超寬帶信道建模中基于壓縮感知的解卷積算法

李德建 周 正 李 斌 翟世俊

(北京郵電大學泛網無線通信教育部重點實驗室 北京 100876)

1 引言

信道建模是超寬帶(UWB)通信系統的主要挑戰之一，UWB系統的設計、測試和改進都依賴于對信道的理解[1]。IEEE 802.15.3a和802.15.4a都是UWB的統計式信道模型，它們的出現為工業界提供了重要動力[2]。UWB的信道建模目前仍是研究熱點，且信道場景種類不斷擴展[3]。2008年，中國無線電管理部門發布了UWB技術頻率使用規范，規定中國UWB技術的可用頻段為4.2-4.8 GHz和6-9 GHz。一個符合中國UWB頻段的信道模型將促進UWB研究。信道建模中，為了獲取信道沖激響應(Channel Impulse Response, CIR)的細節以及更準確地估計多徑參數，需要高分辨率的信道模型，高分辨率意味著相鄰多徑的時延間隔要小于系統帶寬的倒數。CLEAN算法[4]或其改進算法[5]就是高分辨率解卷積算法。

由于UWB信號的極高帶寬，頻域測量設備完成一次信道測量往往需要數秒[1]。由于頻域測量時的一次掃頻時間必須小于信道的相干時間，掃頻點數過多限制了頻域測量信道方法只能測量靜態信道。壓縮感知理論可以用來減輕采樣負擔，從而縮短一次掃頻測量的時間。CS理論表明，稀疏信號可以由少量的隨機線性觀測，用非線性的重構算法以高概率重構[6,7]。信號的稀疏可以表現在任何域，隨機觀測值(采樣值)的數量一般遠小于原信號的采樣數量，形成減采樣。CS已被用于解決UWB系統的信號檢測、信道估計[8,9]等問題。在文獻[8]中，兩個由壓縮感知-匹配追蹤(CS-MP)表示的方法被用于UWB-IR系統的導頻輔助框架下的信道估計。

針對中國UWB頻譜規范下的信道建模，本文提出將 CS-MP算法用于頻域測量數據后處理，完成解卷積得到信道沖激響應。時域信道建模后續處理中，解卷積類似于信道估計。而且，本文證明了如果MP算法使用一個特定的冗余字典，則MP算法等效于CLEAN算法。通過調整字典原子的步長參數，還可以得到不同多徑分辨率的CIR。實測數據處理結果證明了基于CS的解卷積算法的有效性。

2 頻域測量與數據后處理

2.1 測量裝置與測量環境

UWB信道可以在時域或頻域測量，分別得到沖激響應h(t)或傳遞函數H(f)。兩種測量結果理論上等價，可以通過傅里葉變換從一個域變到另一個域。本文的測量是在頻域進行的。測量系統包括一個矢量網絡分析儀(VNA)Agilent N5242A，兩個2.3-18 GHz的全向天線，天線增益為0 dBi，兩根各6 m長的Rosenberger射頻電纜，一臺控制VNA的計算機。

辦公室場景選在工業和信息化部電信研究院。本文涉及一間辦公室和兩間會議室的測量數據。測量包含視距(LOS)和非視距(NLOS)兩種情況，發射天線放在辦公室外穿透辦公室的玻璃墻體作為NLOS測量場景，如圖1所示。會議室的測量數據全部是LOS情況。圖中的發射和接收天線位置分別用方形和圓形標志表示。辦公室的天花板是鋁合金材料，圖 1中上側和左側兩面墻體(細框)材料是是雙層玻璃，并且夾層中有金屬百葉窗。測量過程中確保室內無人，從而測量準靜態信道。在LOS情況下，發射機有兩個位置TX01和TX02, NLOS時發射機有一個位置 TX03，每個發射機位置都對應著相同的21個接收機位置，如圖1所示。圖1所示的辦公室場景信道測量數據包括 42個 LOS和 21個NLOS數據。兩間會議室共測得63個LOS數據。

