基于證據相似性度量的沖突性區間證據融合方法

馮海山 徐曉濱 文成林

(杭州電子科技大學自動化學院 杭州 310018)

1 引言

經典的 Dempster-Shafer(D-S)證據理論以其對不確定性、非精確性信息綜合處理方面的優勢，在信息融合、模式識別和故障診斷等領域中得到了廣泛的應用[1-13]。基于該理論的信息融合方法，能夠實現空間或時間上冗余信息和互補信息的融合，獲得被測對象的一致性描述，有效降低決策中的不確定性。經典的D-S證據理論融合的是單值的基本概率分布函數(BPA)，然而，單值BPA對不確定性信息或模糊信息的度量并不全面，且可能會丟失很多有用的信息，故文獻[6-9]提出了區間型 BPA(IBPA)，即區間證據。該種形式的證據能夠較為全面地度量信息的不確定性，而且符合人的常性思維和主觀概念[11]。所以，區間證據理論成為當今不確定性理論研究的熱點，并集中于以下兩個方向：一是區間證據融合規則的構造方法，二是區間證據的獲取方法[12,13]。在研究方向一中，文獻[10]首次定義了IBPA的乘法和加法運算，但是其運算規則中引入了主觀性因子，故運算結果具有較大的不確定性和主觀性。Denoeux[6,7]構造二次規劃模型以融合多個IBPA，給出IBPA有效性和歸一化準則，首次提出 Demspter區間證據組合規則。該規則中的融合和歸一化是分開進行的，所以得到的融合結果并不是全局最優的，而是次優的，且融合結果的置信區間較寬，不易用其進行決策。基于Denoeux定義的IBPA有效性和歸一化準則，Wang等人[8,9]提出最優的 Demspter區間證據組合公式。對于有效且歸一化的 IBPA，該公式遍歷所有滿足約束條件的單值BPA進行融合，然后對單值融合結果求極值得到融合后的IBPA。該融合過程是一步進行的，從而保證了融合結果的最優性；而研究方向二，主要是討論如何在實際中獲取區間證據，這也是應用融合規則的前提。在旋轉機械故障診斷中，基于傳感器提供的故障特征數據，Xu等人[11]提出一種獲取區間型診斷證據的方法，并利用最優 Demspter區間證據組合公式將多個傳感器提供的證據融合，并通過融合結果定位故障。與基于BPA融合的故障定位方法相比，利用區間型證據可顯著提高融合診斷系統的確診率，并且文中通過診斷實例進一步驗證其所提出的證據獲取及融合診斷方法的可靠性和準確性。

但是，在實際應用中，由于傳感器測量誤差、環境噪聲干擾和監測數據不完整等因素，使得從不同傳感器獲取的單值或區間證據之間常常會存在沖突[5]。當今，對于單值BPA沖突處理方法的研究已經相對成熟。其中，一類是修改組合規則的方法，它們以不同的方式重新分配空集的置信度賦值，但其組合規則只適用于解決某些具體問題，缺乏普適性[2,3]；另一類是修改模型的方法，亦即修改證據的方法。該類方法主要考慮到證據之間的關聯性，用證據權重修改原始證據，然后還利用原始的Dempster組合規則對修改后的證據進行融合[2-5]，此類方法從證據之間相似性的角度反映了沖突的本質。

在區間證據的融合當中，Demspter區間證據組合公式的融合機理在于，選取區間證據中的單值BPA，用經典的 Demspter組合規則融合，進而統計生成區間型BPA。雖然經典的Demspter融合規則具有聚焦作用，但在融合高沖突區間證據時，融合后的BPA賦值過于分散，并不能很好地聚焦于某些焦元上，導致IBPA的區間寬度過大，不易用于決策。如何結合單值證據沖突處理方法，以減小融合后所得區間證據的區間寬度，使得區間上下邊界聚焦于同一個焦元上，利于決策，這是區間證據沖突融合中一個十分重要的新問題。

