兩類錯(cuò)誤條件下方差檢驗(yàn)中樣本容量的確定

郭 文

0 引言

樣本容量是指按照某種規(guī)則從總體中抽取出來的樣本觀察單位的數(shù)目。在抽樣調(diào)查中，樣本容量的研究是一個(gè)非常重要的問題,樣本容量直接影響著犯兩類錯(cuò)誤的概率。在假設(shè)檢驗(yàn)中，一般討論的是犯第一類錯(cuò)誤的情況，通常只給出犯第一類錯(cuò)誤的概率，那么在樣本容量自由選擇的情況下，犯第二類錯(cuò)誤的概率是無法控制的。而犯第二類錯(cuò)誤的情形一般在醫(yī)學(xué)、風(fēng)險(xiǎn)控制、質(zhì)量控制等領(lǐng)域應(yīng)用較多。在研究這些領(lǐng)域時(shí)，我們希望能同時(shí)控制兩類錯(cuò)誤的概率，那么樣本容量就需要通過計(jì)算來確定。目前國內(nèi)外對(duì)樣本容量的研究大多是建立在調(diào)查精度和費(fèi)用控制的基礎(chǔ)上。本文研究樣本容量的角度與之不同，是在控制兩類錯(cuò)誤的前提下，對(duì)方差檢驗(yàn)中樣本容量進(jìn)行探討。

1 兩類錯(cuò)誤的概念

如果把假設(shè)檢驗(yàn)中構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量記為T，把顯著性水平α下確定的拒絕域記為，把接收域記為W，則當(dāng)T服從正態(tài)分布時(shí)，雙側(cè)檢驗(yàn)的與W如圖1所示。圖中陰影部分為拒絕域，非陰影部分為接受域W。

當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，由于樣本的隨機(jī)性，仍然有可能以α的概率拒絕原假設(shè)H0,這就是第一類錯(cuò)誤，簡(jiǎn)稱棄真，α為棄真的概率。如圖1，棄真顯然就是H0為真時(shí)T落入拒絕域Wˉ的事件，所以

圖1 雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域與接收域

當(dāng)原假設(shè)非真時(shí)，我們也仍然有可能接受它，這就是第二類錯(cuò)誤，簡(jiǎn)稱取偽，取偽的概率以β表示。取偽顯然是當(dāng)H0為非真時(shí)，T落入接受域W的事件，所以

P{T ∈ W| H0非真} =β

2 單母體情形下樣本容量的確定

2.1 μ已知

設(shè)隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)來自正態(tài)總體X～N(μ,σ2)，μ=μ0已知。

對(duì)于右側(cè)檢驗(yàn)，首先建立假設(shè)檢驗(yàn)：

其次構(gòu)造χ2統(tǒng)計(jì)量：

當(dāng)H0為真時(shí)：

當(dāng) H1為真時(shí)：

根據(jù)定義，有

因此

uα、uβ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)、β分位點(diǎn)。

將式（2）、（3）代入式（1）得：

解得：

同理，可計(jì)算出左側(cè)檢驗(yàn)樣本容量為：

雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本容量為：

2.2 μ未知

設(shè)隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)來自正態(tài)總體 X～N(μ,σ2)，μ未知。

對(duì)于右側(cè)檢驗(yàn)，首先建立假設(shè)檢驗(yàn)：

構(gòu)造χ2統(tǒng)計(jì)量：

當(dāng)H0為真時(shí)

當(dāng)H1為真時(shí)

因此

同樣，當(dāng)n充分大時(shí)（通常n＞45），有

這里uα、uβ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)、β分位點(diǎn)。

將式（5）、（6）代入式（4）得：

解得

同理，可計(jì)算出左側(cè)檢驗(yàn)樣本容量為：

雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本容量為：

3 雙母體情形下樣本容量的確定

3.1 μ1、μ2已知

設(shè) X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn是分別從服從和分布的兩個(gè)母體中抽出的獨(dú)立子樣，μ1、μ2已知。

首先建立假設(shè)檢驗(yàn)：

其次構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)于右側(cè)檢驗(yàn)，建立假設(shè)檢驗(yàn)：

則

則

當(dāng)n→∞時(shí)，有 Fα(m,∞)=

又因?yàn)?/p>

因此

同理

所以，當(dāng)n→∞時(shí)，有

解得：

同理，可計(jì)算出左側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本容量為：

雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本容量為：

3.2 μ1、μ2未知

設(shè) X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn是分別從服從和分布的兩個(gè)母體中抽出的獨(dú)立子樣，μ1、μ2未知。

首先建立假設(shè)檢驗(yàn)：

其次構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量：

當(dāng)H0成立時(shí)，F(xiàn)～F(m-1,n-1)。

對(duì)于右側(cè)檢驗(yàn)，建立假設(shè)檢驗(yàn)：

則

則

當(dāng)n→∞時(shí)，有 Fα(m-1,∞)=

又因?yàn)?/p>

因此

同理

所以，當(dāng)n→∞時(shí)，有

解得：

同理，可計(jì)算出左側(cè)檢驗(yàn)樣本容量為：

雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)樣本容量為：

4 結(jié)論

以上我們對(duì)方差檢驗(yàn)中單母體及雙母體方差已知、方差未知情形下兩類錯(cuò)誤與樣本容量的關(guān)系進(jìn)行了探討，并在控制兩類錯(cuò)誤的條件下，給出了確定樣本容量的公式。從上面的討論可以看出，方差檢驗(yàn)中樣本容量的確定是件比較復(fù)雜的事情，必須給予足夠的重視。在實(shí)際操作中，樣本容量的確定既要考慮精度要求，又要考慮經(jīng)費(fèi)預(yù)算、可操作性等，必須通過綜合考慮，以達(dá)到一個(gè)最優(yōu)樣本容量的選擇。

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