用矩陣理論可以很容易得到本引理。引理 1表明，非耗散耦合網絡外耦合矩陣的特征值有正有負，分布在原點兩側。

在動態網絡式(1)中，當t→∞時若x1(t)→x2(t)→ … →xN(t) →s(t)，則稱網絡達到漸近同步。同步狀態s(t) ∈Rn為孤立節點狀態方程的解，可以是平衡點、混沌軌道或者周期軌道，滿足˙(t)=f(s(t))。

3 非耗散耦合網絡同步控制律與受控同步能力分析

把網絡式(1)在同步狀態s(t)上線性化，令yi(t) =xi(t) -s(t)，得到方程

注釋1式(3)中由于項ckiΓs(t)的存在，若s(t)≠ 0 且節點i不施加控制，則在yi(t) → 0時˙i(t)→ckiΓs(t) ≠ 0 ，網絡同步狀態不穩定，所以非耗散耦合網絡不能自同步。這一點是非耗散耦合網絡與耗散耦合網絡在同步能力上的根本區別，耗散耦合網絡滿足特定條件[3,4,11-16]時可以自同步，而非耗散耦合網絡不存在自同步的可能性，只能通過分散控制[6,7]實現同步。

考慮控制律

把控制律式(4)施加于網絡式(1)得到閉環網絡

注釋2控制律式(4)是一種對消控制，即通過項 -ckiΓs(t)把使得網絡同步狀態不穩定的因素對消掉。對消控制是控制工程及復雜網絡控制中常見的一種手段[18-20]，因為參數ki已知，所以控制律式(4)是易行的。由于非耗散耦合網絡在現實世界中普遍存在，其同步問題異常重要[1,2,6-10,21]，對同步不穩定項進行處理是非耗散耦合網絡同步研究繞不開的問題，控制律式(4)給出了一種可行方法。

注釋3引入 -ckiΓs(t)的網絡與耗散耦合網絡并不相同。耗散耦合網絡通過狀態變量之差進行耦合的方式，相當于每個節點自動引入 -ckiΓxi(t)，而控制律式(4)給每個節點引入的是 -ckiΓs(t)，所以網絡式(5)與常見的受控耗散耦合網絡[1,3,4,7,14]并不相同，因此本文考慮的是新問題。

注釋4復雜網絡受控同步能力因控制方式而異，控制律不同，網絡參數對受控同步能力的影響也不同。控制律式(4)采用了內耦合矩陣形式的反饋控制，所以本文分析的網絡受控同步能力是“內耦合形反饋控制意義下的”受控同步能力。之所以選擇內耦合形反饋控制，原因有二：一是該反饋形式與網絡節點之間的耦合方式相同，反饋陣為cd倍的Γ，與網絡本身結構特征一致，易于實現且待設計參數只有一個，即d；二是該反饋形式非常流行，為已有大多數文獻所采用，如文獻[1,3,4,11,12,14]。

令D=dIN，特征矩陣G為利用Kronecker積把閉環網絡式(5)整理為緊湊形式

易知特征矩陣G為實對稱陣，故存在非奇異陣P∈RN×N使P-1GP=Λ， 其 中Λ=diag(m1,m2,…,mN),mN≤…≤m2≤m1為G的特征值。利用相似變換y(t) = (P?In)η(t)，把網絡式(7)變換為N個解耦的低維子系統

由文獻[11,16]，使得網絡式(8)主穩定方程系統陣為

定理1當?Si?S使c(l1-lN) ＜ai2-ai1時，網絡式(1)可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈ (ai1/c-lN,ai2/c-l1)。

證明由同步化區域定義及文獻[3,11,13-16]，當cmi∈Si,i= 1 ,2,… ,N時受控網絡式(5)在s(t)取得同步。因G=H+dIN，有mi=li+d,i=1,2,…,N，同步條件變為cli+cd∈Si,i= 1,2,… ,N。再由H陣的特征值為實數，lN和l1分別為最小與最大特征值，可知c(l1-lN)為G陣特征值在實軸上分布范圍的寬度，通過選擇cd可使該范圍在實軸上平移。故當c(l1-lN) ＜ai2-ai1時，可通過選d∈(ai1/c-lN,ai2/c-l1)使條件cli+cd∈Si,i=1,2,…,N滿足，從而使受控網絡式(5)在s(t)取得同步。證畢

注釋5定理1表明，l1-lN越小，非耗散耦合網絡越容易通過控制取得同步，網絡同步能力也就越強。

以下考慮孤立同步化區域包含原點的情況，即0∈Si的情況。

定理2若 ?Si= (ai1,ai2)?S，其中ai1＜0,ai2＞ 0 ，選控制增益d=0，則非耗散耦合網絡式(1)在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步的條件為c＜min(ai1/lN,ai2/l1)。

證明當c＜min(ai1/lN,ai2/l1),d=0時，總有(clN+cd,cl1+cd) = (clN,cl1)? (ai1,ai2)，由同步化區域定義及文獻[3,11,13-16]，受控網絡式(5)在s(t)取得同步。 證畢