測量時，收發天線架設在1.5 m高的三腳架上。VNA測量的參數S21作為超寬帶信道的信道傳遞函數(Channel Transfer Function, CTF)。VNA的發射功率固定為10 dBm，連續發射5600個離散頻點，這些頻點均勻分布在2.3-11 GHz的頻帶內，掃頻間隔為 1.55 MHz，允許測量多徑的最大時延擴展為643.7 ns。測量范圍為1-10 m。為了減弱噪聲，在每一個接收點記錄 10次信道傳輸函數并取平均值作為該接收點的測量數據。所有測量數據都用暗室中2 m參考距離下測得的天線響應加以校準。

圖1 辦公室場景測量示意圖

2.2 時域信道建模中的測量數據后處理

信道測量數據處理主要包括將測量的復頻率響應進行傅里葉逆變換，得到對應的時域響應，再進行信道參數估計得到離散信道沖激響應，統計擬合大尺度參數和小尺度參數等。為了使UWB信道模型簡單易用，假設UWB信道是廣義平穩(WSS)的，h(t)是UWB信道的沖激響應，可以建模為L個多徑分量(Multi-Path Component, MPC)的總和

由于測量的頻率范圍是2.3-11 GHz，為了得到符合中國UWB頻段的信道傳遞函數，需要頻域加窗提取6-9 GHz頻段的測量信號

其中Y(f)是加窗后的信道傳遞函數，其能量主要集中于6-9 GHz,H(f)是2.3-11 GHz信道的傳遞函數，W(f)是頻域窗函數。如果直接對目標頻段的數據做傅里葉逆變換，相當于對H(f)加了 6-9 GHz的矩形窗，由于矩形窗的時延旁瓣是隨時間倒數1/t下降的，時域沖激響應中會出現所謂過調和拖尾現象，導致估計的CIR有更大的RMS時延擴展。而且，如果時域窗的旁瓣較大，第1簇多徑旁瓣的疊加也不利于第1徑的時間定位。但加其它類型的窗會減小信道頻響的帶寬，造成等效時域脈沖主瓣寬度變大，降低時域分辨率。因此加窗必須在CIR的分辨率和 RMS時延擴展上進行折中，即窗的頻率特性在6-9 GHz頻段是平坦的，不影響測量數據的帶寬；同時窗的過渡帶應較平滑，以使窗的時域脈沖旁瓣較小。

由于所測頻帶較寬，因此可將窗的過渡帶設計在6-9 GHz之外。高斯窗對應的時域脈沖仍為高斯形式，旁瓣較小，且高斯窗具有很好的時頻聚集性，因此本文采用了過渡帶為高斯滾降特性的類高斯窗，其頻域表示為

其中a和b表示過渡帶滾降特性的系數，f的單位為GHz。在10-11 GHz補零后，W(f)對應的頻譜數字帶寬達到了6 GHz，時間分辨率為0.167 ns。

如果直接用 VNA將測量信號轉換到對應的時域形式，則結果難以應用，因為除了復時域信號的包絡以外，結果不能提供其它信息。為了得到實值的時域測量信號，可將 VNA輸出的復頻率響應構造成共軛對稱譜。時域的信道測量信號是對共軛對稱譜應用IFFT得到的結果

其中fc= 5 GHz, T F-1表示傅里葉逆變換。窗函數對應的時域脈沖為

經過式(4)所示的傅里葉逆變換后得到的時域響應不是式(1)描述的Dirac脈沖響應，這主要由于對頻率響應進行加窗截斷，窗函數對應的脈沖s(t)旁瓣發生疊加。y(t)是式(1)表示的信道沖激響應與基本波形s(t)的卷積。

其中nw(t)是加窗后的殘余高斯白噪聲。采用上述處理方式的時間分辨率是1/12 GHz=0.083ns，與直接將6-9 GHz的頻譜作IFFT相比，時間分辨率提高12/3 = 4倍。