針對以上問題，本文基于證據相似性度量，提出一種沖突性區間證據融合的新方法。首先定義擴展型Pignistic概率轉換，將區間證據轉換為區間型Pignistic概率。利用區間模糊集的歸一化歐式距離，求取區間型Pignistic概率之間的相似性，以此確定兩兩證據間的相似度矩陣，從中獲取區間證據的置信度。然后，基于該置信度對原始的區間證據進行加權平均得到新的區間證據，利用 Demspter區間證據組合公式對其進行融合。該方法可以有效地減弱高沖突性區間證據在組合規則中的作用，從而減小融合后所得區間證據的寬度，最終可降低決策中的不確定性。最后通過多個典型算例驗證了經沖突處理后再對區間證據進行融合，要比直接融合能夠產生更為合理和可靠的結果。

本文章節安排如下：第2節介紹了區間證據理論的基礎，并以實例展示了直接對沖突證據進行融合所產生的不合理結果，并分析了造成該結果的原因；第3節基于經典的Pignistic概率轉換，提出擴展型 Pignistic概率轉換，用于區間證據 Pignistic的轉換，基于此求取區間證據間的歐氏距離，用其度量它們之間的相似度及置信度；第4節通過多個典型算例驗證本文所提方法，能夠有效地降低沖突區間證據融合后的區間寬度，而且融合后所得區間證據的上下界可聚焦于同一個焦元上，更利于決策。

2 區間證據理論

令Θ= {θ1,θ2,…,θn}是一個非空的有限子集，其中的元素兩兩互斥，稱其為辨識框架。Θ中包含了所有可能的命題。

定義1區間基本概率賦值 (Interval Basic Probability Assignment, IBPA)[6-8,11-13]對于Θ的N個子集Ai(i=1,2,…,N)，則其IBPA定義為

其中0 ≤ai≤bi≤ 1 。m(Ai)是m(Ai)中的一個元素，若IBPA同時滿足

定義2歸一化準則[8,9]若m是一個有效的IBPA，且m(Ai)=[ai,bi](0 ≤ai≤bi≤ 1 )，如果ai和bi同時滿足

其中i,j=1,2,…,N，則稱m為歸一化的IBPA。

m可能是一個有效的 IBPA，但不一定是歸一化的IBPA，定義2是判斷一個有效IBPA是否歸一化的判據，若未歸一化，則用式(4)進行歸一化處理

式(4)對有效的IBPA進行歸一化處理，來減小區間的寬度，降低冗余，得到簡潔等效的IBPA。

定義3Demspter區間證據組合公式[8,9]若m1和m2是有效且歸一化的 IBPA，分別為[ai,bi](0≤ai≤m1(Ai) ≤bi≤ 1 ,i=1,2,…,N)和[cj,dj](0≤cj≤m2(Aj) ≤dj≤ 1 ,j=1,2,…,N)，融合結果標記為m1⊕m2，其為區間值

其中(m1⊕m2)-(C)和(m1⊕m2)+(C)分別為如下融合公式的最小值與最大值。

對于滿足定義1和定義2的IBPA，式(6)中的融合規則遍歷 IBPA區間中所有滿足約束條件的單值BPA并融合，從而保證了融合結果的最優性。

下面通過例子說明 Demspter區間證據組合公式的應用，在同一辨識框架Θ= {θ1,θ2,θ3}下有兩組有效且歸一化的IBPA，如下所示：

將兩組區間證據用 Demspter區間證據組合公式融合后結果如表1所示。

由表1可知，若區間證據同時支持某焦元(如第1組證據)，當利用Demspter區間證據組合公式融合時，采用的單值BPA也會同時支持某焦元，這時的融合結果能夠正確聚焦；若區間證據間存在高沖突(如第2組證據中強烈支持θ1，而強烈支持θ3)，利用Demspter組合公式所得的融合結果中，焦元θ1和θ3的區間寬度較大且相等，無法決策。