注釋7定理 2表明，當孤立同步化區域包含原點時，非耗散耦合網絡可以通過耦合強度的縮放實現同步，此時控制律式(4)退化為

控制律式(10)施加于網絡之后，受控網絡從形式上看相當于耗散耦合網絡，但由注釋3分析可知，它并不是耗散耦合網絡。另外這種情況下網絡參數對同步能力的影響與耗散耦合網絡也是不同的。

以下再考慮定理1中Si為無限區間的情況。

推論1若 ?Si=(- ∞,ai2)?S, - ∞ ＜ai2＜∞，則網絡式(1)總可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈(- ∞,ai2/c-l1)。

證明顯然ai1=-∞，因c,l1,lN為有限值，總有c(l1-lN) ＜ai2-ai1=ai2-(- ∞) =∞ 成立使定理1條件滿足，由定理1可知推論1結論成立，控 制 增 益d∈ (ai1/c-lN,ai2/c-l1) = (- ∞,ai2/c-l1)。 證畢

注釋8推論1表明，當網絡包含 (- ∞,a2)型孤立同步化區域時，其中 - ∞＜a2＜∞，非耗散耦合網絡總能通過控制取得同步，控制增益最小幅值取決于耦合強度及外耦合矩陣最大特征值。

推論2若 ?Si= (ai1,∞ )?S,- ∞ ＜ai1＜ ∞ ，則網絡式(1)總可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈ (ai1/c-lN, ∞ )。

證明因ai2=∞，與推論 1證明過程類似，可知推論2成立。 證畢

注釋9推論 2表明，當網絡包含(a1,∞)型孤立同步化區域時，其中 - ∞＜a1＜∞，非耗散耦合網絡總能通過控制取得同步，控制增益最小幅值取決于耦合強度及外耦合矩陣最小特征值。

4 仿真分析

已知Lorenz系統[23]節點動力學方程為

該系統的混沌軌道見圖 1。 利用 Lorenz系統構成20節點非耗散耦合小世界網絡[24]見圖2。

圖1 Lorenz振子 x i 1 -x i 3相軌跡曲線圖

圖2 網絡拓撲結構

設內耦合矩陣為已知同步化區域S=(-5 2,- 2 4)，外耦合矩陣特征值lN=- 2 .8602,l1= 4 .1096。

選c=0.1,d=- 5 00時網絡同步曲線如圖3所示，選c=1,d=- 3 8時網絡同步曲線如圖4所示，選c=4,d=-1 0.13時網絡同步曲線如圖5所示，選c=10,d=-4時網絡同步曲線如圖6所示。

由同步化區域范圍可知，本例中0?S。根據定理1，耦合強度c=0.1時控制增益范圍為(-517.198,-244.1096)，耦合強度c=1時控制增益范圍為(- 4 9.1398,- 2 8.1096)，耦合強度c=4時控制增益范圍為(- 1 0.1398,- 1 0.1096)，耦合強度c=10時控制增益范圍為?。圖3～圖5中，控制增益選在范圍之內，網絡都取得了同步，而圖6由于c=10時定理1條件不能滿足，網絡不能同步。從所計算的控制增益范圍可以看出，當耦合強度較小即c=0.1時，控制增益的絕對值比較大，為350左右，而隨著耦合強度從c=0.1增大到c=1再增大到c=4，控制增益的絕對值也從 350左右減小到 35左右再減小到10左右，由此說明隨著耦合強度的增大，網絡實現同步控制所需要的控制增益絕對值越來越小。在c= 4 時，控制增益范圍比較小，這種情況下受控網絡同步過程較慢(見圖5)。

圖3 網絡同步曲線(c=0.1,d =-5 00)

5 結論

圖4 網絡同步曲線(c=1,d =-3 8)

圖5 網絡同步曲線(c=4,d =-1 0.13)

圖6 網絡同步曲線(c=10,d=-4)

非耗散耦合網絡在現實中普遍存在，但其同步問題的報道并不多見。從本文分析可知，非耗散耦合網絡不能自同步，其同步能力要從受控同步的角度進行分析，這一點恰是非耗散耦合網絡同步問題的特殊性。本文研究了非耗散耦合網絡“在內耦合形反饋控制意義下的”同步能力。研究發現，非耗散耦合網絡的受控同步能力與耗散耦合網絡的自同步能力不同，耦合強度越小，網絡通過控制取得同步的可能性越大，但在同步化區域不包含原點的情況下所需要的控制增益絕對值也越大。此外，外耦合矩陣最大最小特征值之差越小，網絡受控同步能力越強，這一點與I型及II型耗散耦合網絡[13-16]的自同步能力規律也是不同的。非耗散耦合網絡與耗散耦合網絡同步能力上的差異源于外耦合矩陣特征值的分布規律，正如引理1所述，非耗散耦合網絡外耦合矩陣的特征值分布在原點兩側，不象耗散耦合網絡那樣分布在原點及負實軸上，所以網絡同步能力對外耦合矩陣最大最小特征值及耦合強度的依賴性不同。本文研究結論對于非耗散耦合網絡的構建具有參考意義，該結論指明，如何選擇網絡參數可使網絡所需同步控制增益幅值更小、能耗更低，可使網絡更容易通過控制取得同步。

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