3 基于壓縮感知的解卷積算法

3.1 CS-MP用于加窗時域數據解卷積

為了得到CIRh(t)，式(6)需要一個解卷積算法。CLEAN是一個高分辨率解卷積算法，比傅里葉分析有更高的準確性。但CLEAN算法需要VNA一次掃頻很多測量點。UWB的CIR是時間稀疏的，即不是每個可分辨時延間隔內都包含多徑分量，這個現象是UWB信道的基本特性，和信道中散射物體的分布有關。因此UWB信道在許多場景下是稀疏的，UWB信道的稀疏性使CS的應用成為可能。

直接在時域稀疏模型上對UWB信號應用壓縮感知，重構性能較差，因為噪聲會降低接收信號的時域稀疏性。將時域信號在某些基或字典上展開可以增強信號的稀疏性。文獻[8]提出，設計一個參數化波形字典可以增強UWB信號表示的稀疏性。本文中，由于接收UWB信號由不同增益和時延的脈沖s(t)組成，MP的字典應由能完全表示UWB測量信號的原子構成。為了和窗脈沖波形緊密相關，字典原子應當由式(5)給出的脈沖s(t)的不同時移版本構成，即由參數化的波形來生成

字典被定義為

設y是式(4)中y(t)的離散表示，

其中Ts是式(4)中y(t)的時間分辨率，N是時域響應的點數，T是轉置符號。式(7)由連續時間t和D來表述，實際中兩個參數應是離散化的，原子步長D可以設置為時間分辨率的整數倍，不同值的D將得到不同多徑分辨率的CIR。將字典D中的原子均勻采樣，得到離散字典為

于是得到

其中nw是離散形式的AWGN。式(11)顯示接收信號y具有了更緊湊的表達形式。

定義測量矩陣Φ為K×N隨機矩陣，矩陣元素服從零均值、單位方差的正態分布，即fi,j～N(0,1)。令g=Φy為隨機投影信號，得到非相干測量值

其中Θ是稀疏向量Θ= [q,q,… ,q]T,Z是字典Ψ12Z中的原子個數。V=ΦΨ={v1,v2,… ,vZ}被稱為全息字典(holographic dictionary)。假設y在Ψ上是M階稀疏的，對于K×N測量矩陣Φ, CS理論表明，存在一個過采樣因子c＞1，使得只需要K:=cM個非相干測量值即可以高概率重構y。在隨機投影信號g和全息字典V上應用 M范數最小化算法來重構信號。對于式(12)，當噪聲很小時，Θ以很高的概率是以下凸優化問題的唯一解。

由于y是一個含噪聲的信號，精確重構已不可能。然而，本文目標不是信號重構而是利用MP算法迭代時的相關運算暗含的抗噪聲作用來進行信道參數估計。MP的迭代過程中，利用和g緊密匹配的字典，按多徑增益大小依次找到和多徑聯系在一起的原子，并得到信道沖激響應的估計，從而完成解卷積。MP算法可描述如下：

步驟 2 選擇全息字典中最匹配于信號殘差的

步驟 3 更新信號殘差值并對所選原子的系數做出估計：

3.2 與CLEAN算法的對比

CLEAN算法通過串行刪除污染圖紙(dirty map)先驗信息(模板)之間的相關，重構出干凈圖紙(clean map)，其中污染圖紙即受噪聲污染的測量信號，干凈圖紙指估計的CIR。令窗函數對應的時域形式s(t)為CLEAN的模板，即p(t) =s(t)。CLEAN算法的步驟描述如下[10]：