3 基于區間證據相似性的沖突證據度量及融合

在處理單值沖突證據的修改模型法中，利用權重(置信度)度量某個證據和其它證據之間的沖突程度。也就是說，如果其它證據支持某個證據時，則說明該證據比較可信，其所占權重較大，對融合結果的影響也較大；反之，如果某個證據與其它證據間的沖突較大時，則該證據的可信度較低，其所占權重就較低，對融合結果的影響也較小。這種方法充分考慮到了證據之間的相互關聯性，減少引起沖突的證據權重，提高最終融合結果的合理性和可靠性。并且應用廣泛易于理解，符合客觀情況[2-5]。本文將該思想推廣到沖突性區間證據的處理上。首先，基于單值Pignistic概率轉換，提出擴展型Pignistic概率轉換，將其應用到區間證據上，轉換后結果記為IBetP，其中，I表示區間，BetP代表Pignstic概率轉換，此時的IBetP是一個區間而非單值；其次，計算每個辨識框架單元素的IBetP，并確定區間IBetP間的相互距離，以間接度量區間證據間的沖突程度；最后分析確定區間證據的相似度、置信度，更新原始區間證據，用加權平均后新區間證據替代原始區間證據，再用Demspter區間證據組合公式進行融合，使融合結果收斂到正確的命題，以便做出決策。

3.1 擴展型Pignistic概率轉換

基于期望效用理論，Smets定義了Pignistic概率函數。其基本思想是，在辨識框架Θ上進行Pignistic轉換，將基本概率函數轉換成Pignistic概率函數。

表1 兩組區間證據融合結果

定義4經典Pignistic轉換 設m是在辨識框架Θ下的一個BPA，相應的Pignistic概率函數BetPm:Θ→[0,1]定義為

對于單值的BPA，經過以上Pignistic轉換后的BetPm仍然是單值的，這種形式的概率轉換不能直接用于IBPA上，需對其進行擴展，即區間證據的Pignistic轉換，表示為IBetPm。

定義5擴展型Pignistic轉換 設m是在辨識框架Θ上的一個有效且歸一化的IBPA，記為[ai,bi](0 ≤ai≤m(Ai) ≤bi≤ 1 ,i=1,2,… ,N)， 則 其Pignistic概率函數IBetPm定義為

例如，在辨識框架Θ= {θ1,θ2,θ3}下的有效且歸一化的IBPA，將其用擴展型 Pignistic轉換結果表示為IBetPm，如表2所示。

表2 利用擴展型Pignistic轉換后的結果

3.2 基于區間歐氏距離的區間相似性度量

這里采用區間歸一化歐氏距離公式度量IBetP間的相似性[14]，以間接度量IBetP所對應的區間證據間的相似性。

設m1,m2是同一辨識框架Θ中的兩個IBPA,Θ含有n個完備且相互獨立的元素，記為Θ= {θi,i=1,2,…,n}，經過擴展型Pignistic轉換后，分別記為IBet和 I Bet，則其距離為

若兩區間證據間的距離用式(10)度量，則其相似度可以表示為

若融合系統含有N個區間證據，通過式(9)，式(10)得到區間證據mi與mj之間的距離，并由式(11)確定兩者的相似度，記為Sij，則可構造相似度矩陣為

則每個區間證據的支持度為

支持度Sup(mi)反映的是被其它區間證據所支持的程度，是相似性測度的函數。如果一個區間證據與其它證據相似程度較高，則認為它們相互支持的程度也較高；反之亦然。

對于證據體mi的置信度為

若有N條區間證據，將得到的新區間證據用Demspter區間組合公式融合N-1次，得到的最終融合區間，相比直接用Demspter區間組合公式獲得的IBPA，區間寬度較窄，并且區間上下界聚焦于同一個焦元的作用很明顯。其主要原因是，由于本文方法考慮了區間證據之間的相似程度，各個區間證據因相互支持度的不同獲得不同的權重，如果一個區間證據被其它區間證據所支持的程度較高，該證據就越可信，對最后的融合結果影響程度越大。相反，如果某一證據與其它證據是高沖突的，它的權重就很低，對最終的融合結果影響程度較小。