步驟 1 將臟圖紙e0(t)用初始化為e0(t)=y(t)，并將干凈圖紙初始化為c0(t) = 0 ；

步驟 2 計算歸一化的互相關函數Rep(t)=en-1(t) ⊙p(t)，計算=argmaxt|Rep(t)|和=Rep()(⊙表示相關運算)；

步驟 3 清理臟圖紙，en(t) =en-1(t) -p(t-)，并將干凈圖紙更新為cn(t) =cn-1(t) +p(t-)；

步驟 4 如果所有的＜門限，轉步驟5；否則，轉步驟2；

步驟 5 信道沖激響應估計為(t) =cn(t)。

考慮到ΨTΘ= ∑idiq i和di(t) =s(t-iD)，在N?P時，有ΨTΘ≈s⊙Θ，即兩個算法的步驟2實質是相同的。因此，MP算法和CLEAN算法是等價的。然而，MP是CS的重構算法，使用全息字典V，應用對象是隨機投影信號g，不是使用字典Ψ應用在測量信號y上，這是CS-MP和CLEAN的主要區別。

MP的計算復雜度約為O(CLT0)，其中T0是迭代次數，C是和字典大小有關的常數，L是待估計的信道抽頭個數[8]。由于MP是CLEAN的等價算法，CS-MP和 CLEAN算法復雜度之間的區別與CS-MP的觀測矩陣ΦK×N的大小以及兩者的迭代次數有關。對于CS-MP的首次迭代，需計算g=Φy和V=ΦΨ，這使 CS-MP具有更高的計算復雜度。然而，由于字典Ψ是固定的，因此全息字典V=ΦΨ對于一組測量數據來說只需計算一次，提前計算后存儲調用即可，因此算法復雜度主要由兩個算法的迭代次數決定。對于余下的迭代，由于MP應用在全息字典V上，CS-MP的計算復雜度仍高于CLEAN。對于兩個算法的步驟 2,VΘ的計算復雜度是O(KN)而的計算復雜度是O(PN)。因此，CS-MP的計算復雜度為O(C1KNT0)，其中C1是依賴于Φ的常數，CLEAN的計算復雜度為O(PNT0)。一般地，K?P，因此在相同的迭代次數T0條件下，CS-MP的計算復雜度要高于CLEAN。

CLEAN算法步驟 3的門限是用來結束迭代的關鍵參數。CLEAN的最優門限應依賴于測量時的信噪比。為了將兩個算法進行對比，本文使用迭代次數T0來終止MP和CLEAN算法。

4 數據處理結果與分析

采用 2.1節描述的頻域信道測量數據檢驗 CS-MP的解卷積性能，并針對相同的加窗時域信號應用CS-MP和CLEAN進行對比。解卷積的性能可以用重構信號相對于原始測量信號的能量捕獲率來表示。

按式(3)構造類高斯窗，當a=1且b=0.093時，類高斯窗的3 dB帶寬和20 dB帶寬分別為3.51 GHz和 4.31 GHz，其過渡帶寬度僅約650 MHz。圖2(a)給出了具有高斯滾降特性的類高斯窗和具有凱澤窗滾降特性的類凱澤窗頻域特性，其中類凱澤窗的參數為b=6.5, 20 dB帶寬為4.7 GHz。圖2(b)給出了類高斯窗、類凱澤窗和矩形窗的時域表示形式，這3種時域波形都可作為CS-MP的字典原子和CLEAN的模板。從圖2(b)可以看出，矩形窗的旁瓣誤差比較緩慢，拖尾現象嚴重。類高斯窗和類凱澤窗的旁瓣較小，且波形較相似。

圖3給出了一個LOS信道測量數據的CS-MP解卷積性能。MP的迭代次數設為T0=600，圖3(a)給出了一個 LOS原始測量信號的波形以及用 CSMP解卷積后的重構信號，其能量重構誤差為0.057。圖3(b)給出了CS-MP解卷積后的信道沖激響應。

圖4和圖5分別給出了LOS和NLOS情況下，CS-MP和CLEAN在不同迭代次數下的能量捕獲率曲線。圖4中的CS-MP曲線包括了類高斯窗、矩形窗兩種情況，其中類高斯窗情況下，CS-MP的測量點個數K/N依次取0.5, 0.6和0.7。從圖4和圖5可以看出，兩個算法的能量捕獲率都隨著迭代次數的上升而上升。CS-MP也會隨測量值個數的增加而取得更高的解卷積性能。然而，CS-MP在迭代次數達到一定值后，能量捕獲率幾乎不再上升。這是因為CS中存在一個過采樣因子c＞1，使得至少需要K=cM個非相干測量值才能高概率重構y。然而，測量信號受噪聲的影響并不是理想稀疏的，當采樣點數K為一定值且K＜cM時，其重構誤差不會無限小，而是趨向一個固定值。

圖4還給出了使用矩形窗時CS-MP的解卷積性能。可以看出，使用類高斯窗時，在同樣的采樣率K/N= 0 .5條件下，使用類高斯窗的能量捕獲率略好于使用矩形窗的能量捕獲率。因為頻域矩形窗對應的時域波形旁瓣衰減緩慢，其旁瓣的疊加造成時域測量數據稀疏性有所下降，在同樣的迭代次數下，采用矩形窗的解卷積性能略差于類高斯窗。從圖4和圖5的對比可以看出，在相同的采樣率和迭代次數下，CS-MP對LOS數據的解卷積性能要好于 NLOS數據，這也是和 LOS數據稀疏性高于NLOS數據有關。

圖2 類高斯窗、類凱澤窗和矩形窗的頻域、時域比較

圖3 LOS情況下一個信道測量的基于CS-MP的解卷積實現

圖4 LOS情況下CS-MP與CLEAN算法在不同迭代次數下的能量捕獲率

圖5 NLOS情況下，CS-MP與CLEAN 在不同迭代次數下的能量捕獲率

5 結論

本文研究了頻域測量條件下，時域UWB信道建模后處理中用到的解卷積算法。本文使用過渡帶為高斯滾降特性的類高斯窗來提取頻域響應，并利用類高斯窗對應的時域脈沖來增強時域響應的稀疏表達。盡管CLEAN算法是常用的高分辨率解卷積算法，但是要求信道測量提供很多的觀測值。本文提出的CS-MP算法用于解卷積可以獲得和CLEAN相近的解卷積性能，然而用到的觀測值很少。本文還證明了 MP的原子步長等于多徑分辨率時，MP等效于CLEAN算法。數據處理結果表明，CS-MP可以用于實際信道測量數據解卷積處理。

[1]Molisch A F. Ultra-wide-band propagation channels[J].Proceedings of the IEEE, 2009, 97(2): 353-371.

[2]Molisch A F. Ultra wideband propagation channel: theory,measurement and modeling[J].IEEE Transactions on Vehicle Technology, 2005, 54(5): 1528-1545.

[3]Lee J Y. UWB channel modeling in roadway and indoor parking environments[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(7): 3171-3180.

[4]Vaughan R G and Scott N L. Super-resolution of pulsed multipath channels for delay spread characterization [J].IEEE Transactions on Communications, 1999, 47(3): 343-347.

[5]Yano S M. Investigating the ultra-wideband indoor wireless channel[C]. Proceeding of 55th IEEE Vehicle Technology(VTC’2002-Spring), Birmingham, Al, USA, May 6-9, 2002:1200-1204.

[6]Candes E J and Wakin M B. An introduction to compressive sampling [J].IEEE Signal Processing Magazine, 2008, 25(2):21-30.

[7]Donoho D. Compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[8]Paredes J L, Arce R, and Wang Z M. Ultra-wideband compressed sensing: channel estimation [J].IEEE Journal of Selection Topics in Signal Processing, 2007, 1(3): 383-395.

[9]Li D J, Zhou Z, Zhao F,et al.. Improved channel estimation based on compressed sensing for pulse ultra wideband communication system [C]. Proceeding of International Conference on Wireless Algorithms, Systems, and Applications,2010, LNCS 6221: 330-337.

[10]Liu T C, Kim D I, and Vaughan R G. A high-resolution,multi-template deconvolution algorithm for time-domain UWB channel characterization [J].Canadian Journal of Electrical and Computer Engineering, 2007, 32(4): 207-213.