4 實例分析

為了說明本文方法的有效性，這里給出3個高沖突區間證據融合的典型例子，并設定辨識框架均為Θ= {θ1,θ2,θ3}，且所給出的區間證據均是有效且歸一化的。例 1是關于單元素賦值的區間證據。例 2中含有對辨識框架下單元素與全集賦值的區間證據。例3中含有對辨識框架下單元素與子集賦值的區間證據。

例1設3個區間證據m1,m2和m3為

用式(8)對3個區間證據進行擴展型Pignistic轉換，并用式(9)，式(10)計算得到兩兩區間證據間的距離及相似度，以此構造成相似度矩陣為

根據式(11)-式(13)得到各個區間證據體的置信度分別為

采用加權平均后，再用 Demspter區間證據組合公式進行融合，并與直接采用 Demspter區間證據組合公式融合的結果進行對比，如表3所示。

表3 兩種融合方法的結果對比

通過表3可以看出，當區間證據存在高沖突時，即m1強烈支持θ1，而m2卻強烈的支持θ3,m3卻不能明顯支持一方。若直接用 Demspter區間證據組合公式，融合結果的區間寬度很大，難以決策。而本文方法充分考慮了區間證據之間的相互關聯性，降低沖突性區間證據在整個融合系統的權重，減小其在融合過程中的作用，所得的最終融合結果的區間寬度較窄，并且區間上下界同時聚焦于同一個焦元上的作用明顯，從而提高了決策能力。

例2設定只對辨識框架下單元素和全集賦值的區間證據mi(i=1,2,…,5)如表4所示。

表4 單元素和全集賦值的區間證據

本文方法與直接用 Demspter區間證據組合公式融合結果進行對比，如表5所示，其中列出了區間證據依次融合的過程。

通過表4知，區間證據m1,m4和m5同時支持θ1,m2支持θ2,m3未明確支持任何一個焦元，可知m2與m1,m4,m5存在著高沖突。若直接用Demspter區間證據組合公式融合，則最終的融合結果的區間寬度較大，不易決策。而采用本文方法時，由于采用區間證據的置信度度量區間證據的相互支持度，因此提高了m1,m4和m5的權重，同時減小m2的權重，并弱化m3的權重，使最終融合結果的區間寬度很窄，并且區間的上下界同時聚焦于θ1的作用更為明顯。

表5 兩種融合方法的結果對比

例3設定只對辨識框架中單元素和子集賦值的區間證據mi(i=1,2,…,5)如表6所示。

表6 單元素和子集賦值的區間證據

本文方法與直接用 Demspter區間證據組合公式融合結果進行對比，如表7所示，其中列出了區間證據依次融合的過程。

從表6中可知，區間證據m1,m3,m4和m5均支持θ1，只有m2支持θ2，依理推知m2是干擾證據，并且最終融合結果也是應該支持θ1，但從融合結果表7中可以得知，直接用Demspter區間證據組合公式得到的最終融合區間寬度很大，根本無法做出決策。而采用本文方法，通過降低干擾證據m2的權重，最終的融合結果區間寬度很窄，并且區間上下界同時聚焦于θ1上的作用更加明顯。

5 結論

本文提出了一種基于證據相似性度量的沖突性區間證據融合方法，考慮焦元之間及區間證據之間的相互關聯性，提出擴展型Pignistic概率轉換；并基于區間歸一化歐氏距離公式來間接度量區間證據的相似性，分析區間證據相互之間的沖突；然后確定各個區間證據的置信度，加權平均原始區間證據以得到新的區間證據，再用 Demspter區間證據組合公式進行融合，減少了沖突證據在融合過程的作用，降低了干擾對最終融合結果的影響。最終，融合結果的區間寬度較窄，并且區間上下界同時聚焦于同一個焦元上的作用更加明顯，從而提高了沖突性區間證據融合的合理性和可靠性。

表7 兩種融合方法的結果對比

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